概率论与数理统计教程课件

§1.1随机事件及其运算§1.2概率的定义及其确定方法§1.3概率的性质§1.4条件概率§1.5独立性

第一章随机事件与概率§1.1随机事件及其运算第一章随机事件与概率2.

随机现象1.1.1随机现象：自然界中的有两类现象1.

确定性现象

每天早晨太阳从东方升起;

水在标准大气压下加温到100oC沸腾;

掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？

一天内进入某超市的顾客数;

某种型号电视机的寿命;§1.1

随机事件及其运算2.随机现象1.1.1随机现象：自然界中的有两类现象11.1.1随机现象随机现象：在一定的条件下，并不总出现相同结果的现象称为随机现象.特点：1.结果不止一个;2.事先不知道哪一个会出现.随机现象的统计规律性：随机现象的各种结果会表现出一定的规律性，这种规律性称之为

统计规律性.1.1.1随机现象随机现象：在一定的条件下，并不总出现相1.

随机试验

(E)——

对随机现象进行的实验与观察.

它具有两个特点：随机性、重复性.2.

样本点

——随机试验的每一个可能结果.3.

样本空间(Ω)

——

随机试验的所有样本点构成的集合.

4.

两类样本空间：

离散样本空间

样本点的个数为有限个或可列个.

连续样本空间

样本点的个数为无限不可列个.1.1.2样本空间1.随机试验(E)——对随机现象进行的实验与观察.21.

随机事件

——

某些样本点组成的集合,Ω的子集，常用A、B、C…表示.

3.

必然事件

(Ω)4.

不可能事件

(φ)——

空集.

5.

随机变量

表示随机现象结果的变量.

常用大写字母X、Y、Z…表示.2.

基本事件

——Ω的单点集.1.1.3随机事件1.随机事件——某些样本点组成的集合,3.必然事件表示随机现象结果的变量.常用大写字母X、Y、Z…表示.1.1.4随机变量表示随机现象结果的变量.1.1.4随机变量在试验中，A中某个样本点出现了，就说A

出现了、发生了，记为A.维恩图

(Venn).事件的三种表示用语言、用集合、用随机变量.事件的表示在试验中，A中某个样本点出现了，事件的表示包含关系：

A

B,

A

发生必然导致

B

发生.相等关系:

A

=

B

A

B

而且

B

A.

互不相容：

A

和B不可能同时发生.1.1.5

事件间的关系包含关系：AB,1.1.5事件间的关系解：1)显然，B发生必然导致A发生，所以BA;.

2)又因为A发生必然导致B发生，所以AB，由此得A=B.例1.1.1

口袋中有a个白球、b个黑球，从中一个一个不返回地取球。A=“取到最后一个是白球”，

B=“取到最后一段是白球”。问A

与B

的关系？解：1)显然，B发生必然导致A发生，所以BA;.并：

A

B

A

与

B

至少有一发生

交：

A

B=AB

A

与

B

同时发生

差：

A

B

A发生但

B不发生

对立：

A

不发生1.1.6

事件的运算并：AB事件运算的图示

A

B

A

B

A

B

事件运算的图示ABABAB德莫根公式德莫根公式

记号

概率论

集合论

Ω

样本空间,必然事件空间

φ

不可能事件空集

样本点

元素

AB

A发生必然导致B发生A是B的子集

AB=φ

A与B互不相容A与B无相同元素

AB

A与B至少有一发生A与B的并集

AB

A与B同时发生

A与B的交集

AB

A发生且B不发生A与B的差集

A不发生、对立事件A的余集记号概率论集合论

基本事件互不相容，基本事件之并=Ω

注意点(1)基本事件互不相容，基本事件之并=Ω注意点(1)注意点(2)注意点(2)

若A1，A2，……，An

有

1.Ai互不相容；

2.A1A2

……An=Ω

则称A1，A2，……，An

为Ω的一组分割.样本空间的分割若A1，A2，……，An有样本空间的分割1.若A是B的子事件，则

AB=()，AB=()2.设

A与B同时出现时

C也出现，则(

)

①

AB是

C的子事件；

②

C是

AB的子事件；

③

AB是

C的子事件；

④

C是

AB的子事件.课堂练习③BA1.若A是B的子事件，则2.设A与B同时3.

设事件A=“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则A的对立事件为（）①甲种产品滞销，乙种产品畅销；②甲、乙两种产品均畅销；③甲种产品滞销；④甲种产品滞销或者乙种产品畅销.4.设x

表示一个沿数轴做随机运动的质点位置，试说明下列各对事件间的关系①A={|xa|＜σ}，B={x

a＜σ}②A={x＞20}，B={x≤22}③A={x＞22}，B={x＜19}④AB相容不相容3.设事件A=“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，5.试用A、B、C表示下列事件：①A出现；②仅A出现；③恰有一个出现；④至少有一个出现；⑤至多有一个出现；⑥都不出现；⑦不都出现；⑧至少有两个出现；5.试用A、B、C表示下列事件：

设Ω为样本空间，F

是由Ω的子集组成的集合类，若F满足以下三点,则称F为事件域1.1.7

事件域1.ΩF;2.

若AF

，则F;3.若AnF

，n=1,2,…,

则F.设Ω为样本空间，F是由Ω的子集组成的集合1.1.7直观定义

——

事件A出现的可能性大小.统计定义

——

事件A在大量重复试验下出现的频率的稳定值称为该事件的概率.古典定义；几何定义.§1.2

概率的定义及其确定方法直观定义——事件A出现的可能性大小.§1.2概率的非负性公理：

P(A)0;正则性公理：

P(Ω)=1;可列可加性公理：若A1,A2,……,An

……

互不相容，则1.2.1

概率的公理化定义非负性公理：P(A)0;1.2.1概率的公理化定义从n

个元素中任取r

个，求取法数.排列讲次序，组合不讲次序.全排列：Pn=n!0!=1.重复排列：nr选排列：1.2.2

排列与组合公式从n个元素中任取r个，求取法数.1.2.2排列与组合组合：重复组合：组合组合：重复组合：

求排列、组合时，要掌握和注意：加法原则、乘法原则.注意求排列、组合时，要掌握和注意：注意加法原理

完成某件事情有n类途径，在第一类途径中有m1种方法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第n

类途径中有mn种方法，则完成这件事共有m1+m2+…+mn种不同的方法.乘法原理

完成某件事情需先后分成n

个步骤，做第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，依次类推，第n

步有mn种方法，则完成这件事共有m1×m2×…×mn种不同的方法.加法原理完成某件事情有n类途径，在第一类途径中随机试验可大量重复进行.1.2.3

确定概率的频率方法进行n次重复试验，记n(A)为事件A的频数，称为事件A的频率.频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值).用频率的稳定值作为该事件的概率.随机试验可大量重复进行.1.2.3确定概率的频率方法进行

古典方法设为样本空间，若①只含有限个样本点;②每个样本点出现的可能性相等，则事件A的概率为:P(A)=A中样本点的个数/样本点总数1.2.4

确定概率的古典方法古典方法设为样本空间，若1.2.抛一枚硬币三次抛三枚硬币一次Ω1={(正正正),(反正正),(正反正),(正正反),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)}

此样本空间中的样本点等可能.Ω2={(三正),(二正一反),(二反一正),(三反)}

此样本空间中的样本点不等可能.注意抛一枚硬币三次抛三枚硬币一次注意例1.2.1

六根草，头两两相接、尾两两相接。求成环的概率.解：用乘法原则直接计算所求概率为例1.2.1六根草，头两两相接、解：用乘法原则直接计算所n个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率.解：考虑甲先坐好，则乙有n-1个位置可坐，而“甲乙相邻”只有两种情况，所以P(A)=2/(n-1)。例1.2.2n个人围一圆桌坐，解：考虑甲先坐好，则乙有n-1个位置可坐n个人坐成一排，求甲、乙两人相邻而坐的概率.(注意：请与上一题作比较)解：1)先考虑样本空间的样本点数：甲先坐、乙后坐，则共有n(n1)种可能.2)甲在两端，则乙与甲相邻共有2种可能.3)甲在中间(n2)个位置上，则乙左右都可坐，所以共有2(n2)种可能。由此得所求概率为：例1.2.3n个人坐成一排，解：1)先考虑样本空间的样本点数：例1.21.2.5

确定概率的几何方法

若①样本空间充满某个区域，其度量(长度、面积、体积)为S；

②落在中的任一子区域A的概率，只与子区域的度量SA有关，而与子区域的位置无关(等可能的).

则事件A的概率为:P(A)=SA

/S1.2.5确定概率的几何方法若①样本空间几何方法的例子

例1.2.3

蒲丰投针问题平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l的针，求针与平行线相交的概率.几何方法的例子例1.2.3蒲丰投针问题蒲丰投针问题(续1)解：以x表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以表示针与此直线间的交角.

易知样本空间满足：0x

d/2;0

.形成x-平面上的一个矩形，其面积为：S=d(/2).

蒲丰投针问题(续1)解：以x表示针的中点与最近一条平行线的蒲丰投针问题(续2)

A=“针与平行线相交”的充要条件是:

x

l

sin(/2).

针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方法求解得蒲丰投针问题(续2)A=“针与平行线相交”的由蒲丰投针问题知：长为l的针与平行线相交的概率为:2l/d.而实际去做N次试验，得n次针与平行线相交，则频率为:n/N.用频率代替概率得：2lN/(dn).历史上有一些实验数据.的随机模拟由蒲丰投针问题知：长为l的针与平行线相交的概率为:2l蒲丰投针问题的推广平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为a,b,c(均小于d)的三角形，求三角形与平行线相交的概率．分析：三角形与平行线相交有以下三种情况：

1)

一个顶点在平行线上;

2)

一条边与平行线重合;

3)

两条边与平行线相交.前两种情况出现的概率为零.所以只要去确定两条边与平行线相交的概率.蒲丰投针问题的推广平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意解：记Pab,Pac,Pbc,Pa,Pb,Pc分别为边ab,ac,bc,

a,b,c与平行线相交的概率，则所求概率为

p=P(三角形与平行线相交)=Pab+Pac+Pbc.

由蒲丰投针问题知Pa=2a/(d),Pb=2b/(d),Pc=2c/(d).

因为Pa=Pab+Pac,Pb=Pab+Pbc,Pc=Pac+Pbc

所以Pa+

Pb+

Pc=2(Pab+Pac+Pbc),

由此得

p=Pab+Pac+Pbc=(Pa+

Pb+

Pc)/2

=(a+b+c)/(d).解：记Pab,Pac,Pbc,Pa,Pb,Pc分别为边ab

性质1.3.1

P(φ)=0.

注意:

逆不一定成立.§1.3

概率的性质性质1.3.1P(φ)=0.§1.3概率的性质1.3.2(有限可加性)

若AB=φ，则P(AB)=P(A)+P(B).

可推广到n个互不相容事件.性质1.3.3(对立事件公式)

P()=1P(A).1.3.1

概率的可加性性质1.3.2(有限可加性)1.3.1概率的可加性性质1.3.4

若AB，则P(AB)=P(A)P(B)；若AB，则P(A)P(B).性质1.3.5

P(AB)=P(A)P(AB).1.3.2

概率的单调性性质1.3.41.3.2概率的单调性(6)P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)

P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)

P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)1.3.3

概率的加法公式(6)P(AB)=P(A)+P(B)P(A

AB=φ，P(A)=0.6，P(AB)=0.8，求B

的对立事件的概率。解：由P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B)例1.3.1

得P(B)=P(AB)P(A)=0.80.6=0.2，

所以P()=10.2=0.8.AB=φ，P(A)=0.6，P(AB)=0.8，解：由例1.3.2解：因为P(AB)=P(A)P(AB)，所以先求P(AB)

由加法公式得P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.4+0.30.6=0.1

所以P(AB)=P(A)P(AB)=0.3P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.6，求

P(AB).

例1.3.2解：因为P(AB)=P(A)P(AB)例1.3.3解：因为A、B、C

都不出现的概率为=1P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC)=11/41/41/4+0+1/6+1/60=15/12=7/12P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,求A、B、C

都不出现的概率.例1.3.3解：因为A、B、C都不出现的概率为=1P(口袋中有n1个黑球、1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球.求第k次取到黑球的概率.利用对立事件解：记A为“第k次取到黑球”，则A的对立事件为“第k次取到白球”.而“第k次取到白球”意味着：“第1次……第k1次取到黑球，而第k次取到白球”口袋中有n1个黑球、1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，思考题

口袋中有2个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球.

求第k次取到黑球的概率.思考题口袋中有2个白球，每次从口袋中随例1.3.4解：用对立事件进行计算,记A=“至少出现一次6点”，则所求概率为

一颗骰子掷4次，求至少出现一次6点的概率.例1.3.4解：用对立事件进行计算,记A=“至少出现一次6例1.3.5解：记B=“至少出现一次双6点”，则所求概率为

两颗骰子掷24次，求至少出现一次双6点的概率.例1.3.5解：记B=“至少出现一次双6点”，则所求概从1,2,……,9中返回取n次，求取出的n个数的乘积能被10整除的概率.利用对立事件和加法公式解：因为“乘积能被10整除”意味着：

“取到过5”(记为A)且“取到过偶数”(记为B)。因此所求概率为P(AB).利用对立事件公式、德莫根公式和加法公式从1,2,……,9中返回取n次，利用对立事件和加法公甲掷硬币n+1次，乙掷n次.(习题1.3第10题)求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.

利用对称性解：记甲正=甲掷出的正面数，乙正=乙掷出的正面数.

甲反=甲掷出的反面数，乙反=乙掷出的反面数.因为

P(甲正>乙正)=P(n+1-甲反>n-乙反)=P(甲反-1<乙反)=P(甲反乙反)=1P(甲正>乙正)(对称性)所以2P(甲正>乙正)=1,由此得P(甲正>乙正)=1/2甲掷硬币n+1次，乙掷n次.(习题1.3第10题)利用N个产品，其中M个不合格品、NM个合格品.(口袋中有M个白球，NM个黑球)常见模型(1)

——

不返回抽样从中不返回任取n个,则此n个中有m个不合格品的概率为：此模型又称超几何模型.

nN,mM,

nmNM.N个产品，其中M个不合格品、NM个合格品.常见模型(1)口袋中有5

个白球、7个黑球、4个红球.从中不返回任取3

个.求取出的3

个球为不同颜色的球的概率.思考题口袋中有5个白球、7个黑球、4个红球.思考题购买：从01，……，35中选7个号码.开奖：7个基本号码，1个特殊号码.

彩票问题——幸运35选7购买：从01，……，35中选7个号码.彩票问题——幸运35中奖规则

1)7个基本号码

2)6个基本号码+1个特殊号码

3)6个基本号码

4)5个基本号码+1个特殊号码

5)5个基本号码

6)4个基本号码+1个特殊号码

7)4个基本号码，或3个基本号码+1个特殊号码

中奖规则1)7个基本号码中奖概率中所含样本点个数：将35个号分成三类：

7个基本号码、1个特殊号码、27个无用号码记pi

为中i等奖的概率。利用抽样模型得：

中奖概率中所含样本点个数：将35个号分成三类：中奖概率如下：不中奖的概率为：

p0=1p1p2p3p4p5p6p7中奖概率如下：不中奖的概率为：

N个产品，其中M个不合格品、NM个合格品.

从中有返回地任取n个.则此n个中有m个不合格品的概率为：常见模型(2)——返回抽样条件：

m

n,即

m=0,1,2,……,n.N个产品，其中M个不合格品、NM个合格品.常见模型(2n个不同球放入N个不同的盒子中.每个盒子中所放球数不限.求恰有n个盒子中各有一球的概率(nN)

常见模型(3)

——

盒子模型n个不同球放入N个不同的盒子中.常见模型(3)——求n个人中至少有两人生日相同的概率.看成n个球放入N=365个盒子中.P(至少两人生日相同)=1P(生日全不相同)用盒子模型得：pn=P(至少两人生日相同)=生日问题p20=0.4058,p30=0.6963,p50=0.9651,p60=0.9922

求n个人中至少有两人生日相同的概率.生日问题p20=0.4n个人、n顶帽子，任意取，至少一个人拿对自己帽子的概率.记Ai

=“第i

个人拿对自己的帽子”，i=1,…,n.求P(A1A2……An)，不可用对立事件公式.用加法公式：常见模型(4)——

配对模型n个人、n顶帽子，任意取，至少一个人拿对自己帽子的概率.P(Ai)=1/n,P(AiAj)=1/n(n1),P(AiAjAk)=1/n(n1)(n2),……P(A1A2……An)=1/n!P(A1A2……An)=

配对模型(续)P(Ai)=1/n,P(AiAj)=1因为概率是事件(集合)的函数，所以先讨论事件(集合)的“极限”

.本节给出可列可加性的充要条件.1.3.4

概率的连续性因为概率是事件(集合)的函数，1.3.4概率的连续性若事件序列{Fn}满足：F1F2

…

Fn

…

则称{Fn}为单调不减事件序列，其极限事件为事件序列的极限若事件序列{Fn}满足：F1F2

…

Fn

…

则称{Fn}为单调不增事件序列，其极限事件为若事件序列{Fn}满足：F1F2…Fn

设P(·)是一个集合函数，

(1)

若任对单调不减集合序列{Fn}，有

则称P(·)是下连续的.集合函数的连续性

(2)若任对单调不增集合序列{Fn}，有

则称P(·)是上连续的.

设P(·)是一个集合函数，集合函数的连续性(2)

性质1.3.7

若P(·)是事件域F上的一个概率函数，

则P(·)既是下连续的，又是上连续的.概率的连续性性质1.3.7概率的连续性性质1.3.8若P(·)是事件域F上满足：非负、正则的集合函数，则P(·)有可列可加性的充要条件是它具有有限可加性和下连续性.可列可加性的充要条件性质1.3.8可列可加性的充要条件问题的提出：

1)10个人摸彩，有3张中彩.

问：第1个人中彩的概率为多少？第2个人中彩的概率为多少？

2)10个人摸彩，有3张中彩.

问：已知第l个人没摸中，第2个人中彩的概率为多少？§1.4

条件概率问题的提出：§1.4条件概率

定义1.4.1

对于事件A、B，若P(B)>0，则称P(A|B)=P(AB)/P(B)

为在B

出现的条件下，A

出现的条件概率.1.4.1

条件概率的定义定义1.4.11.4.1条件概率的定义

1)

缩减样本空间：将缩减为B=B.

2)

用定义：

P(A|B)=P(AB)/P(B).条件概率P(A|B)的计算条件概率P(A|B)的计算10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二个又取到次品的概率.

P(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/15)/(3/10)=2/9解：设A={第一个取到次品}，

B={第二个取到次品}，例1.4.110个产品中有7个正品、3个次品，从中P(B|A)条件概率P(A|B)满足概率的三条公理.由此得：

P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)P(AB|C)；

若A与B互不相容，则P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)；

P(|B)=1

P(A|B).条件概率是概率条件概率P(A|B)满足概率的三条公理.条件概率是概率P(|B)=1;P(B|)1;P(A|)=P(A);P(A|A)=1.注意点注意点(1)

设P(B)＞0，且AB，则下列必然成立的是()①P(A)<P(A|B)②P(A)≤P(A|B)③P(A)>P(A|B)④P(A)≥P(A|B)(2)

P(A)=0.6,P(AB)=0.84,P(B|A)=0.4,

则P(B)=().课堂练习(1)设P(B)＞0，且AB，则下列必然成立的是(乘法公式;全概率公式；贝叶斯公式.条件概率的三大公式条件概率的三大公式性质1.4.2

(1)若

P(B)>0，则P(AB)=P(B)P(A|B)；若P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B|A).(2)若

P(A1A2······An1)>0，则

P(A1A2······An)=P(A1)P(A2|A1)······P(An|A1A2······An1)1.4.2

乘法公式性质1.4.21.4.2乘法公式乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率.一批零件共有100个，其中10个不合格品。从中一个一个不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率.解：记Ai=“第i次取出的是不合格品”

Bi=“第i次取出的是合格品”,目的求P(B1B2A3)

用乘法公式

P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1)P(A3|B1B2)=乘法公式的应用乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率.乘法公式的应用性质1.4.3

若事件B1,B2,

······,Bn是样本空间的一组分割，且P(Bi)>0，则1.4.3

全概率公式性质1.4.31.4.3全概率公式全概率公式用于求复杂事件的概率.使用全概率公式关键在于寻找另一组事件来“分割”样本空间.全概率公式最简单的形式：注意点(1)全概率公式用于求复杂事件的概率.注意点(1)若事件B1,B2,

······,Bn是互不相容的，且

P(Bi)>0，注意点(2)

则由可得

若事件B1,B2,······,Bn是互不相容的，且

设10件产品中有3件不合格品，从中不放回地取两次，每次一件，求取出的第二件为不合格品的概率。解：设A=“第一次取得不合格品”，

B=“第二次取得不合格品”.由全概率公式得：=(3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9)

=3/10例1.4.2设10件产品中有3件不合格品，从中解：设An张彩票中有一张中奖，从中不返回地摸取，记Ai为“第i次摸到中奖券”，则

(1)P(A1)=1/n.

(2)可用全概率公式计算得P(A2)=1/n.

(3)可用归纳法计算得

P(Ai)=1/n,i=1,2,……,n.摸彩模型n张彩票中有一张中奖，从中不返回地摸摸彩模n张彩票中有k张中奖，从中不返回地摸取，记Ai

为“第i次摸到奖券”，则

P(Ai)=k/n,i=1,2,……,n结论：不论先后，中彩机会是一样的.摸彩模型(续)n张彩票中有k张中奖，从中不返回地摸取，摸彩模型

口袋中有a只白球、b只黑球。在下列情况下，求第k次取出的是白球的概率：

(1)从中一只一只返回取球；

(2)从中一只一只不返回取球；

(3)从中一只一只返回取球，且返回的同时再加入一只同色球.思考题口袋中有a只白球、b只黑球。在下列情况下，思考

罐中有b

个黑球、r

个红球，每次从中任取一个，取出后将球放回，再加入c

个同色球和d

个异色球.(1)当c=1,d=0时，为不返回抽样.(2)当c=0,d=0时，为返回抽样.(3)当c>0,d=0时，为传染病模型.(4)当c=

0,d>0时，为安全模型.波利亚罐子模型罐中有b个黑球、r个红球，每次从中任取一个，取

记

pk(b,r)为“口袋中有b个黑球、r个红球时，第k

次取出黑球”的概率，k=1,2,……(1)当c=1,d=0时为不返回抽样，所以由摸彩模型得：pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,……(2)当c=0,d=0时为返回抽样，所以

pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,……(3)当c>0,d=0时，为传染病模型。此时pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,……波利亚罐子模型(续)记pk(b,r)为“口袋中有b个黑球、r个红甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、

m只黑球.从甲口袋任取一球放入乙口袋，然后从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白球的概率.概率为：全概率公式的例题甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、全概率公式的例甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、m只黑球.从甲口袋任取两球放入乙口袋，然后从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白球的概率.以上是甲、乙两口袋的球数不同，如果两口袋装的黑、白球个数都相同，则情况又如何？思考题甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、m只黑要调查“敏感性”问题中某种比例p；两个问题：A：生日是否在7月1日前？

B：是否考试作弊？抛硬币回答A或B.答题纸上只有：“是”、“否”.可用全概率公式分析“敏感性”问题.敏感性问题的调查要调查“敏感性”问题中某种比例p；敏感性问题的调查乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率；全概率公式是求“最后结果”的概率；贝叶斯公式是已知“最后结果”，求“原因”的概率.1.4.4

贝叶斯公式1.4.4贝叶斯公式

某人从甲地到乙地，乘飞机、火车、汽车迟到的概率分别为0.1、0.2、0.3，他等可能地选择这三种交通工具。若已知他最后迟到了，求他分别是乘飞机、火车、汽车的概率.（1/6，2/6，3/6）已知“结果”

，求“原因”已知“结果”，求“原因”若事件B1,B2,

······,Bn是样本空间的一组分割，且P(A)>0,P(Bi)>0，则贝叶斯（Bayes）公式

若事件B1,B2,······,Bn是样本空间的一

1)B1,B2,...,Bn可以看作是导致A发生的原因;

2)

P(Bj|A)是在事件A发生的条件下,

某个原因Bj

发生的概率,

称为“后验概率”;

3)Bayes公式又称为“后验概率公式”或“逆概公式”;4)称P(Bj)为“先验概率”.注意点1)B1,B2,...,Bn可以看作是导致A例1.4.3某商品由三个厂家供应，其供应量为：甲厂家是乙厂家的2倍；乙、丙两厂相等。各厂产品的次品率为2%,2%,4%.若从市场上随机抽取一件此种商品，发现是次品，求它是甲厂生产的概率?

解：用1、2、3分别记甲、乙、丙厂，设

Ai

=“取到第i

个工厂的产品”，B=“取到次品”，由题意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25；

P(B|A1)=P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04.=0.4由Bayes公式得:例1.4.3某商品由三个厂家供应，其供应量为：甲厂家是乙

口袋中有一只球，不知它是黑的还是白的。现再往口袋中放入一只白球，然后从口袋中任意取出一只，发现是白球。试问口袋中原来的那只球是白球的可能性多大？课堂练习2/3口袋中有一只球，不知它是黑的还是白的。现再往口袋中放

事件的独立性

直观说法：对于两事件，若其中任何一个事件的发生不影响另一个事件的发生，

则这两事件是独立的.P(A|B)=P(A)

P(AB)/P(B)=P(A)P(AB)

=P(A)P(B)§1.5

独立性事件的独立性§1.5独立性定义1.5.1

若事件A

与B

满足：P(AB)=P(A)P(B),

则称A与B相互独立，简称A与B独立.结论

A、B为两个事件，若P(A)>0,则

A与B

独立等价于

P(B|A)=P(B).性质1.5.1

若事件A与B独立，则

A与独立、与B独立、与独立.1.5.1

两个事件的独立性定义1.5.1若事件A与B满足：1.5.1两

实际应用中，往往根据经验来判断两个事件的独立性：例如

返回抽样、甲乙两人分别工作、重复试验等.事件独立性的判断实际应用中，往往根据经验来判断两个事件事件独立性的判1.5.2

多个事件的相互独立性对于A、B、C三个事件，称满足：

P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)

为A、B、C两两独立.称满足：P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

为A、B、C三三独立.定义1.5.3

若事件A1,A2,……,An满足：两两独立、三三独立、……、n

n独立则称A1,A2,……,An

相互独立.1.5.2多个事件的相互独立性对于A、B、C三个事件

若A、B、C相互独立，则AB与C独立,AB与C独立,AB与C独立.一些结论若A、B、C相互独立，则一些结论

例1.5.1

两射手独立地向同一目标射击一次，其命中率分别为0.9和0.8，求目标被击中的概率.解:

设A=“甲中”,B=“乙中”,C=“目标被击中”,所以解法i)

P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B)=0.9+0.80.90.8=0.98.解法ii)

用对立事件公式

P(C)=P(AB)=1(10.9)(10.8)=10.02=0.98.例1.5.1两射手独立地向同一目标射击一次，其解:

例1.5.2

甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.7，现已知目标被击中，求它是甲击中的概率.。解:设A=“甲中”,B=“乙中”,C=“目标被击中”,所以

P(A|C)=P(AC)/P(C)=P(A)/[P(A)+P(B)P(A)P(B)]=0.6/0.88=15/22例1.5.2甲、乙两人独立地对同一目标射击解:设A

例1.5.3

两射手轮流对同一目标进行射击，甲先射，谁先击中则得胜。每次射击中，甲、乙命中目标的概率分别为和，求甲得胜的概率。解:

因为P(甲胜)=+(1)(1)P(甲胜)所以P(甲胜)=/[1(1)(1)].例1.5.3两射手轮流对同一目标进行射击，甲先射，解

例1.5.4

口袋中有3个白球、5个黑球，甲、乙两人轮流从口袋中有返回地取一球，甲先取.

谁先取到白球为胜，求甲胜的概率.解：P(甲胜)=3/8+(5/8)(5/8)P(甲胜)所以P(甲胜)=8/13.例1.5.4口袋中有3个白球、5个黑球，甲、乙解：P(

例1.5.5

元件工作独立，求系统正常工作的概率.

记Ai=“第i个元件正常工作”，pi=P(Ai).(1)两个元件的串联系统：P(A1A2)=p1p2(2)两个元件的并联系统：

P(A1A2)=p1+

p2p1p2=1(1p1)(1p2)(3)五个元件的桥式系统：用全概率公式

p3(p1+

p4p1p4)(p2+

p5p2p5)+(1p3)(p1p2+

p4p5p1p2p4p5)例1.5.5元件工作独立，求系统正常工作的概率.(1)

若试验E1的任一结果与试验E2的任一结果都是相互独立的事件，则称这两个

试验相互独立，或称独立试验.1.5.3

试验的独立性若试验E1的任一结果与试验E2的任一1.5.3试验

伯努里试验：

若某种试验只有两个结果

(成功、失败；黑球、白球；正面、反面)，则称这个试验为伯努里试验.

在伯努里试验中，一般记“成功”的概率为p.

n重伯努里试验：

n次独立重复的伯努里试验.n

重伯努里试验伯努里试验：n重伯努里试验在n

重伯努里试验中，记成功的次数为X.X的可能取值为：0，1，……，n.X取值为k

的概率为：n

重伯努里试验成功的次数在n重伯努里试验中，记成功的次数为X.n重伯努里试验成功§1.1随机事件及其运算§1.2概率的定义及其确定方法§1.3概率的性质§1.4条件概率§1.5独立性

第一章随机事件与概率§1.1随机事件及其运算第一章随机事件与概率2.

随机现象1.1.1随机现象：自然界中的有两类现象1.

确定性现象

每天早晨太阳从东方升起;

水在标准大气压下加温到100oC沸腾;

掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？

一天内进入某超市的顾客数;

某种型号电视机的寿命;§1.1

随机事件及其运算2.随机现象1.1.1随机现象：自然界中的有两类现象11.1.1随机现象随机现象：在一定的条件下，并不总出现相同结果的现象称为随机现象.特点：1.结果不止一个;2.事先不知道哪一个会出现.随机现象的统计规律性：随机现象的各种结果会表现出一定的规律性，这种规律性称之为

统计规律性.1.1.1随机现象随机现象：在一定的条件下，并不总出现相1.

随机试验

(E)——

对随机现象进行的实验与观察.

它具有两个特点：随机性、重复性.2.

样本点

——随机试验的每一个可能结果.3.

样本空间(Ω)

——

随机试验的所有样本点构成的集合.

4.

两类样本空间：

离散样本空间

样本点的个数为有限个或可列个.

连续样本空间

样本点的个数为无限不可列个.1.1.2样本空间1.随机试验(E)——对随机现象进行的实验与观察.21.

随机事件

——

某些样本点组成的集合,Ω的子集，常用A、B、C…表示.

3.

必然事件

(Ω)4.

不可能事件

(φ)——

空集.

5.

随机变量

表示随机现象结果的变量.

常用大写字母X、Y、Z…表示.2.

基本事件

——Ω的单点集.1.1.3随机事件1.随机事件——某些样本点组成的集合,3.必然事件表示随机现象结果的变量.常用大写字母X、Y、Z…表示.1.1.4随机变量表示随机现象结果的变量.1.1.4随机变量在试验中，A中某个样本点出现了，就说A

出现了、发生了，记为A.维恩图

(Venn).事件的三种表示用语言、用集合、用随机变量.事件的表示在试验中，A中某个样本点出现了，事件的表示包含关系：

A

B,

A

发生必然导致

B

发生.相等关系:

A

=

B

A

B

而且

B

A.

互不相容：

A

和B不可能同时发生.1.1.5

事件间的关系包含关系：AB,1.1.5事件间的关系解：1)显然，B发生必然导致A发生，所以BA;.

2)又因为A发生必然导致B发生，所以AB，由此得A=B.例1.1.1

口袋中有a个白球、b个黑球，从中一个一个不返回地取球。A=“取到最后一个是白球”，

B=“取到最后一段是白球”。问A

与B

的关系？解：1)显然，B发生必然导致A发生，所以BA;.并：

A

B

A

与

B

至少有一发生

交：

A

B=AB

A

与

B

同时发生

差：

A

B

A发生但

B不发生

对立：

A

不发生1.1.6

事件的运算并：AB事件运算的图示

A

B

A

B

A

B

事件运算的图示ABABAB德莫根公式德莫根公式

记号

概率论

集合论

Ω

样本空间,必然事件空间

φ

不可能事件空集

样本点

元素

AB

A发生必然导致B发生A是B的子集

AB=φ

A与B互不相容A与B无相同元素

AB

A与B至少有一发生A与B的并集

AB

A与B同时发生

A与B的交集

AB

A发生且B不发生A与B的差集

A不发生、对立事件A的余集记号概率论集合论

基本事件互不相容，基本事件之并=Ω

注意点(1)基本事件互不相容，基本事件之并=Ω注意点(1)注意点(2)注意点(2)

若A1，A2，……，An

有

1.Ai互不相容；

2.A1A2

……An=Ω

则称A1，A2，……，An

为Ω的一组分割.样本空间的分割若A1，A2，……，An有样本空间的分割1.若A是B的子事件，则

AB=()，AB=()2.设

A与B同时出现时

C也出现，则(

)

①

AB是

C的子事件；

②

C是

AB的子事件；

③

AB是

C的子事件；

④

C是

AB的子事件.课堂练习③BA1.若A是B的子事件，则2.设A与B同时3.

设事件A=“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则A的对立事件为（）①甲种产品滞销，乙种产品畅销；②甲、乙两种产品均畅销；③甲种产品滞销；④甲种产品滞销或者乙种产品畅销.4.设x

表示一个沿数轴做随机运动的质点位置，试说明下列各对事件间的关系①A={|xa|＜σ}，B={x

a＜σ}②A={x＞20}，B={x≤22}③A={x＞22}，B={x＜19}④AB相容不相容3.设事件A=“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，5.试用A、B、C表示下列事件：①A出现；②仅A出现；③恰有一个出现；④至少有一个出现；⑤至多有一个出现；⑥都不出现；⑦不都出现；⑧至少有两个出现；5.试用A、B、C表示下列事件：

设Ω为样本空间，F

是由Ω的子集组成的集合类，若F满足以下三点,则称F为事件域1.1.7

事件域1.ΩF;2.

若AF

，则F;3.若AnF

，n=1,2,…,

则F.设Ω为样本空间，F是由Ω的子集组成的集合1.1.7直观定义

——

事件A出现的可能性大小.统计定义

——

事件A在大量重复试验下出现的频率的稳定值称为该事件的概率.古典定义；几何定义.§1.2

概率的定义及其确定方法直观定义——事件A出现的可能性大小.§1.2概率的非负性公理：

P(A)0;正则性公理：

P(Ω)=1;可列可加性公理：若A1,A2,……,An

……

互不相容，则1.2.1

概率的公理化定义非负性公理：P(A)0;1.2.1概率的公理化定义从n

个元素中任取r

个，求取法数.排列讲次序，组合不讲次序.全排列：Pn=n!0!=1.重复排列：nr选排列：1.2.2

排列与组合公式从n个元素中任取r个，求取法数.1.2.2排列与组合组合：重复组合：组合组合：重复组合：

求排列、组合时，要掌握和注意：加法原则、乘法原则.注意求排列、组合时，要掌握和注意：注意加法原理

完成某件事情有n类途径，在第一类途径中有m1种方法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第n

类途径中有mn种方法，则完成这件事共有m1+m2+…+mn种不同的方法.乘法原理

完成某件事情需先后分成n

个步骤，做第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，依次类推，第n

步有mn种方法，则完成这件事共有m1×m2×…×mn种不同的方法.加法原理完成某件事情有n类途径，在第一类途径中随机试验可大量重复进行.1.2.3

确定概率的频率方法进行n次重复试验，记n(A)为事件A的频数，称为事件A的频率.频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值).用频率的稳定值作为该事件的概率.随机试验可大量重复进行.1.2.3确定概率的频率方法进行

古典方法设为样本空间，若①只含有限个样本点;②每个样本点出现的可能性相等，则事件A的概率为:P(A)=A中样本点的个数/样本点总数1.2.4

确定概率的古典方法古典方法设为样本空间，若1.2.抛一枚硬币三次抛三枚硬币一次Ω1={(正正正),(反正正),(正反正),(正正反),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)}

此样本空间中的样本点等可能.Ω2={(三正),(二正一反),(二反一正),(三反)}

此样本空间中的样本点不等可能.注意抛一枚硬币三次抛三枚硬币一次注意例1.2.1

六根草，头两两相接、尾两两相接。求成环的概率.解：用乘法原则直接计算所求概率为例1.2.1六根草，头两两相接、解：用乘法原则直接计算所n个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率.解：考虑甲先坐好，则乙有n-1个位置可坐，而“甲乙相邻”只有两