新高考苏教版数学理大一轮复习训练24函数的奇偶性与周期性(含答案解析)

2.4函数的奇偶性与周期性一、填空题．设f(x)是周期为2的奇函数，当≤x≤1时，f(x)＝x－x，则f－5＝102(1)2________.551111剖析f－2＝－f2＝－f2＝－2×2×1－2＝－2.1答案－22.设函数f(x)(x21)(xa)为奇函数,则a=.剖析由函数f(x)(x21)(xa)为奇函数获取f(0)=0,即(021)(0a)0.a所以=0.答案0fx是奇函数且周期为，f－＝－，则f＝3．设函数3(1)(2011)________()1剖析因为f(－x＝－f(x)，f(x＋3)＝f(x，f(－1)＝－，所以f(1)＝，f(2))11011)＝f(3×670＋1)＝f(1)＝1.答案14．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝－2对称，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x，则f(－9)＝________.剖析由题意，得f(－x＝－f(x，f(x＝f(－－x，)))4)所以f(－9)＝f(－＋9)＝f(5)＝－f(－5)＝－f(1)＝－2.4答案－25.若yfx是奇函数,且在(0)内是增函数,又f(3)=0,则xfx)<0的解集是=()(_______.剖析因为f(x)在(0)内是增函数,f(3)=0,所以当0<x<3时,f(x)<0;当x>3时,f(x)>0.又因为f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,所以当-3<x<0时,f(x)>0;当x<-3时,f(x)<0.可见xf(x)<0的解集是{x|-3<x<0或0<x<3}.答案{x|-3<x<0或0<x<3}6．函数f(x)是奇函数，且在[－1,1]上是单调增函数，又f(－1)＝－1，则满足fx≤t2＋at＋1对所有的x∈－1,1]及a∈－1,1]都成立的t的取值范围是( )2[[________．剖析由题意，fxmax＝f(1)＝－f(－1)＝，所以t2＋at＋≥，即t2＋at≥0( )12112对a∈－1,1]t＝0时，显然成立；t≥0时，由t≥－a恒成立，得t≥；[恒成立，22t＜0时，由t≤－2a恒成立，得t≤－2.综上，得t≤－2或t＝0或t≥2.答案(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)7．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)＝________.剖析由题意得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(7.5)＝f(7.5－8)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.答案－0.5．已知函数f(x4x＋1)＋kxk∈R)是偶函数，则k的值为．8)＝log(4(________剖析由f(－x)＝f(x)，得log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx，即2kx＝1＋4xx11log44x－log4(4＋1)＝log44x＝－x，所以k＝－2.1答案－29．若偶函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式f(－1)＜f(lgx)的解集是________．剖析因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，于是由f(－1)＜f(lgx)，得f(1)＜f(|lgx|)，又由f(x)在(－∞，0)内单调递减得f(x)在(0，＋∞)内单调递加，所以有|lgx＞，即lgx＜－1或lgx＞，解得x＜1或x＞10.|11101答案0，10∪(10，＋∞)．已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x＞0时，fx＝－－x，则不等10( )( )121式f(x)＜－2的解集是________．－x11x31x矛剖析若x＞0，则由f(x)＝1－2＜－，得2＞，这与x＞0时，2＜122盾．若x＜，则由fx为奇函数，得fx＝－f－x＝－＋x1，得x＜1(＜－20( )( ))1222＝2－1，解得x＜－1.答案(－∞，－1)11．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出以下关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；f(x)关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．其中正确的序号是________．剖析∵f(x＋1)＝－f(x)，f(x)＝－f(x＋1)＝f(x＋1＋1)＝f(x＋2)，f(x)是周期为2的函数，①正确．又∵f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)，∴f(x)＝f(2－x)，y＝f(x)的图象关于x＝1对称，②正确．又∵f(x)为偶函数且在[－1,0]上是增函数，f(x)在[0,1]上是减函数．又∵对称轴为x＝1，f(x)在[1,2]上为增函数，f(2)＝f(0)，故③④错误，⑤正确．答案①②⑤12．函数y＝f(x)与y＝g(x)有相同的定义域，且都不是常值函数，关于定义域内的任何x，有f(x)＋f(－x)＝0，g(x)g(－x)＝1，且当x≠0时，g(x)≠1，则Fx＝fxfx的奇偶性为( )gx1＋( )________．剖析因为f(－x＝－f(x，g－x＝1，))()gx所以F－x＝2fx＋f(－x＝－2fx－f(x)()gx1)1－1gxfxgx＝2－f(x)gx1fxgxfx2fx＝22－f(x)gx1fxfx－fxfxx＝Fx．＝((2()gx1)gx1)( )所以F(x)是偶函数．答案偶函数13．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条件3＝－f(x)，且函数y＝fx＋23为奇函数，给出以下四个命题：①函数f(x)是周期函数；②函数f(x)的fx－43对称；③函数f(x)为R上的偶函数；④函数f(x)为R上的图象关于点－，04单调函数，其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．3＝－f(x)，得f(x＋3)剖析①由fx＋23＝－fx＋2＝f(x)，所以①正确．②由y＝fx－3为奇函数，得f(x)图象关于点3，0对称，所以②不正确．③由44f－x－3＝－fx－3，得f(x)＝－f－x－3，又fx＋3＝－f(x)，所以442233－x－2＝fx＋2，所以f(x)是偶函数，③正确．由③正确知④不正确．答案①③二、解答题14．设f(x)＝ex＋ae－x(a∈R，x∈R)．谈论函数g(x)＝xf(x)的奇偶性；(2)若g(x)是个偶函数，解不等式f(x2－2)≤f(x)．剖析(1)a＝1时，f(x＝x＋－x是偶函数，所以gx＝xfx是奇函数；)ee( )( )a＝－1时，fx－xg(x)＝xf(x)是偶函数．(x)＝e－e是奇函数，所以a≠±，由fx既不是奇函数又不是偶函数，得gx＝xfx是非奇非偶函数．1( )( )( )gx是偶函数时，a＝－，fx＝x－－x是R上的单调增函数，于是由f(x2(2)当( )1( )ee2)≤f(x)得x2－2≤x，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2.x22xx015.已知函数f(x)=0x0是奇函数.x2mxx0求实数m的值;若函数f(x)在区间[1a2]上单调递加，求实数a的取值范围.剖析(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).于是x<0时f(x)x22xx2mx所以m=2.(2)要使f(x)在[1a2]上单调递加，结合a21f(x)的图象（略）知21a所以1a3故实数a的取值范围是(1,3].已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；1(2)若是x∈R＋，f(x)<0，并且f(1)＝－2，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．剖析(1)证明：∵函数f(x)的定义域为R，∴其定义域关于原点对称．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝y＝0，∴f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0.∴f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)法一：设x，y∈R＋，∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)－f(x)＝f(y)．∵x∈R＋，f(x)<0，f(x＋y)－f(x)<0，∴f(x＋y)<f(x)．x＋y>x，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．又∵f(x)为奇函数，f(0)＝0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．1∵f(1)＝－2，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.法二：设x1<x2，且x1，x2∈R.则f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0.∴f(x2)－f(x1)<0.即f(x)在R上单调递减．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f1(1)＝－，∴f－f＝－f＝，f＝f2f＋f＝－(2)(2)(1)(6)＝2[(1)(2)]3.＝－－212(3)∴所求f(x在区间[2,6]上的最大值为，最小值为－3.)11＋ax217．已知函数f(x)＝x＋b(a≠0)是奇函数，并且函数f(x)的图象经过点(1,3)．求实数a，b的值；求函数f(x)的值域．1＋ax2剖析(1)因为函数f(x)＝x＋b是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．1＋ax所以－x＋b因为a≠0，

1＋ax2＝－x＋b.所以－x＋b＝－x－b.所以b＝0.又函数f(x)的图象经过点(1,3)，所以f(1)＝3.1＋a所以1＋b＝3.因为b＝0，故a＝2.x21(2)由(1)知f(x)＝x＝2x＋x(x≠0)．x＞11，当且仅当x12当0222x2x2x21x≥21当x＜0时，(－2x)＋－2x－x＝22.1所以2x＋x≤－22.12当且仅当－2x＝－x，即x＝－2时取等号．综上可知，函数f(x)的值域为(－∞，－22]∪[22，＋∞)．1－mx18．设f(x)＝logax－1为奇函数，g(x)＝f(x)＋loga[(x－1)(ax＋1)](a＞1，且m≠1)．求m的值；求g(x)的定义域；3若g(x)在－2，－2上恒正，求a的取值范围．剖析(1)f(x)是奇函数，f(x)＝－f(－x)，1－mx1＋mx－x－1logax－1＝－loga－x－1＝loga＋mx，1∴1－mx－x－12－＝mx2－，＝1＋mx，xx－11( )12(m－1)x＝0，又m≠1，∴m