最新高中数学推理与证明专题

课题:合情推理掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。归纳推理的开展过程观察归纳推理的开展过程观察猜测证明3.数学建构●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由局部到整体、由特殊到一般的推理。●归纳推理的一般步骤：4.师生活动例1前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。例2前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……结论：凸n边形的内角和是〔n—2〕×1800。例3探究：上述结论都成立吗？强调：归纳推理的结果不一定成立！——“一切皆有可能！〞5.提高稳固6.课堂小结(1)归纳推理是由局部到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。(2)归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质从的相同性质中推出一个明确表述的一般命题〔猜测〕证明课题：类比推理●教学目标：通过对已学知识的回忆，认识类比推理这一种合情推理的根本方法，并把它用于对问题的发现中去。类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。一．问题情境从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班〔后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师〕一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他创造了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？二．数学活动我们再看几个类似的推理实例。例1、试根据等式的性质猜测不等式的性质。等式的性质：猜测不等式的性质：(1)a=ba+c=b+c;(1)a＞ba+c＞b+c;(2)a=bac=bc;(2)a＞bac＞bc;(3)a=ba2=b2;等等。(3)a＞ba2＞b2;等等。问：这样猜测出的结论是否一定正确？例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→外表积面积←→体积圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心☆上述两个例子均是这种由两个〔两类〕对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理〔简称类比〕．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的一般步骤：⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵用一类对象的特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜测；⑶检验猜测。即观察、比拟观察、比拟联想、类推猜测新结论例3.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:试通过类比,写出在空间中的类似结论.稳固提高1．(2001年上海)两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,那么由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜测．直角三角形

3个面两两垂直的四面体∠C＝90°3个边的长度a，b，c2条直角边a，b和1条斜边c

∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°4个面的面积S1，S2，S3和S3个“直角面〞S1，S2，S3和1个“斜面〞S3．〔2004，北京〕定义“等和数列〞：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为______________，这个数列的前n项和的计算公式为________________课堂小结1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性。②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题〔猜测〕课题：演绎推理复习:合情推理归纳推理从特殊到一般类比推理从特殊到特殊从具体问题出发――观察、分析比拟、联想――归纳。类比――提出猜测问题情境。观察与思考1所有的金属都能导电铜是金属,所以，铜能够导电2.一切奇数都不能被2整除,(2100+1)是奇数，所以，(2100+1)不能被2整除.3.三角函数都是周期函数,tan是三角函数,所以，tan是周期函数。提出问题：像这样的推理是合情推理吗？二．学生活动：1.所有的金属都能导电←————大前提铜是金属,←-----小前提所以，铜能够导电←――结论2.一切奇数都不能被2整除←————大前提(2100+1)是奇数，←――小前提所以，(2100+1)不能被2整除.←―――结论3.三角函数都是周期函数,←——大前提tan是三角函数,←――小前提所以，tan是周期函数。←――结论建构数学演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．１．演绎推理是由一般到特殊的推理；２．“三段论〞是演绎推理的一般模式；包括⑴大前提---的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．三段论的根本格式M—P〔M是P〕〔大前提〕S—M〔S是M〕〔小前提〕S—P〔S是P〕〔结论〕3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:假设集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.四，数学运用解：二次函数的图象是一条抛物线〔大前提〕例2.lg2=m,计算lg0.8解〔1〕lgan=nlga(a>0)---------大前提lg8=lg23————小前提lg8=3lg2————结论lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)——大前提lg0.8=lg(8/10)——－小前提lg0.8=lg(8/10)——结论例3.如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等解：(1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形,——大前提在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90°——-小前提所以△ABD是直角三角形——结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提因为DM是直角三角形斜边上的中线,——小前提所以DM=AB——结论同理EM=AB所以DM=EM.五回忆小结：演绎推理具有如下特点:课本第33页。演绎推理错误的主要原因是1．大前提不成立；2,小前提不符合大前提的条件。作业：第35页练习第5题。习题2。1第4题。课题：直接证明--综合法与分析法2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点3．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点教学过程:学生探究过程：证明的方法〔1〕、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后到达题设的条件。综合法那么是从数学题的条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后到达待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种根本思考方法，应用十分广泛。〔2〕、例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．证明：(用分析法思路书写)要证a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)只需证a2-2ab+b2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。而由条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。(以下用综合法思路书写)∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0亦即a2-ab+b2＞ab由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证例2、假设实数，求证：证明：采用差值比拟法：====∴∴例3、求证此题可以尝试使用差值比拟和商值比拟两种方法进行。证明：1)差值比拟法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设，从而原不等式得证。2〕商值比拟法：设故原不等式得证。注：比拟法是证明不等式的一种最根本、最重要的方法。用比拟法证明不等式的步骤是：作差〔或作商〕、变形、判断符号。教学反思：本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点.“变形〞是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成假设干个平方和等是“变形〞的常用方法。课题：间接证明--反证法(1)、反证法

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否认相反的假设，到达肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。反设是反证法的根底，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否认的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否那么推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与条件矛盾；与的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。(2)、例子例1、求证：不是有理数例2、，求证：〔且〕例3、设，求证例4、设二次函数，求证：中至少有一个不小于.证明：假设都小于，那么〔1〕另一方面，由绝对值不等式的性质，有〔2〕〔1〕、〔2〕两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与公理、定义、定理或条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？例5、设0<a,b,c<1，求证：(1a)b,(1b)c,(1例6、a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0教学反思：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否认相反的假设，到达肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的根底，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否认的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否那么推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与条件矛盾；与的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。课题:数学归纳法1．数学归纳法的本质：无穷的归纳→有限的演绎〔递推关系〕2．数学归纳法公理：〔1〕〔递推奠基〕：当n取第一个值n0结论正确；〔2〕〔递推归纳〕：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；〔归纳假设〕证明当n=k+1时结论也正确。〔归纳证明〕由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。【例题评析】例1.用数学归纳法证明例2：用数学归纳法证明(n∈N,n≥2)说明：注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。EX:1.用数学归纳法证明:(1)当n=1时,左边有_____项,右边有_____项；(2)当n=k时,左边有_____项,右边有_____项；(3)当n=k+1时,左边有_____项,右边有_____项；(4)等式的左右两边,由n=k到n=k+1时有什么不同?变题:用数学归纳法证明(n∈N+)例3：设f(n)=1+,求证n+f(1)+f(2)+…f(n-1)=nf(n)(n∈N,n≥2)【课堂小结】1．数学归纳法公理：〔1〕〔递推奠基〕：当n取第一个值n0结论正确；〔2〕〔递推归纳〕：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；〔归纳假设〕证明当n=k+1时结论也正确。〔归纳证明〕由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。2.注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系.【反应练习】1．用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证()An=1Bn=2 Cn=32．用数学归纳法证明第二步证明从“k到k+1”，左端增加的项数是()A.BCD3．假设n为大于1的自然数，求证证明(1)当n=2时，(2)假设当n=k时成立，即4．用数学归纳法证明课题:复习课一、教学目标：1．了解本章知识结构。2．进