材料力学-能量方法（PPT,共101）

第十十二二章章能能量量法法材料料力力学学第十十二二章章能能量量方方法法1第十十二二章章能能量量法法§12——1概述述§12——2杆件件变变形形能能的的计计算算§12——3变形形能能的的普普遍遍形形式式§12－4互等等定定理理§12——5卡氏氏定定理理§12－6单位位力力法法(莫尔积分分)§12——8能量法解解超静定定问题§12——7图乘法§12——9能量法中中其它原原理的简简介小结第十二章章能能量法2§12——1概述一、变形能（（应变能能）：变形固体体在外力力作用下下由变形形而储存存的能量量。1、弹性变形形能具有有可逆性性。2、塑性变形形能不具具有可逆逆性。。弹性变形形能：变形固体体在外力力作用下下由于产产生弹性性变形而储存的的能量。。第十二章章能能量法3二、变形形能的计计算：利用能量量守恒原原理三、能量量法：利用功能能原理和和功、能能的概念念进行计计算的方方法。能量守恒恒原理：：变形固体体在外力力作用下下产生的的变形而而储存的能量，，在数值值上等于于外力所所作的外外力功。。常见的能能量法——功能原理理、单位位力法（（莫尔积积分法））、卡氏定理理、图乘乘法。第十二章章能能量法4§12——2杆件变形形能的计计算一、轴向向拉压杆杆的变形形能在线弹性性范围内内：FL△LFΔL1F1dΔL1dF1第十二章章能能量法5二、扭转转轴的变变形能φΤφ1T1dφ

1dT1mmL在线弹性性范围内内：第十二章章能能量法6三、弯曲曲梁的变变形能θM四、注意意1、同种类类型荷载载的变形形能不能能叠加。。2、变形能能的大小小与加载载次序无无关，只只与最终终值有关关。在线弹性性范围内内：第十二章章能能量法7证11）共同作用下：F1LF2L2）单独作用下：3）单独作用下：证毕。F1LF2第十二章章能能量法8证21）若先加1F3）此过程程总的变变形能2）在加完后再加F2证毕F1LF2第十二章章能能量法9§12——3变形能的的普遍形形式一、对线线性弹性性体的一一般受力力情况：——克拉贝依依隆原理理（——广义力，——广义位移）F1F2F3FiΔ1Δ2Δ3Δi第十二章章能能量法10二、对线线性弹性性体的组组合变形形杆：FFmmmTmT第十二章章能能量法11例1：图示半圆圆形等截截面曲杆杆位于水水平面内内，在A点受铅垂垂力F的作用。。求A点的垂直直位移。。EI，GIp已知解：用能量量法（外外力功等等于应变变能）①、求内力FMTAPjBntFFs第十二章章能能量法12③、外力功等等于变形形能②、变形能：：第十二章章能能量法13例2：用能量量法求C点的挠度度。梁为为等截面面直梁。。EI已知在应用对对称性，，得：解：①、求内力③、外力功等等于变形形能②、变形能：：F第十二章章能能量法14LaBCAF例3：图示桁架架结构，，已知BC杆的长度度为L，两杆的抗抗拉压刚刚度均为为EA，在B点受铅垂垂力F。求B点的垂直直位移。。解、①、、求内力FFN1FN2xy③、外力功等等于变形形能②、变形能：：第十二章章能能量法15例4：已知刚架架的EI、GIp，力F铅垂。求C点的铅垂位移。。解、①、、求内力③、功等于变变形能②、变形能：：FABCbx1ax2第十二章章能能量法16§12——4互等定理理一、前提提条件：：线弹性、、小变形形。二、基本本原理：：1、线弹性性小变形形物体在在F1作用下，，F1点处对应应的位移移为Δ1。则外力功功为：2、先加F1再加F2，且F2点处对应应的位移移为Δ2，F1点处增加加的位移移为Δ’1。此时外力力功为：：F1Δ1F1Δ1Δ’1Δ2F2第十二章章能能量法17F1Δ1F2Δ2Δ／23、先加F2再加F1，同上相似似F2点处在F2作用下对对应的位位移为Δ2，F1点处在F1作用下对对应的位位移为Δ1，F2点处由于于F1的作用增增加的位位移为Δ／2。此时外力力功为：：4、因为变形能的大小与加载次序无关，只于外力的最终值有关，从而可得——第十二章章能能量法18三、功的的互等定定理：：既：第一一组力在在第二组组引起的的位移上上作的功功，等于于第二组组力在第第一组引引起的位位移上作作的功。。四、位移移互等定定理（令F1=F2）：既：F1作用点沿沿F1作用方向向因F2引起的位位移，等等于F2作用点沿沿F2作用方向向因F1引起的位位移。F1Δ1Δ／1Δ2F2F1Δ1F2Δ2Δ／2第十二章章能能量法19例10：图示等截截面直梁梁，EI已知，求求：B点的支座座反力ABCFaL解：1、去掉B支座，用用支座反反力代替替。ABCFFBY2、第一组组力为F、FBY；第二组力力为F=1。3、在第一一组力作作用下B处的位移移为wB1；在第二组组力作用用下B处的位移移为wB2，C处的位移移为wC2。4、利用功功的互等等定理：：ABCF=1第十二章章能能量法20§12－5卡氏(Castigliano)定理一、问题题的提出出利用功能能原理——ABFLwA=？L/2L/2CABFwC=？第十二章章能能量法21二、卡氏氏定理（使用条件：线弹性、小变形结构）三、证明明F1ΔiF2F

iΔ1Δ2δΔ1δΔ2δΔiδFi在δFi上完成的功为：其余各力力完成的的功共为为：变形能的的增量为为第十二章章能能量法223、根据互互等定理理有：——（1）——（2）4、比较（（1）、（2）两式得得——卡氏定理理证毕。。第十二章章能能量法23四、注意意的问题题⑤、结果为正正时，说说明Δi与Fi的方向相相同；结果为负负时，说说明Δi与的Fi方向相反反。①、Vε——整体结构构在外载载作用下下的线弹弹性变形形能。②、Fi视为变量量，结构构反力和和变形能能等都必必须表示示为Fi的函数③、Δi为Fi作用点的的、沿Fi方向的变形。④、Δi处要有相相应的荷荷载，当无与Δi对应的Fi时，可采用附附加力法进行行计算。。既先加一沿沿Δi方向的Fi（在所求位位移处沿沿所求位移移的方向向加上相相对应的的附加力力），求偏导后后，再令令其为零，，结果即为为实际荷荷载作用用的位移移。第十二章章能能量法24五、用卡卡氏定理理计算杆杆件位移移1、轴向拉拉压杆：：2、扭转轴轴：3、弯曲梁梁、刚架架：（，为广义力、广义位移。）4、组合变变形的结结构：第十二章章能能量法25例11图示梁的的材料为为线弹性性体，弯弯曲刚度度为EI，不计剪力力对位移移的影响。试试用卡氏定理理求梁A端的挠度度wA。解：因为A截面处无无与wA相应的集集中力，，不能直直接利用用卡氏定定理，可可在A截面上虚虚加一个个与wA相应的集集中力F，利用卡氏氏定理后后，令F=0,即第十二章章能能量法26梁的弯矩矩方程以以及对F的偏导数数分别为为利用卡氏氏定理，，得（和假设设的F的指向一一致）这种虚加加F力的方法法，也称称为附加加力法。。(↓)这是因为为n个独立广义力的二次齐次式,其中也可以作为一个广义力。第十二章章能能量法27例12：用卡氏定定理求A截面的的挠度和和转角（（EI已知）。。AEI③、变形①、求内力解：1、求挠度②、将内力对对FA求偏导F第十二章章能能量法282、求转角角A①、求内力A没有与A相对应的的力（广广义力）），加之之。“负号”说明A与所加广广义力MA反向。EIFLA22=q②、将内力对对MA求偏导后后，令MA=0③、求变形F第十二章章能能量法29例13图示刚架架各杆的的弯曲刚刚度均为为EI，不计剪力力和轴力力对位移移的影响响。试用用卡氏定理理求A截面的铅铅垂位移移DAy。解：由于刚架架上A,C截面的外外力均为为F，求A截面的铅铅垂位移移时，应应将A处的力F和C处的力F区别开（（图b），在应应用卡氏第二定定理后，，令FA=F。

(a)FABll/2l/2FCD(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y2第十二章章能能量法30即AB段（0≤x≤l）

M(x)=−FAx,各段的弯弯矩方程程及其对对FA的偏导数数分别为为BC段（0≤y1≤l/2）

M(y1)=−FAl,(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y2第十二章章能能量法31CD段（0≤y2≤l/2）

M(y2)=−FAl−Fy2,令以上各各弯矩方方程中的的FA=F，由卡氏第第二定理理得（↓）第十二章章能能量法32例14

悬臂梁受力如图所示，在两力F共同作用下，1,2两截面的挠度分别为w1

和w2。试证明：w11FF2w2证明：设作用在在1,2两截面的的外力分分别为F1和F2，且F1=F,F2＝F，则梁的应应变能为为Ve=Ve(F1,F2)。根据复合合函数求求导法则则，有第十二章章能能量法33因此，若若结构上上有几个个外力的的字符相相同时，，在利用用卡氏第第二定理理求其中中某一力力的作用用点沿该该力方向向的位移移时，应应将该力力与其它它力区分分开。w11FF2w2第十二章章能能量法34例15：结构如图，用卡氏定定理求B截面的垂垂直位移移和水平位移移。（EI已知）。。①、求内力：：解：令B截面的水水平荷载载F=F0②、将内力对对F求偏导求求垂直位位移；将内力对对F0求偏导求求水平位位移：③、求变形（（注意最最后令F0=F）oABFFRφ——B截面的的垂直直位移移——B截面的的水平平位移移→F0第十二二章能能量法法35例16：用卡氏氏定理理求B截面两两侧的的相对对转角角。EI已知））。BLLqACBmB/LqL+mB/Lxx2mB+qL2/2mBmB解：1、内力力方程程2、将内力力对mB求偏导导后，，令其其为零零3、求变形形（注注意最最后令令mB=0）第十二二章能能量法法36例17：结构构如图，，用卡氏氏定理理求开口截面两两侧的的相对对位移移。（EI已知））。解：1、内力力方程程2、将内力力对F求偏导导3、求变形形（利利用对对称性性）FFRφ第十二二章能能量法法37例18：图示半半圆形形等截截面曲曲杆位位于水水平面面内，，在A点受铅铅垂力力F的作用用。求A点的垂垂直位位移（（EI、GIp已知））。解：1、求内内力2、将内力力对F求偏导导3、求变形形FMTAPjABntFFs第十二二章能能量法法38例19：求C点的水水平及及垂直直位移移。（（EA已知））FADBCLLLL2、内力力对外外力F求偏导导（如如图））解：方方法一一、水平平位移移1、求内内力（（如图图所示示）000-FFADBCLLLL000-13、求变形形第十二二章能能量法法392、内力力对外外力F0求偏导导（如如图所所示））解：垂直位位移1、求内内力（（如图图所示示）3、求变形形（最最后令令F0=0）FADBCLLLLF0FADBCLLLLF0000-F-F0000-10第十二二章能能量法法402、内力力对外外力F、F0求偏导导（如如图所所示））1、求内内力（（如图图所示示）3、求变形形（并并令F0=0）FADBCLLLLF0FADBCLLLLF0000-10解：方方法二二、水平位位移；；垂直直位移移FADBCLLLLF0000-100-F-F00第十二二章能能量法法41§12－6单位力力法(莫尔积积分法法)一、问问题的的提出出：杆件在在外力力作用用下，，任意意截面面沿任任意方方向的的位移移如何何确定定？二、单单位力力法的的原理理欲求任任意点点A的位移移wAq（x）w

AA图aF第十二二章能能量法法42w

AAF=1图dF第十二二章能能量法法43——单位力力法（（莫尔尔积分分）的的基本本计算算公式式。结论：：普遍形形式的的单位位力法法原理理（莫莫尔定定理））第十二二章能能量法法44三、注注意的的问题题1、此种种方法法存在在两个个力系系：一个为为实际际的力力系；；另一一个为为单位位力系系。2、单位位力必必须与与所求求位移移相对对应：：求线位位移——在所求求点沿沿所求求位移移方向向加单单位集集中力力求角位位移——在所求求点沿沿所求求位移移方向向加单单位集集中力力偶4、结果果为““+”说明所所加单单位力力方向向与实实际位位移方方向相相同；；“-”说明所所加单单位力力方向向与实实际位位移方方向相相反。。四、公式式的使用用条件：：线弹性的的小变形形、各种种力引起起的位移移各自独独立。3、内力的坐标系系必须一一致，每每段杆的的坐标系系可自由由建立。。莫尔积分分必须遍遍及整个个结构。第十二章章能能量法45例5：用单位位力法求求等截面面直梁C点的挠度度和转角角，（EI已知）③、积分求变变形解：①、求载荷作用用下的内力②、虚加单位位力，再再求内力aaACBF=1xxwc第十二章章能能量法46m=1④、求转角，，重建坐坐标系（（如图））x1x2x1x2第十二章章能能量法47例6：折杆A处为一轴轴承，允允许杆在在轴承内内自由转转动，但但不能上上下移动动，已知知：E=210Gpa，G=0.4E，求B点的垂直直位移500300F=1BACC20510解：①、画单位载载荷图②、求内力Fxx1第十二章章能能量法48③、变形②、求内力若用叠加法？第十二章章能能量法49例7：用单位位力法求求C点的水平平位移。。（EI已知）③、变形解：①、画单位载载荷图②、求内力bx2ABCax1Fx2ABCx11第十二章章能能量法50例8：用单位位力法求求刚架AD两点的相相对水平平位移。。（EI已知）③、变形解：①、画单位载载荷图②、求内力FFADBCLLLx1x1x311ADBCx1x1x3第十二章章能能量法51例9：用单位位力法求求桁架BD两节点的的相对位位移。（（EA已知）FADBCLLLLF=1ADBCF=1③、变形解：①、画单位载载荷图②、求内力（（如图所所示）000-F1第十二章章能能量法52§12——7图乘法一、基本本原理1、分析：：（EI=常数）设：为线性。图是直线或由折线组成。令。若中有一个为线性的，则上述积分就可以得到简化如下。xxM（x）M（x）L第十二章章能能量法532、结论：：——图乘法的的基本计计算公式式。M（x）xdxM（x）ALxxCxcM0c第十二章章能能量法54二、计算算步骤2、计算M（x）的面积A。1、画出图。4、利用公式求出位移。三、注意意的问题题1、所加的的单位力力与莫尔尔积分的的方法相相同。2、M（x）图的正、、负影响响“A”的符号。。（两者者所取符符号相同同）4、结果若若为“+”，说明所所加的单单位力方方向与实实际位移移方向相相同。反之为““-”，说明明所加的的单位力力方向与与实际位位移方向向相反。。5、图中必须至少有一个是直线组成的图形。3、计算M(x)图形心对应位置的数值

的大小。3、若由几段直线组成的折线而成，需分段计算，叠加求和。第十二章章能能量法55L/2qL/2CAB例图示结构构中，EI已知。求求wc。CABF0=1qL2/8xM（x）A1A2（3/8）L/2解：1、画M（x）图3、利用图图乘法求求变形2、加单位力并画xL/4第十二章章能能量法56例：图示示变截面面直梁，，求：B点的挠度度。Faa2EIEIABC解：1、画M(x)图3、利用图图乘法求求变形ABCF0=1M（x）2FaFaC1C3C22、加单位力并画2aa第十二章章能能量法57例：刚架架受力如如图示，，已知：：横杆弯弯曲刚度度为2EI，竖杆弯曲曲刚度为为EI、拉伸刚度度为EA、载荷集度度q、长度l。求：B点的水平平位移载荷系统1单位力系统第十二章章能能量法58载荷系统统内力图图第十二章章能能量法59单位力系系统内力力图1第十二章章能能量法60图形互乘乘1第十二章章能能量法61结果与比比较轴力与弯弯矩引起起的位移移比较对于矩形形截面：：第十二章章能能量法62平面结构构空间受受力，AB和BC两杆具有有相同的的刚度，，且EI、GIP、l、F等均为已已知。求：1.A端的铅垂垂位移；；2.A端绕BC轴线的转转角。求A端铅垂位位移求A端绕BC轴线的转转角解：单位位力系统统第十二章章能能量法63载荷系统统内力图图第十二章章能能量法64单位力偶偶系统内内力图第十二章章能能量法65图形互乘乘求A端的铅垂垂位移第十二章章能能量法66图形互乘乘求A端绕BC轴线的转转角第十二章章能能量法67§12——8能量法解解超静定定问题步骤——1、去掉多多余约束束，建立立原超静静定结构构的静定定基；2、在多余余约束处处根据变变形协调调条件，，确定变变形几何何方程；；3、利用能能量法把把变形几几何方程程转化为为力的补补充方程程（物理理条件）），确定定多余的的约束反反力；4、根据静静力平衡衡方程，，确定所所有的未未知力。。第十二章章能能量法68例20：等截面面梁如图，求C支座的反反力。①、求内力解：1、取静定定基（如如图）②、将内力对对FCY求偏导2、变形几几何方程程3、求支反反力FxFFCY第十二章章能能量法69③、变形第十二章章能能量法70a/2a/2a=5mABCDq=10kN/mm=50kNm例21：如图所示结构，求B支座的反反力。①、求内力解：1、取静定定基（如如图）②、将内力对对FBY求偏导2、变形几几何方程程3、求支反反力ABCDFBYxx第十二章章能能量法71③、变形第十二章章能能量法72对称及反反对称性性质的利利用1、对称结结构——结构的几几何形状状、尺寸寸、材料料和约束束，对称于某某一轴线线。第十二章章能能量法732、对称荷载载——荷载的位位置、大大小和方方向对称称于结构构的对称称轴，产生对称称变形。。约束力、、内力分分量以及及变形和和位移都都是对称称的;反对称的的内力分分量必为为零;某些对称称分量也也可等于于零或变变为已知知。第十二章章能能量法74根据约束束性质分分析约束束力A、B二处均为为铰链，，各有两个约束束力。确定超静定次数数4－3＝1对称性分分析A、B二处的约约束力大大小相等、方向向相反。。建立变形形协调方方程A、B二处的水水平相对对位移等于零应用卡氏定理理第十二章章能能量法75根据约束束性质分分析约束束力确定超静定次数数：3对称性分分析建立变形形协调方方程应用卡氏定理理内约束，，通过截截开使其其变为静定的。。对称面上上反对称称内力分分量等于于零第十二章章能能量法76建立变形协调调方程另一种解法根据约束性质质分析约束力力确定超静定次数：3对称性分析解除内约束，，通过截开使使其变为静定的。对称面上反对对称内力分量量等于零应用卡氏定理第十二章能能量法77怎样判断什么么样的载荷是是反对称的？？将对称面（轴轴）一侧的载载荷反向，若若变为对称的的，则原来的的载荷便是反反对称的。其约束力、内内力分量、变变形和位移等等必须是反对对称的；对称的内力分分量、约束力力必为零；某些反对称约约束力和反对对称的内力分分量也可能为为零。3、反对称荷载——荷载的位置、、大小对称，，方向是反对对称的。第十二章能能量法78第十二章能能量法79ll2l2lll2l2l第十二章能能量法80对称结构的一一般变形一般变形对称变形反对称变形第十二章能能量法81§12—9能量法中其它它原理的简介介一、变形能的的一般表达式式及余能：dΔdεΔFOΔ1F11、变形能（应应变能）——σεOε1σ1第十二章能能量法822、余能——ΔFOΔ1F1σεOε1σ1dFdσ第十二章能能量法83例：某结构承承受荷载P，其相应的位移移为Δ=CF2，计算此结构的的应变能和余余能。ΔFΔ=CF2解：由定义得得——第十二章能能量法84例：原为水平平位置的杆系系如图，试计计算在荷载F1作用下的应变变能和余能。。两杆长度均均为L，横截面面积均均为A，材料相同，弹弹性模量为E，且均为线弹性性材料。LLF1ΔααA解：1、确定外力与与变形的关系系FFNFNXYOΔF第十二章能能量法852、变形能、余余能的计算第十二章能能量法86二、卡氏第一一定理：假设第i荷载Fi方向上的位移移有一微小增增量dΔi，则结构中应变变能的变化为为————应变能对位移Δi的变化率因只有Fi方向上的位移移有一微小增增量，其余各各荷载方向上上相应的位移移保持不变，，所以外力功功的变化量为为————卡氏第一定理F1ΔnF2F

nFiΔ1Δ2Δi第十二章能能量法87——余能定理对线性弹性结结构，因为力与变变形成正比，，结构的应变变能在数值上上等于余能，，所以上式可可表达为————卡氏第二定理理第十二章能能量法88例：由两根横截面面积均均为A的等直杆组成成的平面桁架架，在结点B处承受集中力力F，两杆的材料相相同，弹性模模量为E，且均为线弹性性材料。试按按卡氏第一定定理，求节点点B的水平和垂直直位移。LFABC450ABCΔ1B1ABCΔ2B2解：1、设节点B只产生水平位位移时，各杆杆的变形2、设节点B只产生垂直位位移时，各杆杆的变形第十二章能能量法893、设节点B在水平和垂直直位移同时发发生时，各杆杆的变形4、桁架的应变变能为5、应用卡氏第第一定理求变变形第十二章能能量法90小结（一）、变形能：变形固体在外外力作用下由由变形而储存存的能量。弹性变形能：变形固体在外外力作用下产产生的弹性变变形而储存的能量。（二）、变形能的计算算：利用能量守恒恒原理能量守恒原理：变形固体在外外力作用下产产生的变形而而储存的能量，在在数值上等于于外力所作的的外力功。“””。1、弹性变形能具具有可逆性。。2、塑性变形能不不具有可逆性性。（三）、能量量法：利用功能原原理和功、能能的概念进行行计算的方法法。常见的能量法法——功能原理、单单位力（莫尔尔积分）、卡氏定理、图乘法、互等等定理。一、基本概念念第十二章能能量法91（一）、轴向向拉压杆的变变形能二、各杆在线线弹性范围工工作时的变形形能的计算（二）、扭转转轴的变形能能（三）、弯曲曲梁的变形能能注意问题：1、同种类型荷荷载的变形能能不能叠加。。2、变形能的大大小与加载次次序无关，只只与最终值有有关。（四）、组合合变形杆：重点第十二章能能量法92三、单位力法法（莫尔积分分）的基本计计算公式重点第十二章能能量法93注意的问题1、此种方法存存在两个力系系：一个为实际的的力系；另一一个为单位力力系。2、单位力必须须与所求位移移相对应：若求线位移——则单位力必须须作用在所求求点沿所求位位移方向加单位的集集中力；若求角位移——则单位力必须须作用在所求求点沿所求位位移方向加单位的集集中力偶。4、结果为“+”只说明所加的的单位力的方方向与实际的的位移方向相相同；“-”只说明所加的的单位力的方方向与实际的的位移方向相相反。3、内力的坐标系必须须一致，每段段杆的坐标系系可自由建立立。莫尔积分必须须遍及整个结结构。第十二章能能量法941、功的互等定定理：既：第一组力力在第二组引引起的位移上上作功，等于于第二组力在在第一组引起起的位移