东华理工大学线性代数练习册答案

东华理工大学线性代数练习册答案班级:学号:姓名：序号：1第一章行列式知识点：全排列及逆序数，n阶行列式的定义，对换行列式的性质行列式按行（列）展开克拉默法则及其相关理论克拉默法则解线性方程组学习目标：.理解行列式的定义和性质，掌握行列式的计算方法..掌握二、三阶行列式的计算法..掌握行列式的性质，会计算简单的n阶行列式..掌握Gramer法则及其相关理论..掌握应用Gramer法则解线性方程组的方法.1-1二阶、三阶行列式一、填空题.2537=2.aabb.125031000213?1.1?2.()abba?3.64.22x?—2逆序数与n行列式的定义一.填空题1.排列5371246的逆序数为..排列13(21)242nn???的逆序数为..六阶行列式中，132536415462aaaaaa的符号为.1.102.(1)2?nn3.负1-3行列式的性质与计算换页班级:学号:姓名：序号：2一、利用行列式的性质计算下列各行列式:1021002041.19920039730130060012322102100204210042141.1992003971200310012330130060013000130cCCC??=??=??132320545410005310050053rrrr?+?9二？二二？?0000000000000000xyxyxxyyx??9?9111100000000000000000002.(1)00000000000000000000(1)nnnnnnxyxyyxyxyxyxyxxxyxyxyxyyxxxyxy??+=+?=+?123423413412412312341123410234123423411034113413.101034121041214124123101231123CCCCC+++-T21323142411234123420113011310101600222004801110004rrrrrrrrrr?????=????+?????二、试将下列式化为三角形行列式求值:换页班级:学号:姓名：序号：325123714592746129??9?4321133141322442251215221522371417340216259272957011346121642012015221522152201200120012090113003300332021600360003rrrrccrrrrrrccrr????99999?????????????+????==Q+?三、用降阶法计算下列行列式:2240413531232051?????21312240200035541354355248323123348321120512211ccCC??????=???99999132371052710210532270105001cccc????????=?=???四、计算下列行列式:2100...01210...00121...00012...00000...2换页班级:学号:姓名：序号:4解：112100...01100...01210...00210...00121...00121...0220012...00012...00000...20000...2nnnnnDDD????=?=?11221321nnnnDDDDDD?????=?==?=?=?111nDDnn?=+?=+l-5Cramer法则一、利用Cramer法则解下列方程组????9=+++?=????=+?+=+++01123253224254321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解因为14211213513241211111?=????=D142112105132412211151?=??????=D2841120351224121115129=99999=D426110135232422115113?=????=D14202132132212151114=?????=D所以111DD222DDx333DDx144?==DDx.二、问人取何值时齐次线性方程组???99=?++=+?+=+??0)1(0)3(2042)1(321321321XXXXXXXXXXXX有非零解？解系数行列式为XXXX??+??????101112431111132421D=(1?人)3+(X?3)?4(1?X)?2(1?X)(?3?X)(1)3+2(1?X)2+入？3换页班级:学号:姓名：序号：5令D=0得X=0A=2或入=3.于是当入=0入=2或入=3时该齐次线性方程组有非零解.第一章复习题一、选择题（选项不唯一）.0111213111213212223131323313132332122232220:222222aaaaaaDaaaMDaaaDaaaaaaA2MB2MC8MD8M??.()11121311111213212223121212223131323331313233423D=1D423;D423aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa?==?=?;那么A8B12C24D24??.下列n阶行列式的值必为零的是00A行列式主对角线的元素全为零0B三角形行列式主对角线有一个元素为零()C行列式零元素的个数多于n个0D行列式非零元素的个数小于n个.如果00000304050A0B1C1D3xkyzyzkxyzkkkk+?=??+二????二9二？二？有非零解，则1.D2,B3.BD生CD二、填空题换页班级:学号:姓名：序号:61.34215362152809230092行列式2.已知4阶方阵A,其中第三列元素分别为1,3,-2,2,它们的余子式的值分别为3,-2,1,1,则行列式人=.若ab均为整数，而00010001abba?=?贝Ua=;b=.ij123456784A23486789若阶行列式为；为其代数余子式,13233343210412AAAA+++=则1.122460002.530；04.0三.计算下列行列式1.5042112141201111?3222214250425042542542112111211(1)5410014120504123223211112032rrrrrr++??=?????+232154(1)723rr+??二？222TOC\o"1-5"\h\z11 122 233 3nnnnnn212121TOC\o"1-5"\h\z11 Ill 122 212 22.2333 313 3 1 nnnnnnnnnnnn???=XXX?换页班级:学号:姓名：序号:!()!(1)!2!1!ijnnjinnW=?=?n?mil1111111111(012)i11111inaaaaina+++#=+?????解：1122331minmil1111101111111111011111111110iiomu111110nnnaaaaaaaa++++++二++十????9??各行减去第一行得行列式:11121223131111111111111000010000000001110000000001000000000100000iinnnnaaaacccaaaaaaa+??=+++??X?????????111(1)nniiiiaa=+£n四、证明题i.证明ili122110...0001...00000...1nnnnnnnxxaxaxaaaaaxa?9????=++++?+证：将行列式从最后一列开始逐渐将后一列的X倍加到前一列上去,得到原行列式等于换页班级:学号:姓名：序号：8121112111111111010...00001...00000...01100010⑴（…）…0001nnnnnnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa??+??????????=？++++=++++??????第一章自测题一、填空题1.若nijDaa==则ijDa=?=2.11101101101101113.设1234577733324523332246523A=,则313233AAA++=,3435AA+=4.0001000200020070002008000000001D==??9?.⑴na?2.3?3,0；04.2008!二、选择题.三阶行列式3103100204199200395301300600D=的值为（）A.OB.IC.2000D.1000换页班级:学号:姓名：序号:9.002020kxzxkyzkxyz十二9?++二??+=?当时，仅有零解0000AOB1C2D2kkkk.设四阶行列式abedcbdaDdbeaabdc二，abed各不相同，则14243444AAAA+++=A.OB.abedC.2abeD.2abd4.方程组121200xxXXXX十二??+=?有非零解，则人=A.IB.1±C.0D.-15.设1X,2X，3x是方程30xpxp++=的三个根，则行列式123312231XXXXXXA.OB.pC.2pD.3P1.C2.D3.A4.B5.A三、计算题(每小题10分，共30分)5231011171018111D??.解：23234352315534554011100101(1)7117101710182281118212ccDCC??==????+?123274059409010382242224cccc++二？二？二换页班级:学号:姓名：序号:1000000011111 1 11 1nnnnnnnaaanaaanDaaan???+??????解：从最后一行开始，逐渐往前做相邻交换，然后从最后一列开始,做相同的变换，得原行列式等于：0011 0!(1)!2!1!()1 ()1……jinijnnnnnnananaxxnnananaanana?W????+==?=???+??+n?第二章矩阵及其运算知识点：矩阵的概念，矩阵的运算逆矩阵，矩阵分块法学习目标：.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵及其性质..熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律，对矩阵的乘法应重点讲解..理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵存在的条件及求逆的方法、矩阵分块法.2-1矩阵的运算一.设矩阵111111A???二？99??9123124B??=99????,求223ABAB+?O解答：337137????????5814??????????二.计算下列矩阵的乘积换页班级:学号:姓名：序号：11132100111440?????99????????9??322110124???????????????????解答：1.25174??????2,653010422??????????????三、选择题1.对任意n阶方阵AB总有()A.ABBA=B.ABBA=C.0TTTABAB=D.222()ABAB=2.设AB是两个n阶方阵，若OAB=则必有()A.0人=且08=8.0人=或(m=(；.OA=KOB=D.04=或0B=3.设AB均为n阶方阵，则必有()0TTTABBA=ABAB+=+C.0TABAB+=+D.0TTTABAB=.下列结论中，不正确的是()(A)设A为n阶矩阵，则2()()AEAEAE?+=?⑻设AB均为lnX矩阵，则TTABBA-(C)设AB均为n阶矩阵，且满足OAB=,则222()ABAB+=+⑻设AB均为n阶矩阵，且满足ABBA=,贝lj(kmmkABBAkmN=£.设200001010A????=??????,则5A=()(A)-32(B)32(C)10(D)-10答案:1.B2.D3.A4.C5.A四.设120340121A????二？??????231240B???=?????.求(1)TAB；(2)4A.换页班级:学号:姓名：序号:12五.1.设AB为同阶对称矩阵，证明ABBA+也为对称矩阵.2.设AB为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵.证明：因为AT=A所以(BTAB=BT(BTA)T=BTATB=BTAB从而BTAB是对称矩阵.2-2逆矩阵一.填空题.若AB都是方阵，且21AB==?,则1AB?=.已知4A=,且133114044513A??????=?????????,则*A=,*det()A=o3.若2AA=,且A不是单位阵，贝ljA=4.设12241311Aa????????????,B为三阶非零矩阵，且0人8=则a=换页班级:学号:姓名：序号：135.设A是三阶方阵，且27人=求(3)18)AA???答案：L?.331404513?????????????,163.04.15.-1二.选择题.设n阶方阵ABC满足ABCE=,则必有()A.ACBE=B.CBAE=C.BACE=D.BCAE=.设A为n阶可逆矩阵，下列运算中正确的是()A.(2)2TTAA=B.11(3)3AA??=C.Ill[(())][()]TTTAA???=D.IOTAA?=3.设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是()A.()TTTABAB+=+B.IllOABAB???+=+c.IllOABBA???=D.()TTTABBA-答案:1.D2.A3.B三.计算题1.设112223433A????=??????211122B????=???????,矩阵X满足方程TAXB=，求X解：*3311213472.6510126814210012234TTTAAXBXABBA????99999999999?=?===??=??999999999999??999999.设12101402PB????????????且APPB=，求nA解：1112104113.1402212nnnAPPBAPBPAPBP??999999=?=?==?999999?9999991122212221nnnn++????二？?????四.证明题.设方阵A满足A2?A?2E=0证明A及A+2E都可逆并求A91及(A+2E)?12?A?2E=0得换页班级:学号:姓名：序号:14A2?A=2E即A(A?E)=2E或EEAA=??)(21由定理2推论知A可逆且)(211EAA?=92?A?2E=0得A2?A?6E=?4E即(A+2E)(A?3E)=?4E或EAEEA=??+)3(41)2(由定理2推论知(A+2E)可逆且)3(41)2(AEEA?=+?证明由A?A?2E=0得A2?A=2E两端同时取行列式得IA2?A|=2即|A||A?E|2所以A可逆而A+2E=A2|A+2E|=|A2|=|A|2WO故A+2E也可逆.由A2?A?2E=0?A(A?E)=2E?A?1A(A?E)=2AIE?)(211EAA?=?又由A2?A?2E=0?(A+2E)A?3(A+2E)=?4E?(A+2E)(A?3E)=?4E所以(A+2E)(A+2E)(A?3E)=?4(A+2E)9)3(41)2(1AEEA?=+?2-3分块矩阵一.填空题.设3阶矩阶1200ABapya3丫==且2人=,1B=?,则AB+=..设行矩阵0123Aaaa=,0123121121121TAB????二?????????9TAB.若1032A??=????9830520003B????二？???AOCOB??=????,贝I」C=.设3阶方阵A按列分块为123()Aaaa=(其中ia是A的第i列)，且5A=,又设12132(2345)Baaaaa=++,则B=换页班级:学号:姓名：序号：15.设A为m阶矩阵，B为n阶矩阵，且AaBb==,若030ACB??=????,贝|JC= 1.42.03.64.-1005.(1)3mnmab?二.计算题1.设4200200000730051A?????????9????，且BAAB=+求A,1A?和矩阵Bo解：14200120002002000250024000007300250013005100380057BAAE?????999999999999????99999?=?==99999999999999999999991420020004273114(8)3200732051320051AAA9??? OX/Q ff ??92.求矩阵????????9?2500380000120025的逆阵.解设??????二1225A??????二2538B则????=??????二??5221122511A????????二？??=??8532253811B于是??????????????=??=??????二??????????????850032000052002125003800001200251111BABA3.设P?1AP二A其中????????二1141P???????二A2001求A11解由P?1AP二A得A=PAP?1所以A11=A=PAIIP?1.|Ph3???9??1141*P?????????1141311P????=???????=A11111120012001换页班级:学号:姓名：序号:16故?????????????????????????二31313431200111411111?????68468327322731第三章矩阵的初等变换与线性方程组知识点：矩阵的初等变换、矩阵的秩初等矩阵线性方程组的解学习目标：.掌握矩阵的初等变换..理解矩阵秩的概念及求法..掌握初等矩阵的运算..理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解非齐次线性方程组有解的充要条件..掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法.3-1矩阵的初等变换一.判断题.初等矩阵都是可逆矩阵。().初等矩阵乘初等矩阵还是初等矩阵。().初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵。().用初等变化法求逆矩阵时，可以同时做初等行变化和初等列变化。().矩阵可逆的充分必要条件是此矩阵可以表示成有限个初等矩阵的乘积。()答案：JXJXJ二.将下列矩阵化成最简形矩阵:1.9????99???????7931181315113221123121321151115131810274139704148rrrrrr+??????????????????—????一??????????????换页班级:学号:姓名：序号:17212103/21103/210274017/2200000000rX????????????一?????????????2.111212122012???????????????21312111211121212010020120236rrrr十?????????????????999999????12323(3)13101210000100010000120012rrrrrrr+?+??????????????_???????999999????三.设033110123A????二？??????,且2ABAB=+，求Bo解：2(2)ABABAEBA=+??二233033013253(2)110110110110121123011033AEA??????????=???.???????????????00222000111010003311011010003301012301103301012300111099999999999???—???.??.?999999999999?99999?所以033123110B????二？？?????四.试利用矩阵的初等变换求方阵????????323513123的逆矩阵。换页班级:学号:姓名：序号：18解：???????100010001323513123???????????101Oil001200410123?????????1012002110102/102/3023????????????2/102/11002110102/922/7003???????????2/102/11002110102/33/26/7001故逆矩阵为????????????????210212112332673-2矩阵的秩一.填空题.设mnX矩阵A,且()RAr=D为A的一个lr+阶子式，则D=.矩阵111011001?????????????的秩等于 3.设矩阵111213212223313233abababAabababababab????二？?????,其中0(123)iiabi则()RA=4.设3阶方阵A的秩为2,矩阵010100001p????=??????100010101Q????=??????,若矩阵BPAQ=，则()RB=5.已知11610251121Akk???二？???????,且其秩为2,则k=答案：1.02.33.14.25.3二.选择题.已知A有一个r阶子式不等于零，则()RA=0A.rB.lr+C.rWD.换页班级:学号:姓名：序号：19.设A为3X4矩阵，若矩阵A的秩为2,则矩阵3TA的秩等于()A.IB.2C.3D.4.设A是n阶阵，且ABAC=,则由()可得出BC=.A.0ArB.0A#C.()RAnD.A为任意n阶矩阵答案:1.D2.B3.A三.计算题1.试利用矩阵的初等变换求下列方阵的逆矩阵:(1)????????323513123解????????100010001323513123???????????101Oil001200410123z???????????1012002110102/102/3023????????????2/102/11002110102/922/7003????????????2/102/11002110102/33/26/7001故逆矩阵为????????????????210212112332672.设??????????113122214A??????????132231求X使AX=B解因为????????????132231113122214)(BA?????????412315210100010001zr所以??????????==?4123152101BAX.3.求矩阵???????????????815073131213123的秩并求一个最高阶非零子式:换页班级:学号:姓名：序号：20解??????9???????815073131223123（下一步:rl?r2r2?2rlr3?7rl.）?9??????????15273321059117014431（下一步:r3?3r2.）99?????0000059117014431矩阵的秩是271223?二?是一个最高阶非零子式.4.设????????????32321321kkkA问k为何值可使(1)R(A)=1;(2)R(A)=2;(3)R(A)=3.解????????????32321321kkA99?999??+?????)2)(1(0011011zkkkkkr(1)当k=l时一R(A)=1;(2)当k=?2且kWl时R(A)=2;(3)当kWl且kW?2时R(A)=3.3-3线性方程组的解一.选择题.若方程组O=Ax有非零解，则方程组bAx=M()A.有唯一解B.不是唯一解C.有无穷多解D.无无穷多解.线性方程组AX=O只有零解，则AXbb=W()O()A.有唯一解B.可能无解C.有无穷多解D.无解.设线性方程组bAX=有唯一解，则相应的齐次方程组O=AX()A.无解B.有非零解C.只有零解D.解不能确定.非齐次线性方程bXAnmX有无穷多解的充要条件是()A.nmB.()RAbnc.00RARAb=D.()()RARAbn=换页班级:学号:姓名：序号：215.设线性方程组bxA=中，若()4RAb=,()3RA=,则该线性方程组()A.有唯一解B.无解C.有非零解D.有无穷多解答案:1.B2.B3.C4.D5.B二.填空题.若线性方程组?99=+=?002121XXXXX有非零解,则=入..设()nnijaAX二,且非齐次方程组6人乂=有唯一解向量，则增广矩阵()bA的秩-X..已知()33XijaA的逆矩阵?????????????2454035311A,那么方程组?????=++二++二++321332233131322223121312213111xaxaxaxaxaxaxaxaxa的解?????321xxX答案：L-12.n3.??????二?二1538321XX三.解答题1.ba取什么值时，线性方程组?9???二++二++二++4234321321321xbxxxbxxxxax有解？有解时，何时有唯一解？何时有无穷个解?解：114114114101211311310121141214001001001aaabbabbbb999999999999999999999999999999999999999910121012011420114200100(1)1(24)aaaabbaba??????????一？？？？一？？?????????+?????当10WWab时，）（AR=3）（=AR,有唯一解；当0=b时,3）出（==ARAR,无解;换页班级:学号:姓名：序号:22当121==ab时，2)()(==ARAR,有无穷多个解;当1=#ab时，3)(2)(—ARAR,无解.3.已知齐次线性方程组(i)???9?=++=++00532032321321321axxxxxxxxx和(ii)???=+++=++0)1(203221321xcxbxcxbxx同解，求cba的值，并求其通解。解：显然方程组(ii)有非零解，由于两个方程组同解，所以方程组（i）也有非零解。2a?=,且方程组（i）的解为：123xxx==；将方程组（i）的解带入方程组（H）,可得：2100210bebcbe+?==?????+??=??（舍去）或bc=??=?第三章复习题一.选择题1.设矩阵111222333abcAabcabc????=??????9222111333abcBabeabc????二？9????9010100001p????=??????中，则有()A.2APB=B.2PAB=C.APB=D.PAB=.设A是方阵，如有矩阵关系式ABAC=,则必有()A.0A=B.BC#时0A=C.0A#时BC=D.OAW时BC=.设矩阵111121231AA????=????+??的秩为2,则入=()A.2B.IC.0D.-14.设AB均为3阶矩阵，若A可逆，()2RB=,那么()RAB=()A.OB.IC.2D.3.D2.D3.B4.C填空题换页班级:学号:姓名：序号:23.设200001010A????=??????，则5A=.设12243311At?????二？??????B为三阶非零矩阵，且OAB=。则弋=.设210110002A????=??????*的伴随矩阵，则*A=答案:1.-322.-33.4三.计算题.设矩阵423110123A????=???????,求矩阵B使其满足矩阵方程2ABAB=+解：2(2)(2)ABABAEBABAEA?二十??二？二？2234231101102)110110223423121123121123AEA??????????一?一????????????????10114310038600121290102960110330012129??????????一???.??????????9????3862962129B?????????????第三章自测题一.选择题1.设A是n阶方阵，X是InX矩阵，则下列矩阵运算中正确的是()TXAXXAXC.AXAD.TXAX2.设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是()A.()TTTABAB+=+B.IllOABAB???+=+c.IllOABBA???=D.()TTTABBA-3.设200Oil002A????二???????，则1A?=()换页班级:学号:姓名：序号:24A.0001001?????????????B.1002110221002???????????????????C.100210121002??????????????????D.100201011022??????????????4,设n阶方阵A,且OAW,则*1()A?=A.B.*1AAC.11AA?D.*1AA.设A为3阶方阵，且2A=,则12A?=()A.-4B.-IC.ID.4.设3阶方阵A的秩为2,则与A等价的矩阵为()A.?9???????000000111B.??????????000110111c.?????????000222111D.??????????3332221117.设A为三阶方阵且2A=?则3TAA()A._108B._12C.12D.1088.设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是()A.ABBA=IllOABAB???+=+ABAB+-+D.()TTTABAB+=+答案：1.A2.B3.C4.A5.D6.B7.D8.D二.填空题.设AB均为3阶方阵，且32AB==?,则TAB.设A为n阶方阵，且det()2A=,则1*1det[()]3AA??+=.111223321121A????二？9????,则()RA二.设3阶矩阵A二??????????002520310,则1()TA?=换页班级:学号:姓名：序号:25.设3阶矩阵A二9????????333022001,贝ljA*A=..设AB均为3阶方阵，3皿==则*12AB??=.设0100100000110012A????????,则1A?=.设n阶矩阵03n21111aaaaaaAaaaaaa????????二?????????的秩为In?,则a=答案：1.6?2.11).n?3.34.05203100????????????????5.6E6.24?0100100000210011??????????????1In??三.计算题.设矩阵500012037A????二？?????10012021B??二????,求矩阵方程XAB=的解X解:11005100123107220214113031XABXBA????????????=？二?二????????????????换页班级:学号:姓名：序号:26.设APPA=,其中111102111P????=???????911?A=1???????????,求5A解1551APPAPPAPPAAA??=?=?=111001/31/31/30011020101/201/20101110011/61/31/6100?1?9999999999999999=??=?9999999999999999????99999999第四章向量组的线性相关性知识点：n维向量、向量组的线性相关性向量组的秩线性方程组的解的结构向量空间学习目标：.掌握n维向量的概念..掌握向量组线性相关、线性无关的定义.知道有关向量组线性相关、线性无关的重要结论..理解向量组的最大无关组与向量组的秩的概念，会求向量组的秩..掌握线性方程组的解的结构，理解线性方程组的求解..理解n维向量空间及子空间、基底、维数、坐标等概念.4-1向量组的线性相关性一.选择题.对任意的cba,下列向量组中一定线性无关的是()A.()a二a,0b=a，()c=aB.()Tba1=a,()cb2=a,()Tac3=a换页班级:学号:姓名：序号:27c.()Ta311=a,()Tb322=a,()TcOO=aD.()TaOOl1=a,()TbOlO2=a,()TclOO二a2.向量组TTTTaakaa)1200()1022()100(4321====线性相关，k=()-IB.-2C.OD.13.向量组saaa21?线性相关的充要条件是()A.saaa21?中含有零向量saaa2?中有两个向量的对应分量成比例C.saaa21?中每一个向量都可用其余i?s个向量线性表示D.saaa21?中至少有一个向量可由其余l?s个向量线性表示4.向量组a1()T001,,,a2=()T100,下列向量中可以由a12线性表出的是()A.()T002,,B.()T423?c.0TOil,,D.()T010,,?答案：1.D2.C3.D4.A二.判定下列向量组是线性相关还是线性无关:⑴(?131)T(210)(141)T1解以所给向量为列向量的矩阵记为A.因为??9?????????9??????9??????000110121220770121101413121Z〜rrA所以R(A)=2小于向量的个数从而所给向量组线性相关.三.设bl=alb2=al+a2???br=al+a2+???+ar且向量组ala2???ar线性无关证明向量组blb2???br线性无关.证明已知的r个等式可以写成?????????????999999999999?????????=???100110111)0(2121rraaabbb上式记为BAK因为|K|1W0K可逆所以R(B)R(A)从而向量组blb2???br线性无关.4-2向量组的秩换页班级:学号:姓名：序号：28一.选择题1.设A为nmX矩阵，则有()A.若nm,则bAx=有无穷多解B.若nm,则O=Ax有非零解C.若A有n阶子式不为零，则bAx=有唯一解D.若A有n阶子式不为零，则O=Ax仅有零解2.??99????9?????????????????????????????0114321aaaa的最大线性无关组是OA.21B.42aaC.431aaaD.321aaa3.已知矩阵04321aaaa二A经初等行变换，化为??????