人教版选修2-2第三章3.1.1数系的扩充和复数的概念课件

人教A版选修2-2

第三章数系的扩充与复数的引入“数”是万物之源，支配整个自然界和人类社会．世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所有美好和谐的源泉．古希腊数学家、哲学家

毕达哥拉斯（约公元前560—480年）3.1.1

数系的扩充和复数的概念3.1数系的扩充和复数的概念学习目标1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部

的矛盾（数的运算法则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，

感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。重点1.复数的概念；2.复数的代数形式。难点1.复数的分类；2.复数相等的充要条件。一提出问题计数的需要自然数被“数”出来的自然数远古时期的人类，用划痕、石子、结绳记数，创造了自然数1，2，3，4，5，……自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地.自然数N相反量的需要负数被“欠”出来的负数东汉初期的“九章算术”中就有负数的说法．

负数的引入，解决了在数集中不够减的矛盾.吐鲁番盆地大约比海平面低155米.+8848.86-155珠穆朗玛峰大约比海平面高8848.86米.08848.86米自然数N整数Z负整数数系的扩充过程等额公平分配的需要分数被“分”出来的分数

分数的引入,解决了在整数中不能整除的矛盾.大约在春秋战国时期,

《左传》一书中就有关于分数的记载.自然数N整数Z有理数Q负整数分数数系的扩充过程度量计算的需要无理数11边长为1的正方形的对角线长是多少?被“推”出来的无理数

约2500年前，古希腊的毕达哥拉斯学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数。无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾.？自然数N整数Z有理数Q实数R负整数分数无理数数系的扩充过程注：从自然数系扩充到实数系的过程，可以看到，数系的每

一次扩充都与实际需求密切相关。问题：求下列方程的解核心问题：

引进一个新数，使类方程有解，并将数系进一步扩充。希望：引进一个新数使方程有解设想：实数与新数能像实数那样进行加法、乘法运算，原有的实数加法、乘法运算律仍成立二解决问题一个自然的想法是，能否像引进无理数而把有理数扩充到实数那样，通过引进新数使问题变得可以解决呢？1、引进一个新数规定：1637年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数”(R.Descartes,1596--1661)笛卡尔1777年，欧拉首次提出用i表示平方等于-1的新数欧拉(LeonhardEuler,1707--1783）1801年，高斯系统使用了i这个符号,使之通行于世高斯(JohannCarlFriedrichGauss,1777--1855）2、设想新数集(1)形如的数叫做复数.

(2)全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用C

表示.3、复数与数系的扩充其中，

i

叫虚数单位，且虚数有理数Q整数Z自然数N实数R负整数分数无理数复数C3、数系的扩充数系的每一次扩充都与实际需求密切相关,都能解决一些新的问题、建立新的体系，发挥新的作用。虚数有理数Q整数Z自然数N实数R负整数分数无理数复数C3、数系的扩充

数系的不断扩充体现人类在数的认识上的深化，就像人类进入太空实现了对宇宙认识的飞跃一样，复数的引入是对数认识的一次飞跃。虚数有理数Q整数Z自然数N实数R负整数分数无理数复数C3、数系的扩充复数是16世纪人们在讨论一元二次方程、一元三次方程的求根公式时引入的。一直以来它在数学、力学、电学及其他学科中都有广泛的应用。

在高科技迅猛发展的今天和未来，将发挥更大的作用。三反思提升(1)形如的数叫做复数,通常用字母

z表示.

(2)全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用C表示.实部虚部1、复数的概念

i

叫虚数单位代数形式典型例题1指出下列复数的实部和虚部，，，，，解：实部虚部变式练习1已知复数的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是

解：由复数的定义，可得解得所以，实数a，b的值分别是、思考1：分析下列复数的实部和虚部，说明它们各有什么特点。，，，，实部虚部实部a≠0，虚部b≠0实部a≠0，虚部b=0实部a=0，虚部b≠02、复数的分类实数纯虚数虚数实数R纯虚数虚数复数集C注：

实数集R与复数集C的关系为：

典型例题2实数m取什么值时，复数是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解：(1)当，即时，复数z是实数．(2)当，即时，复数z是虚数．(3)当，且，即时，复数z

是纯虚数．

变式练习2实数m取什么值时，复数是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解：(1)要使复数z是实数，必须有可得或，即或；

(2)要使复数z是虚数，必须有可得且，即且；

(3)要使复数z是纯虚数，必须有解得，

所以，。即时，复数z是纯虚数。复数只有相等与不相等，没有大小关系；如果两复数比较大小，那么这两复数一定为实数。思考2:复数可以比大小吗？3、复数相等规定：如果，求实数的值解：由复数相等的定义可知典型例题3变式练习3若y为纯虚数，x为实数，且满足1+y=2x-1+2i，求x，y的值.解：设y=ai（a≠0），则1+ai=2x-1+2i，所以解得所以，x=1，y=2i四运用反馈1.下列复数中，满足方程

x2＋2＝0的是（）A.±1 B.±iC.±i D.±2i2.若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为（）A.－1 B.2C.1 D.－1或

23.若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于

.4.已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值

范围______________________.1.下列复数中，满足方程

x2＋2＝0的

x是A.±1 B.±iC. D.±2i√解析由x2＋2＝0，得x2＝－2，即x2＝2i2，2.若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为A.－1 B.2C.1 D.－1或2解析因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.√3.若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于______.－3∴m＝－3.解：由z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0知，z

为实数4.已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值

范围______________________.解析

由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，

解得a>3或a<－1，

因此，实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞).(－∞，－1)∪(3，＋∞)五课堂小结虚数有理数Q整数Z自然数N实数R负整数分数无理数复数C数系的扩充从古代到近代，数系的扩充过程，就是不断探索与创造的过程，是人类智慧的结晶，体现出很多研究精神、创新的价值。