2019中考数学压轴题专项汇编专题13“Y”形模型

2019中考数学压轴题专项汇编专题13“Y”形模型2019中考数学压轴题专项汇编专题13“Y”形模型6/62019中考数学压轴题专项汇编专题13“Y”形模型2019-2020年中考数学压轴题专项汇编专题13“Y”形模型破解策略当图形拥有邻边相等的这一特色时，可以把图形的某部分绕其邻边的公共端点旋转到另一位置，将分其他条件相对集中起来，从而解决问题．因为正方形、正三角形的边长相等，所以在这两种图形中常常应用旋转变换．1）如图，等边△ABC内有一点P，连接AP，BP，CP，将△BPC绕点B逆时针旋转60°获取△BP'A，则△BPP'是等边三角形；△APP'的形状由AP，BP，CP的长度决定．AP'PB

C（2）如图，正方形到△BP'A，则△

ABCD内有一点P，连接AP，BP，CP，将△BPC绕点B逆时针旋转90°得BPP'是等腰直角三角形；△APP'的形状由AP，BP，CP的长度决定．ADPP'BC这类题目中不提旋转，而是经过旋转增加辅助线，从而解决问题．例题讲解例1已知：在△ABC中，∠BAC＝60°．（1）如图1，若AB＝AC，点P在△ABC内，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的长；APBC图1【答案】解：（1）如图4，将△APC绕点A顺时针旋转60°，获取△AQB，连接PQ．易证△PAQ是等边三角形．从而在△PQB中，有∠PQB＝90°，PQ＝3，BQ＝4，所以PB＝5AQPBC图4【答案】解：（1）如图4，将△APC绕点A顺时针旋转60°，获取△AQB，连接PQ．易证△PAQ是等边三角形．从而在△PQB中，有∠PQB＝90°，PQ＝3，BQ＝4，所以PB＝5AQPBC图4（2）如图2，若AB＝AC，点P在△ABC外，且PA＝3，PB＝5，PC＝4，求∠APC的度数；PABC图2【答案】（2）如图5，将△APC绕点A顺时针旋转60°，获取△AQB，连接PQ．易证△PAQ是等边三角形．从而在△PQB中，有PQ＝3，BQ＝4，PB＝5，所以∠PQB＝90°，从而∠APC＝∠AQB＝30°．PAQBC图53）如图3，若AB＝2AC，点P在△ABC内，且PA＝3，PB＝5，∠APC＝120°，求PC的长；APBC图3【答案】（3）如图6，作△AQC，使得AQ＝1AP，CQ＝1BP，连接PQ．22易证△ACB∽△AQP．从而在△QPC中，有∠QPC＝90°，PQ＝3，QC＝5，22∴PC＝2AQPBC图6例2如图，正方形ABCD外有一点E，满足ED＝EC，且∠DEA＝15°，求证：△DEC为等边三角形．ADEBC证明如图，过点D作DF⊥DE，且DF＝DE，连接CF交AE于点G，连接EF．易证△ADE≌△CDF，所以∠DFC＝∠DEA＝15°，从而∠FGE＝∠FDE＝90°，∠GFE＝30°．所以GE＝1EF＝2DF＝2CE，222所以∠GEC＝45°，∠DEC＝60°，即△DEC为等边三角形．FADEBC进阶训练1．（1）如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA＝5，PB＝2，PC＝1，则∠BPC的度数为________；ADPBC图1【答案】1．（1）135°；【提示】如图，将△BPC旋转至△BP'A，连接PP'，证△AP'P是直角三角形即可．ADP'PBC2）如图2，在正六边形ABCDEF内有一点P，PA＝213，PB＝4，PC＝2，则∠BPC的度数为________，正六边形ABCDEF的边长为________．FEADPCB图2【答案】（2）120°；27FEADGPP'CB2．（1）如图1，在等边△ABC中，AC＝7，点P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积；（2）如图2，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝k·AB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）DAAPBECBC图1图21）△APC的面积为73；2）BD＝16k225【提示】（1）如图，将△ABP绕点B顺时针旋转60°至△CBQ，连接PQ．易证△PQC为含30°的直角三角形．令BP＝m，则PQ＝m，从而AP＝CQ＝3m，PC＝2m，尔后解Rt△APC即可．（2）如图，连接AC，显然AC＝AB，将△ABD绕点A逆时针旋转∠BAC的度数至△ACQ，连接DQ，则△ABC∽△ADQ，从而D