北师版七年级数学下册第5章生活中的轴对称课件

5.1轴对称现象第五章生活中的轴对称5.1轴对称现象第五章生活中的轴对称1课堂讲解轴对称图形两个图形成轴对称2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解轴对称图形2课时流程逐点课堂小结作业提升对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，1知识点轴对称图形知1－导观察图中的几组图片和图形，它们有什么共同特点?（来自《教材》）1知识点轴对称图形知1－导观察图中的几组图片和图形，它们如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.总结知1－导（来自《教材》）如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的知1－讲1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直

线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做

轴对称图形，这条直线叫做对称轴．2.定义的作用：

(1)体现轴对称图形具有的特性：沿一条直线折叠

后，直线两旁的部分能够互相重合；(2)判断一个图形是否为轴对称图形．知1－讲1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直知1－讲例1〈天津〉如图的标志中，可以看作是轴对称图形的是(

)按轴对称图形的定义判断，选项D沿竖直的一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，其他三个图形沿任何直线折叠，直线两旁的部分都不重合．导引：D知1－讲例1〈天津〉如图的标志中，可以看作是轴对称图形的是

判断轴对称图形的方法：根据图形的特征，尝试找到一条直线，沿着这条直线对折，如果直线两旁的部分能够重合，即可确定这个图形是轴对称图形，否则就不是轴对称图形．注意：尝试多角度来观察图形和对折图形．总结知1－讲判断轴对称图形的方法：根据图形的特征，尝试总知1－讲例2如图，判断下列图形是否为轴对称图形．如果是，画出对称轴．按照轴对称图形的定义，只要能够找到一条直线，使图形沿这条直线折叠之后直线两旁的部分重合在一起，这个图形就是轴对称图形．同时，该直线即为它的对称轴．注意一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也许有两条或多条导引：知1－讲例2如图，判断下列图形是否为轴对称图形．如果是，画知1－讲图中①②⑤⑥⑦⑧⑩是轴对称图形．它们的对称轴如图：解：知1－讲图中①②⑤⑥⑦⑧⑩是轴对称图形．解：找轴对称图形时，可以试着画对称轴，通过观察两部分是否重合来判定；找对称轴要注意全方位去找，不要遗漏．总结知1－讲找轴对称图形时，可以试着画对称轴，通过观察总1知1－练【2017·齐齐哈尔】下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是(

)D1知1－练【2017·齐齐哈尔】下面四个图形分别是节能、节水2知1－练【2016·漳州】下列图案属于轴对称图形的是(

)A2知1－练【2016·漳州】下列图案属于轴对称图形的是(3知1－练【2016·青海】以下图形，对称轴的数量小于3的是(

)D3知1－练【2016·青海】以下图形，对称轴的数量小于3的是2知识点两个图形成轴对称知2－导做一做将一张纸对折后，用笔尖在纸上扎出如图所示的图形，将纸打开后铺平，观察所得到的图形，是轴对称图形吗？你还能用这种方法得到其他的轴对称图形吗？与同伴进行交流.（来自《教材》）2知识点两个图形成轴对称知2－导做一做（来自《教材》）知2－导议一议观察图中的每组图案，你发现了什么？（来自《教材》）知2－导议一议（来自《教材》）如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴.归纳知2－导（来自《教材》）如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重归知2－讲1.定义：如果两个平面图形沿一条直线对折后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．2.轴对称的定义包含两层含义：(1)有两个图形，且形状、大小完全相同．(2)两个图形的位置必须满足沿一条直线对折后能完全重合．知2－讲1.定义：如果两个平面图形沿一条直线对折后能够完全知2－讲知2－讲知2－讲例3分别观察图中的①～⑤中的两个图形，它们是轴对称的吗？有什么共同特点？尝试沿着一条直线对折，观察两个图形是否能够完全重合，并根据轴对称的定义判断．它们都是轴对称的，每一组中都有两个图形，都可以沿某一条直线对折使两个图形完全重合在一起，所以每组图中的两个图形成轴对称．导引：解：知2－讲例3分别观察图中的①～⑤中的两个图形，它们是轴对称

识别轴对称的方法：判断两个图形是否成轴对称，先观察两个图形的形状、大小，如果形状、大小相同，再看能否找到一条直线且将两个图形沿这条直线对折后能够重合，如果能找到，则这两个图形成轴对称，否则不成轴对称．总结知2－讲识别轴对称的方法：判断两个图形是否成轴对称，知2－讲例4如图：其中是轴对称图形的有________________，与甲成轴对称的图形是____________．根据轴对称和轴对称图形的定义，知甲、乙、丙、丁都是轴对称图形．沿某一条直线折叠后与甲能够完全重合的是丁．导引：甲、乙、丙和丁丁知2－讲例4如图：其中是轴对称图形的有__________判断轴对称图形和轴对称都需判断重合．轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，轴对称是指两个图形的位置关系，区别时要紧抓“一个图形还是两个图形”．总结知2－讲判断轴对称图形和轴对称都需判断重合．轴对称总1下面的图形都是轴对称图形或成轴对称的图形，请分别找出每个图形的对称轴.知2－练（来自《教材》）1下面的图形都是轴对称图形或成轴对称的图形，请分别找出每个2知2－练如图，关于虚线成轴对称的有(

)个．A．1B．2C．3D．4B2知2－练如图，关于虚线成轴对称的有()个．B3知2－练下列说法中，正确的是(

)A．关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形B．全等的两个三角形是关于某条直线对称的C．两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一

定分别位于这条直线的两侧D．全等的两个图形一定成轴对称A3知2－练下列说法中，正确的是()A轴对称和轴对称图形的区别：(1)定义不同；(2)轴对称图形指的是一个图形，而两个图形成轴对称指的是两个图形；(3)一个轴对称图形的对称轴可能有多条，而两个图形成轴对称的对称轴一般只有一条．1知识小结轴对称和轴对称图形的区别：1知识小结5.2探索轴对称的性质第五章生活中的轴对称5.2探索轴对称的第五章生活中的轴对称1课堂讲解轴对称的性质画轴对称图形或成轴对称2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解轴对称的性质2课时流程逐点课堂小结作业提升什么是轴对称图形？什么是轴对称？它们的特性是什么？复习回顾什么是轴对称图形？什么是轴对称？复习回顾1知识点轴对称的性质知1－导如图，将一张矩形纸对折，然后用笔尖扎出“14”这个数字，将纸打开后铺平.（来自《教材》）1知识点轴对称的性质知1－导如图，将一张知1－导(1)上图中，两个“14”有什么关系？(2)在上面扎字的过程中，点E与点E'重合，点F与点F'重合.设折痕所在直线为l，连接点E与点E'的线段与l有什么关系？连接点F与点F'的线段呢？(3)线段AB与线段A'B'有什么关系？线段CD与线段C'D'呢？(4)∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？说说你的理由.（来自《教材》）知1－导(1)上图中，两个“14”有什么关系？（来自《教材》知1－导做一做观察图5-6的轴对称图形，回答下列问题：(1)找出它的对称轴及其成轴对称的两个部分.(2)连接点A与点A'的线段与对称轴有什么关系？连接点B与点B'的线段呢？(3)线段AD与线段A'D'有什么关系？线段BC与线段B'C'呢？为什么？(4)∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？说说你的理由？（来自《教材》）知1－导做一做（来自《教材》）知1－导在图5-6中，沿对称轴对折后，点A与点A'重合，称点A关于对称轴的对应点是点A'.类似地，线段AD关于对称轴的对应线段是线段A′D′，∠3关于对称轴的对应角是∠4.议一议在轴对称图形中，对应点所连的线段与对称轴有什么关系？对应线段有什么关系？对应角有什么关系？在两个成轴对称的图形中呢？（来自《教材》）知1－导在图5-6中，沿对称轴对折后，点A与在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.总结知1－导在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点总知1－讲1.在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点

所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，

对应角相等．2.性质的应用：利用对应角相等求角度；利用对应

线段相等求线段，求面积；作图．知1－讲1.在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点知1－讲例1如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若∠AFC＋∠BCF＝150°，则∠AFE＋∠BCD的大小是(

)A．150°

B．300°C．210°D．330°B知1－讲例1如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在知1－讲由轴对称的性质可知：∠AFC＝∠EFC，∠BCF＝∠DCF，所以∠EFC＋∠DCF＝∠AFC＋∠BCF＝150°，所以∠AFE＋∠BCD＝∠AFC＋∠EFC＋∠BCF＋∠DCF＝150°＋150°＝300°.导引：知1－讲由轴对称的性质可知：导引：知1－讲例2如图，在△ABC中，AB＝3cm，BC＝5cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，DE为折痕，求△ABE的周长．由于AB的长已知，要求△ABE的周长，只要求得AE＋BE即可．由折叠知，△AED和△CED关于DE所在直线对称，由轴对称的性质可得AE＝CE，所以△ABE的周长等于AB＋BC.导引：知1－讲例2如图，在△ABC中，AB＝3cm，BC＝5知1－讲由折叠知，△AED和△CED关于DE所在直线对称，因此AE＝EC，所以BE＋AE＝BE＋EC＝BC＝5cm.所以△ABE的周长＝AB＋BE＋AE＝AB＋BC＝3＋5＝8(cm)．解：知1－讲由折叠知，△AED和△CED关于DE所在直线对称，解折叠问题中，折痕所在的直线是对称轴，折叠前后的两个图形(如本例中△CDE和△ADE)关于折痕(DE)所在的直线成轴对称．总结知1－讲折叠问题中，折痕所在的直线是对称轴，折叠总知1－练用笔尖扎重叠的纸可以得到下面成轴对称的两个图案.(1)找出它的两组对应点、两条对应线段和两个对应角；(2)说明你找到的对应点所连线段分别被对称轴垂直平分.1知1－练用笔尖扎重叠的纸可以得到下面成轴对称的两个图案.1知1－练(1)如图，点A与点A′是一组对应点，点B与点B′

是一组对应点；线段AB与线段A′B′是对应线

段；∠ABC与∠A′B′C′是对应角．(2)略．解：知1－练(1)如图，点A与点A′是一组对应点，点B与点B′解知1－练2如图，已知△A′B′C′与△ABC关于直线MN对称，则MN垂直平分______________．3如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为________．AA′，BB′，CC′8cm2知1－练2如图，已知△A′B′C′与△ABC关于直线MN对知1－练如图，△ABC与△DEF关于直线MN对称，则以下结论中错误的是(

)A．AB∥DF

B．∠ABC＝∠DEFC．AB＝DE

D．AD⊥MN4A知1－练如图，△ABC与△DEF关于直线MN对称，则以下结论知1－练【2016·南充】如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是(

)A．AM＝BM

B．AP＝BNC．∠MAP＝∠MBP

D．∠ANM＝∠BNM5B知1－练【2016·南充】如图，直线MN是四边形AMBN的对知1－练下列说法中错误的是(

)A．成轴对称的两个图形对应点连线的垂直平分

线就是它们的对称轴B．关于某条直线对称的两个图形全等C．面积相等的两个四边形对称D．轴对称指的是两个图形沿着某一条直线对折

后能完全重合6C知1－练下列说法中错误的是()6C知1－练如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝22°，则∠BDC等于(

)A．44°B．60°C．67°D．77°7C知1－练如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△C知1－练【2016·聊城】如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2＝40°，则图中∠1的度数为(

)A．115°B．120°C．130°D．140°8A知1－练【2016·聊城】如图，把一张长方形纸片ABCD沿E2知识点画轴对称图形或成轴对称知2－导做一做图5-7是一个图案的一半，其中的虚线是这个图案的对称轴，画出这个图案的另一半.（来自《教材》）2知识点画轴对称图形或成轴对称知2－导做一做（来自《教材》）知2－讲1.画对称轴(1)如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对

对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要

找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平

分线，就可以得到这两个图形的对称轴．(2)对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作

出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形

的对称轴．知2－讲1.画对称轴知2－讲2.画原图关于某直线对称的图形：(1)依据：如果两个图形关于某一条直线对称，那么连接任意一组对应点的线段被对称轴垂直平分．(2)画原图关于某直线对称的图形的步骤：画原图关于某直线对称的图形要经历一找二作三连这三个步骤：①找：在原图形上找特殊点(如线段的端点)；②作：作各个特殊点关于对称轴的对称点；③连：按原图的顺序连接所作的各对称点．知2－讲2.画原图关于某直线对称的图形：知2－讲例3如图，△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，你能画出这条直线吗？因为两个图形关于某条直线对称时，对称轴是任意一组对应点所连线段的垂直平分线，所以我们只要确定一组对应点(如点A和点D)，然后连接两点(点A和点D)，画出线段(线段AD)的垂直平分线，就可以得到△ABC和△DEF成轴对称的对称轴．导引：知2－讲例3如图，△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，知2－讲能．(1)连接AD；(2)取AD的中点O，过O作直线MN⊥AD，

则MN即为所求作的直线．如图.解：知2－讲能．解：作成轴对称的两个图形的对称轴，只需作出图形中任意一组对应点所连线段的垂直平分线即可．总结知2－讲作成轴对称的两个图形的对称轴，只需作出图形总知2－讲例4如图，画出△ABC关于直线l对称的图形．首先确定图形中的关键点，然后作关键点关于对称轴的对称点，最后连接所作的对称点，得到相应的图形．导引：知2－讲例4如图，画出△ABC关于直线l对称的图形．首知2－讲如图.解：知2－讲如图.解：(1)作轴对称图形的三字诀“找、作、连”：找——找特殊点；作——作各特殊点关于对称轴的对称点；连——按原图的顺序连接各对称点．(2)点在对称轴上时，它关于对称轴的对称点就是它本身；点在对称轴一侧时，它关于对称轴的对称点在对称轴的另一侧．总结知2－讲(1)作轴对称图形的三字诀“找、作、连”：总结知2－讲知2－讲例5〈哈尔滨〉如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB和直线MN，点A，B，M，N均在小正方形的顶点上．在方格纸中画四边形ABCD(四边形的各顶点均在小正方形的顶点上)，使四边形ABCD是以直线MN为对称轴的轴对称图形，点A的对称点为点D，点B的对称点为点C.根据网格的特殊性，找出点A的对称点D，点B的对称点C，并连接BC，CD，DA.导引：知2－讲例5〈哈尔滨〉如图，在每个小正方形的根据网格的特殊知2－讲如图.解：知2－讲如图.解：借助网格图作轴对称图形是中考的一个热点，观察图中已知图形的特殊点与对称轴，利用轴对称的性质，找出各特殊点的对称点，再依次连线．总结知2－讲借助网格图作轴对称图形是中考的一个热点，观总知2－讲例6如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站，分别向A，B两个开发区运货，若要求货物中转站到A，B两个开发区的距离和最小，那么货物中转站应修建在何处？说明理由．知2－讲例6如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站，分别向知2－讲要在MN上求一点P，使得PA＋PB最小，可以把PA＋PB连成一条线段，因为两点之间线段最短，为此可作A(或B)关于MN的对称点A′(或B′)，连接BA′(或AB′)交MN于点P，则P就是所求作的点，利用三角形三边关系可以说明这样作的理由．导引：知2－讲要在MN上求一点P，使得PA＋PB最小，可以把导引：知2－讲①作点A关于直线MN的对称点A′；②连接BA′交MN于点P，则点P就是货物中转站的位置．如图.理由：如图，在直线MN上另取一点P′，连接AP，A′P′，AP′，BP′.因为直线MN是点A，A′的对称轴，点P，P′在对称轴上，所以PA＝PA′，P′A＝P′A′.所以PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B.在△A′P′B中，因为A′B＜P′A′＋P′B，所以PA＋PB＜P′A′＋P′B，即PA＋PB＜P′A＋P′B，所以PA＋PB最小．解：知2－讲①作点A关于直线MN的对称点A′；解：解决一条直线同侧的两点到直线上一点的距离和最小问题，就是作一点关于直线的对称点，连接这个对称点和另一点，与直线的交点就是所求．利用对称性是解决这类距离之和最小问题的常用方法．总结知2－讲解决一条直线同侧的两点到直线上一点的距离和总知2－练如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称．(1)△ABC______△A′B′C′；(2)A点的对应点是_____，C′点的对应点是______；(3)连接BB′交l于点M，连接AA′交l于点N，则BM

＝________，AA′与BB′

的位置关系是________；(4)直线l___________AA′.1≌A′点C点B′M互相平行垂直平分知2－练如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称．1≌A知2－练【2017·呼和浩特】图中序号(1)(2)(3)(4)对应的四个三角形，都是△ABC这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是(

)A．(1)B．(2)C．(3)D．(4)2A知2－练【2017·呼和浩特】图中序号(1)(2)(3)(41.轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.2.作轴对称图形的方法：(1)确定原图形的关键点；(2)作出每个关键点关于对称轴对称的对称点；(3)按原图形的顺序依次连接相应的对称点．1知识小结1.轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形1知识小结2易错小结如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有多少个？画出图形．易错点：找不准对称轴的条数而导致出错2易错小结如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的解：如图，与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个．分别为△DCB，△FBH，△CDA，△AEF，△HGC.

易错的原因是找不准对称轴的条数．解：如图，与△ABC成轴对称且也以易错的原因是找不准对称轴的第1课时

等腰三角形的性质第五章生活中的轴对称5.3简单的轴对称图形第1课时等腰三角形第五章生活中的轴对称5.31课堂讲解等腰三角形的对称性等腰三角形的“三线合一”性质等腰三角形的边、角性质等边三角形的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解等腰三角形的对称性2课时流程逐点课堂小结作业提什么样的三角形是等腰三角形？它有哪些特征？复习回顾什么样的三角形是等腰三角形？它有哪些特征？复习回顾1知识点等腰三角形的对称性知1－导等腰三角形是生活中常见的图形.(1)等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，请找出它的对称轴.(2)等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴吗？(3)等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？(4)沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪些特征？说说你的理由.（来自《教材》）1知识点等腰三角形的对称性知1－导等腰三角形是生活中常见等腰三角形是轴对称图形.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.等腰三角形的两个底角相等.总结知1－导（来自《教材》）等腰三角形是轴对称图形.总结知1－导（来知1－讲性质1：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴．知1－讲性质1：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底1知1－练下面是由大小不同的等边三角形组成的图案，请找出它的对称轴.（来自《教材》）解：有3条对称轴，如图．1知1－练下面是由大小不同的等边三角形组成的图案，请找出它的知1－练2【中考·咸宁】在下列学习用具中，不是轴对称图形的是(

)3一个等边三角形的对称轴共有(

)A．1条B．2条C．3条D．6条CC知1－练2【中考·咸宁】在下列学习用具中，不是轴对称图形的是2知识点等腰三角形的“三线合一”性质知2－讲性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简写成“三线合一”)．2知识点等腰三角形的“三线合一”性质知2－讲性质2：等腰知2－讲例1如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F.(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数；(2)试说明：EF＝ED.知2－讲例1如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上知2－讲(1)因为AB＝AC，AD是BC边上的中线，所以∠BAD＝∠CAD.所以∠BAC＝2∠BAD＝50°.因为AB＝AC，所以∠C＝∠ABC

＝(180°－∠BAC)＝(180°－50°)＝65°.(2)因为AB＝AC，AD是BC边上的中线，所以ED⊥BC，又因为BG平分∠ABC，EF⊥AB，所以EF＝ED.解：知2－讲(1)因为AB＝AC，AD是BC边上的中线，解：(1)等腰三角形的“三线合一”的性质是说明角相等、线段相等和垂直关系的既重要又简便的方法；因为题目的说明或计算所求结果大多都是单一的，所以“三线合一”性质的应用也是单一的，一般得出一个结论，因此应用要灵活．(2)在等腰三角形中，作“三线”中“一线”，利用“三线合一”是等腰三角形中常用的方法．总结知2－讲(1)等腰三角形的“三线合一”的性质是说明角相等、总结知知2－讲例2如图，AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，AM⊥CD，垂足为M.试说明：CM＝MD.由已知AM⊥CD和结论CM＝MD，联想到等腰三角形“三线合一”的性质，由此连接AC，AD构造等腰三角形．导引：知2－讲例2如图，AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，AM知2－讲如图，连接AC，AD.在△ABC和△AED中，所以△ABC≌△AED(SAS)．所以AC＝AD.又因为AM⊥CD，所以CM＝MD.解：知2－讲如图，连接AC，AD.解：对于单一等腰三角形作“三线合一”的基本图形，作底边上的高、中线还是顶角平分线，可根据解题需要作辅助线；对于叠合等腰三角形作“三线合一”的基本图形，则需巧作辅助线，下面就如下几种图形说明巧作辅助线的方法：1.如图甲的情形，需作底边上的高；总结知2－讲对于单一等腰三角形作“三线合一”的基本图总知2－讲2.如图乙的情形，需作顶角平分线；3.如图丙的情形，需作中线；4.如图丁的情形，需连接AD并延长再说明其是“三线”即可．知2－讲2.如图乙的情形，需作顶角平分线；1知2－练墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平.他拿来一个如图所示的测平仪，在这个测平仪中，AB＝AC，BC边的中点D处挂了一个重锤.小明将BC边与木条重合，观察此时重锤是否通过A点.如果重锤过A点，那么这根木条就是水平的.你能说明其中的道理吗？（来自《教材》）1知2－练墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平.知2－练（来自《教材》）能．根据等腰三角形“三线合一”的性质，等腰三角形ABC底边BC上的中线DA应垂直于底边BC(即木条)．如果重锤过点A，说明AD所在直线垂直于水平线，那么木条就是水平的．解：知2－练（来自《教材》）能．根据等腰三角形“三线合一”的性质知2－练2【中考·苏州】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为(

)A．35°B．45°C．55°D．60°C知2－练2【中考·苏州】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为3如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD＝CD；④若点P在直线AD上，则PB＝PC.其中正确的是(

)A．①B．①②C．①②③D．①②③④知2－练D3如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥知2－练4如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是________．20知2－练4如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，3知识点等腰三角形的边、角性质知3－讲性质3：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．3知识点等腰三角形的边、角性质知3－讲性质3：等腰三角形的两知3－讲例3〈毕节，易错题〉已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为(

)A．16

B．20或16

C．20

D．12B.错解分析：本题错在没有对结果进行验证．当腰长为4时，两边之和为4＋4＝8，不大于第三边，不能构成三角形，应该把腰长为4的情况舍去．周长应为8＋8＋4＝20.错误答案：C知3－讲例3〈毕节，易错题〉已知等腰三角形的一边长为4，另知3－讲例4(1)在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，求∠B；(2)若等腰三角形的一个角为70°，求顶角的度数；(3)若等腰三角形的一个角为90°，求顶角的度数．给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运用三角形的内角和为180°与等腰三角形的两底角相等的性质求解；若给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两种情况求解．导引：知3－讲例4(1)在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°知3－讲(1)因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.(2)当底角为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.当顶角为70°时，底角为因此顶角为40°或70°.(3)若顶角为90°，底角为

若底角为90°，则三个内角的和将大于180°，不符合三角形内角和为180°.因此顶角为90°解：知3－讲(1)因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.解：(1)在等腰三角形中求角时，要看给出的角是否确定为顶角或底角．若已确定，则直接利用三角形的内角和为180°求解；若没有指出所给的角是顶角还是底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三角形内角和为180°.(2)若等腰三角形中给出的一内角是直角或钝角，则此角必为顶角．总结知3－讲(1)在等腰三角形中求角时，要看给出的角是否确定总结知31知3－练如图，在下面的等腰三角形中，∠A是顶角，分别求出它们的底角的度数.（来自《教材》）(1)(180°－60°)÷2＝60°；(2)(180°－90°)÷2＝45°；(3)(180°－120°)÷2＝30°.解：1知3－练如图，在下面的等腰三角形中，∠A是顶角，分别求出它知3－练2【2016·赤峰】等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是(

)A．30°，60°B．45°，45°C．45°，90°D．20°，70°B知3－练2【2016·赤峰】等腰三角形有一个角是90°，则另知3－练3【2017·滨州】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为(

)A．40°B．36°C．30°D．25°B知3－练3【2017·滨州】如图，在△ABC中，AB＝AC，知3－练4【2016·滨州】如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为(

)A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°D知3－练4【2016·滨州】如图，在△ABC中，D为AB上一知3－练5【2017·烟台】某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为(

)A．48°B．40°C．30°D．24°D知3－练5【2017·烟台】某城市几条道路的位置关系如图所示4知识点等边三角形的性质知4－导想一想(1)等边三角形有几条对称轴?(2)你能发现它的哪些特征？（来自《教材》）4知识点等边三角形的性质知4－导想一想（来自《教材》）知4－讲1.等边三角形的三条边都相等；2.等边三角形的内角都相等,且等于60°;3.等边三角形是轴对称图形，有三条对称；4.等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线

都三线合一.知4－讲1.等边三角形的三条边都相等；知4－讲例5如图，点C是线段AB上任意一点(点C与点A，B不重合)，分别以AC，BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N.连接MN.试说明：(1)△ACM≌△DCN；(2)MN∥AB.知4－讲例5如图，点C是线段AB上任意一点(点C与点A，B知4－讲(1)因为△ACD和△BCE都是等边三角形，所以AC＝DC，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°.因为∠ACD＋∠DCE＋∠ECB＝180°，所以∠DCE＝60°.所以∠ACE＝∠DCB＝120°.所以△ACE≌△DCB(SAS)．所以∠EAC＝∠BDC.又因为AC＝DC，∠ACM＝∠DCN＝60°，所以△ACM≌△DCN(ASA)．解：知4－讲(1)因为△ACD和△BCE都是等边三角形，解：知4－讲(2)由(1)知△ACM≌△DCN，所以CM＝CN.又因为∠MCN＝60°，所以∠NMC＝∠MNC＝60°.所以∠NMC＝∠ACM.所以MN∥AB.知4－讲(2)由(1)知△ACM≌△DCN，知4－练1【2017·天津】如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD.下列结论一定正确的是(

)A．∠ABD＝∠E

B．∠CBE＝∠CC．AD∥BC

D．AD＝BCC知4－练1【2017·天津】如图，将△ABC绕点B顺时针旋转知4－练2如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD.其中正确结论的个数为(

)A．3B．2C．1D．0A知4－练2如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△AD1.等腰三角形的性质总结：(1)性质1：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或

底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对

称轴．(2)性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、

底边上的高重合(简写成“三线合一”)．(3)性质3：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边

对等角”)．1知识小结1.等腰三角形的性质总结：1知识小结2.等边三角形的性质：(1)等边三角形的三条边都相等；(2)等边三角形的内角都相等,且等于60°;(3)等边三角形是轴对称图形，有三条对称；(4)等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线

都三线合一.2.等边三角形的性质：2易错小结等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴有(

)A．1条B．2条C．1条或3条D．不确定易错点：忽略等腰三角形的特殊情形造成漏解C2易错小结等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴有()易错点错解：诊断：A等腰三角形包括底和腰不相等的等腰三角形和等边三角形，等边三角形是等腰三角形的特殊情形，在解决有关问题时，往往因为忽略这种特殊情形而漏解．等边三角形有3条对称轴．错解：A第2课时

线段垂直平分

线的性质第五章生活中的轴对称5.3简单的轴对称图形第2课时线段垂直平分第五章生活中的轴对称5.3简1课堂讲解线段的轴对称性及线段的垂直平分线线段垂直平分线的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解线段的轴对称性及线段的垂直平分线2课时流程逐点如图，画一条线段AB，然后对折AB，使A，B两点重合，设折痕与AB的交点为O.你发现了什么？线段AB(如图)是轴对称图形吗？如图，画一条线段AB，然后对折AB，使A，B线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.总结线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是总1知识点线段的轴对称性及线段的垂直平分线知1－讲1.线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴；线段本身所在的直线也是它的一条对称轴．2.线段垂直平分线的定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(简称中垂线)．1知识点线段的轴对称性及线段的垂直平分线知1－讲1.线段1知1－练利用尺规作图，找出线段AB的中点.如图．已知：线段AB.求作：线段AB的中点C.作法：作线段AB的垂直平

分线PQ，交AB于点

C.点C即为所求线

段AB的中点．解：1知1－练利用尺规作图，找出线段AB的中点.如图．已知：线段知1－练2下列说法中：①P是线段AB上的一点，直线l经过点P且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线；②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；③若AP＝PB，且直线l垂直于线段AB，则l是线段AB的垂直平分线；④经过线段AB的中点P且垂直于线段AB的直线l是线段AB的垂直平分线．其中正确的有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个A知1－练2下列说法中：A知1－练3关于线段的垂直平分线有以下说法：①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；②线段的垂直平分线是一条直线；③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴．其中正确的说法有(

)A．1个B．2个C．3个D．0个B知1－练3关于线段的垂直平分线有以下说法：B知1－练4【2016·厦门】已知△ABC的周长是l，BC＝l－2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是(

)A．△ABC的边AB的垂直平分线B．∠ACB的平分线所在的直线C．△ABC的边BC上的中线所在的直线D．△ABC的边AC上的高所在的直线C知1－练4【2016·厦门】已知△ABC的周长是l，BC＝l2知识点线段垂直平分线的性质知2－导议一议如图，点C是线段AB垂直平分线上的一点，AC和BC相等吗？改变点C的位置，结论还成立吗?（来自《教材》）2知识点线段垂直平分线的性质知2－导议一议（来自《教材》）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.归纳知2－导（来自《教材》）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距归知2－讲（来自《教材》）例1利用尺规，作线段AB的垂直平分线(如图).已知：线段AB.求作：AB的垂直平分线.作法：1.分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D.2.作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线(如右图).知2－讲（来自《教材》）例1利用尺规，作线段AB的垂直平分知2－讲例2如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE交AB，AC于点E，D，(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；(2)若BC＝4，求△BCD的周长．由DE是AB的垂直平分线，得AD＝BD，所以BD与CD的长度和等于AC的长，所以由△BCD的周长可求BC的长，同样由BC的长也可求△BCD的周长．导引：知2－讲例2如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线知2－讲因为DE是AB的垂直平分线，所以AD＝BD，所以BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.(1)因为△BCD的周长为8，所以BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3.(2)因为BC＝4，所以△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.解：知2－讲因为DE是AB的垂直平分线，解：本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性质把BD的长转化成AD的长，从而把未知的BD与CD的长度和转化成已知的线段AC的长．本题中AC的长、BC的长及△BCD的周长三者可互相转化，知其二可求第三者．总结知2－讲本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性质总知2－讲例3如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD的度数是________．在△ABC中，因为∠B＝90°，∠A＝40°，所以∠ACB＝50°.因为MN是线段AC的垂直平分线，所以DC＝DA，AE＝CE.又因为DE＝DE，所以△ADE≌△CDE(SSS)，所以∠DCE＝∠A＝40°.所以∠BCD＝∠ACB－∠DCA＝50°－40°＝10°.导引：10°知2－讲例3如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°利用线段的垂直平分线的性质得出边相等，从而得出三角形全等，再利用全等三角形中对应角相等确定∠DCA的度数，根据角度差解决问题．总结知2－讲利用线段的垂直平分线的性质得出边相等，从总知2－练1【中考·义乌】如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(

)A．6B．5C．4D．3B知2－练1【中考·义乌】如图，直线CD是线段AB的垂直平分线知2－练2【中考·临沂】如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(

)A．AB＝AD

B．CA平分∠BCD

C．AB＝BD

D．△BEC≌△DECC知2－练2【中考·临沂】如图，在四边形ABCD中，AC垂直平知2－练3【中考·随州】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是(

)A．8B．9C．10D．11C知2－练3【中考·随州】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝知2－练4如图，已知线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点M，连接AM，CM，则线段AM，CM的大小关系是(

)A．AM>CM

B．AM＝CMC．AM<CM

D．无法确定B知2－练4如图，已知线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于知2－练5【2017·荆州】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为(

)A．30°B．45°C．50°D．75°B知2－练5【2017·荆州】如图，在△ABC中，AB＝AC，知2－练6如图，MP，NQ分别垂直平分AB，AC，且BC＝6cm，则△APQ的周长为(

)A．12cmB．6cmC．8cmD．无法确定B知2－练6如图，MP，NQ分别垂直平分AB，AC，且BC＝61.利用线段垂直平分线的性质可以说明线段相等，线段的垂直平分线需满足垂直、平分线段．2.应用性质时要注意两点：(1)点一定在垂直平分线上；(2)距离指的是点到线段两个端点的距离．2知识小结1.利用线段垂直平分线的性质可以说明线段相等，线2知识小结2易错小结如图，已知直线l是AB的垂直平分线，M是直线l上的一点，D，E是AB上不同的点，则AM＝BM吗？MD＝ME吗？易错点：忽略等腰三角形的特殊情形造成漏解解：AM＝BM，无法判断MD是否等于ME.2易错小结如图，已知直线l是AB的垂直平分线，M是直线l上的本题易错在对线段垂直平分线的性质理解不准确而得到错解MD＝ME.本题易错在对线段垂直平分线的性质理解不准确而得到错解MD＝M第3课时

角平分线的性质第五章生活中的轴对称5.3简单的轴对称图形第3课时角平分线的第五章生活中的轴对称5.3简1课堂讲解角平分线的画法角平分线的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解角平分线的画法2课时流程逐点课堂小结作业提升如图5-16，将∠AOB对折，你发现了什么?角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗?如图5-16，将∠AOB对折，你发现了什么?角是生活中常见的角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.总结角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对总1知识点角平分线的画法知1－讲（来自《教材》）例1利用尺规，作∠AOB的平分线(如图).已知：∠AOB.求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC.1知识点角平分线的画法知1－讲（来自《教材》）例1利用尺规知1－讲（来自《教材》）作法：1.在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE.2.分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.3.作射线OC.OC就是∠AOB的平分线(如图).知1－讲（来自《教材》）作法：知1－讲例2某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图(点M，N表示大学，AO，BO表示公路)．现计划在∠AOB内修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．(1)你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案；(2)阐述你的设计理由．知1－讲例2某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图(点M，知1－讲到M，N两点的距离相等的点在线段MN的垂直平分线上，到OA，OB距离相等的点在∠AOB的平分线上．(1)仓库应该建在MN的垂直平分线和∠AOB的平分线的交点P处．如图.(2)MN的垂直平分线l上的点到M，N两点的距离相等，∠AOB的平分线OC上的点到OA，OB的距离相等．P为l和OC的交点，因此P点即为所求．解：导引：知1－讲到M，N两点的距离相等的点在线段MN的垂直平分线解：1知1－练先任意画一个角，然后将它四等分.（来自《教材》）如图．点拨：

画出已知角∠AOB.①作∠AOB的平分线OC.②分别作∠BOC和∠AOC的平分线OD，OE.OC，OD，OE即将∠AOB四等分．解：1知1－练先任意画一个角，（来自《教材》）如图．解：2知1－练用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(

)A．SSSB．ASAC．AASD．角平分线上的点到角两边的距离相等A2知1－练用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能3知1－练作∠AOB的平分线时，以O为圆心，某一长度为半径作弧，与OA，OB分别相交于C，D，然后分别以C，D为圆心，适当的长度为半径作弧，使两弧相交于一点，则这个适当的长度为(

)A．大于

CDB．等于

CDC．小于

CDD．以上都不对A3知1－练作∠AOB的平分线时，以O为圆心，某一长度为半径作4知1－练【2017·枣庄】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于

MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是(

)A．15B．30C．45D．60D4知1－练【2017·枣庄】如图，在Rt△ABC中，∠C＝92知识点角平分线的性质知2－导做一做(1)在一张纸上任意画∠AOB，沿角的两边将角剪下，将这个角对折，使角的两边重合，折痕就是∠AOB的平分线.(2)在∠AOB的角平分线上任意取一点C，分别折出过点C且与∠AOB的两边垂直的直线，垂足分别为D，E，将∠AOB再次对折，线段CD与CE能重合吗？改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗?（来自《教材》）2知识点角平分线的性质知2－导做一做（来自《教材》）知2－讲1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．2.角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．知2－讲1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对知2－讲例3如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若BC＝5cm，BD＝3cm，则点D到AB的距离为_____．点D到AB的距离就是过点D作AB的垂线段的长度．过D作DE⊥AB于E.因为∠C＝90°，AD平分∠BAC，所以ED＝CD＝BC－BD＝5－3＝2(cm)．导引：2cm知2－讲例3如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠B求角平分线上的点到角两边的距离时，应用角平分线的性质将未知线段向已知线段转化．总结知2－讲求角平分线上的点到角两边的距离时，应用角平总知2－讲例4如图，BD是∠ABC的平分线，BA＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N，试说明：PM＝PN.要说明PM＝PN，由PM⊥AD，PN⊥CD，可说明PMD≌△PND或者DP平分∠ADC.题目已知BD平分∠ABC，所以用第二种方法更简单些．导引：知2－讲例4如图，BD是∠ABC的平分线，BA＝BC，点P在知2－讲因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠CBD.因为BA＝BC，BD＝BD，所以△ABD≌△CBD(SAS)，所以∠ADB＝∠CDB.又因为PM⊥AD，PN⊥CD，所以PM＝PN.解：知2－讲因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠CBD.解：用角平分线的性质说明两条线段相等，就不用再说明两条线段所在的三角形全等．性质的具体运用是：一平分两垂直得相等．总结知2－讲用角平分线的性质说明两条线段相等，就不用再总1知2－练【2016·怀化】如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是(

)A．PC＝PD

B．∠CPO＝∠DOPC．∠CPO＝∠DPO

D．OC＝ODB1知2－练【2016·怀化】如图，OP为∠AOB的平分线，P2知2－练如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是(

)A．PA＝PB

B．PO平分∠APBC．OA＝OB

D．AB垂直平分OPD2知2－练如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂3知2－练【2017·台州】如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是(

)A．2B．3C.D．4A3知2－练【2017·台州】如图，点P是∠AOB平分线OC上4知2－练如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是(

)A．6cmB．7cmC．8cmD．9cmA4知2－练如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD5知2－练【2016·湖州】如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是(

)A．8B．6C．4D．2C5知2－练【2016·湖州】如图，AB∥CD，BP和CP分别角的平分线图形结构中的“两种数量关系”：如图，OC平分∠AOB，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，DE交OC于点F.(1)角的相等关系：①∠AOC＝∠BOC＝∠PDF＝∠PEF；②∠ODP＝∠OEP＝∠DFO＝∠EFO＝∠DFP＝∠EFP＝90°；③∠DPO＝∠EPO＝∠ODF＝∠OEF.(2)线段的相等关系：OD＝OE，DP＝EP，DF＝EF.1知识小结角的平分线图形结构中的“两种数量关系”：1知识小结2易错小结如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，BC边上有一点E，连接DE，则AD与DE的关系为(

)A．AD>DEB．AD＝DEC．AD<DE

D．不确定易错点：运用角的平分线的性质时，常因忽略“到角两边的距离”而导致错误D2易错小结如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D本题易出现错误的主要原因是误认为角平分线上的点与角两边上的任意一点连接的线段都相等，而忽略了“到角两边的距离”这一要求，即忽略DE与BC，AB与AD是否垂直，从而错选B.本题易出现错误的主要原因是误认为角平分线上的点与角两边上的任5.4利用轴对称进行设计第五章生活中的轴对称5.4利用轴对称进第五章生活中的轴对称1课堂讲解剪纸中的轴对称设计轴对称图案2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解剪纸中的轴对称2课时流程逐点课堂小结作业提升剪纸在生活中经常见到，你知道它是利用图形的轴对称性进行设计的吗？剪纸在生活中经常见到，你知道它是利用图形的1知识点剪纸中的轴对称知1－导（来自《教材》）做一做1.取一张长30cm、宽6cm的纸条，将它每3cm一段，一反一正像“手风琴”那样折叠起来.在折叠好的纸上画出字母E，并用小刀把画出的字母E挖去.拉开“手风琴”纸条，你就可以得到一条以字母E为图案的花边.1知识点剪纸中的轴对称知1－导（来自《教材》）做一做知1－导（来自《教材》）在上面的活动中，如果先把纸条纵向对折，再折成“手风琴”，然后继续上面的步骤，此时会得到怎样的花边？它是轴对称图形吗？先猜一猜，再做一做.2.如图所示，取一张薄的正方形纸，沿对角线对折后，得到一个等腰直角三角形，再沿底边上的高线对折.将得到的角形纸沿图中的黑色线剪开，去掉含90°角的部分.打开折叠的纸，并将其铺平.知1－导（来自《教材》）在上面的活动中，如果知1－导（来自《教材》）(1)你会得到怎样的图案？先猜一猜，再做一做.(2)你能说明为什么会得到这样的图案吗？应用学过的轴对称知识试一试.(3)如果将正方形纸按上面方式对折3次(如图所示)，然后沿圆弧剪开，去掉较小部分，展开后结果又会怎样？为什么？(4)当纸对折2次后，剪出