(完整版)数列通项公式求法大全(配练习测试及参考答案),推荐文档

数列通项公式的十种求法一、公式法—、累加法a=a+f(n)TOC\o"1-5"\h\zn+1n例1已知数列｛a｝满足a=a+2n+1,a=1，求数列｛a｝的通项公式。a=n2nn+1n1nn例2已知数列｛a｝满足a=a+2x3n+1,a=3，求数列｛a｝的通项公式。nn+1n1n(a=3n+n-1.)n二、累乘法a=f(n)an+1n例3已知数列｛a｝满足a=2(n+1)5nxa,a=3，求数列｛a｝的通项公式。nn+1n1nn(n-1)、a=3x2n-ix52xn!.)n评注：本题解题的关键是把递推关系a=2(n+1)£xa转化为九=2(n+1)5”,n+1nan进而求出上厂•丄•厶•厶•a，即得数列｛a｝的通项公式。aaaa1nn-1n-221例4已矢□数列｛a｝满足a=1,a=a+2a+3a+L+(n-1)a(n>2)，求｛a｝的n1n123n-1nn!通项公式。(a=n.)n2评注：本题解题的关键是把递推关系式a=(n+1)a(n>2)转化为TOC\o"1-5"\h\zn+1nh=n+1(n>2)，进而求出上-••L•厶•a，从而可得当n>2时，a的表达aaaa2nnn-1n-22式，最后再求出数列｛a｝的通项公式。n四、待定系数法a=pa+qa=pa+=pa+qa(其中p，qn+1nn+1nn+2n+1n均为常数)。

例5已知数列｛a｝满足a二2a+3x5n,a二6，求数列｛a｝的通项公式。TOC\o"1-5"\h\znn+1n1n(a=2n-1+5n)n评注：本题解题的关键是把递推关系式a=2a+3x5n转化为n+1na—5n+1=2(a—5n)，从而可知数列｛a—5n｝是等比数列，进而求出数列｛a—5n｝n+1nnn的通项公式，最后再求出数列｛a｝的通项公式。n例6已知数列｛a｝满足a=3a+5x2n+4,a=1，求数列｛a｝的通项公式。nn+1n1n(a=13x3n-1—5x2n—2)n评注：本题解题的关键是把递推关系式a=3a+5x2+4转化为n+1na+5x2n+1+2=3(a+5x2n+2)，从而可知数列｛a+5x2n+2｝是等比数列，进n+1nn而求出数列｛a+5x2n+2｝的通项公式，最后再求数列｛a｝的通项公式。nn例7已知数列｛a｝满足a=2a+3n2+4n+5,a=1，求数列｛a｝的通项公式。nn+1n1n(a=2n+4—3n2—10n—18)n评注：本题解题的关键是把递推关系式a=2a+3n2+4n+5转化为n+1na+3(n+1)2+10(n+1)+18=2(a+3n2+10n+18)，从而可知数列n+1n｛a+3n2+10n+18｝是等比数列，进而求出数列｛a+3n2+10n+18｝的通项公式，nn最后再求出数列｛a｝的通项公式。n五、递推公式为S与a的关系式(或S=f(a))nnnn解法：这种类型一般利用anS解法：这种类型一般利用anS1

Sn—Sn—1•(n=1)(n>2)例8已知数列｛｝前n项和S=4—a—.(1)求a与a的关系；(2)求通nnn2n—2n+1n项公

例9已知数列｛a｝满足a=3a+2x例9已知数列｛a｝满足a=3a+2x3nn+1n+1,a=3，求数列｛a｝的通项公式。1n解：a=3a+2x3n+1两边除以3n+1，n+1n3n+13n33n+1aa21贝Q—n=+，故n+1—n3n+13n33n+1因此a=s+叮3n3.2n+1=+-

322X3nTOC\o"1-5"\h\z2c1c1贝Ua=xnx3n+x3n-.n322评注：本题解题的关键是把递推关系式a=3a+2x3n+1转化为n+1n^21^21-f=-+，进而求出3n+13n33n+1aaaaaaa、—―aaaaaaa、—―n—1)+(―n—1—―n2)+(―n2—―n—3)+L+(—2——)3n3n-13n-13"-23"-23"-33231+a，即得数列的通项公式，最后再求数列｛a｝的通项公式。n七、对数变换法（当通项公式中含幂指数时适用）例10已知数列｛a｝满足a二例10已知数列｛a｝满足a二2x3nxa5,n+1a=7，求数列｛a｝的通项公式。1n解：因为a=2x3n+1xa5,an：=7，所以a1n>0,a>0。在a=2x3nxa5式两边n+1n+1n取常用对数得lga取常用对数得lgan+1=5lga+nlg3+lg2n设Iga+x(n+1)+y=5(lga+xn+设Ign+1n将⑩式代入式，得5lga+nlg3+lg2+x(n+1)+y=5(lga+xn+y)，两边消去nn5lga并整理，得(lg3+x)n+x+y+lg2=5xn+5y，则n

Ig3+x=5xx+y+lg2=5ylg3x=4y=亘+竺16Ig3+x=5xx+y+lg2=5ylg3x=4y=亘+竺164由览罗罟X1+譽+竽=即+罟X1+导+丰0及式,得lga+lg3n+¥3+竽丰0,TOC\o"1-5"\h\zn4164lga+lg3(n+1)+空+空网二+1416=5人」]lg3lg3lg2'lga+n++一n4164所以数列｛lga+孚n+卑+与是以lg7+孚+卑+竽为首项，以5为公比n416441644）5n一1'因此的等比数列，则lga+lg3n+¥3+竽=4）5n一1'因此lg3lg3lg2叱=（即+孚+詈+竽lg3lg3lg2叱=（即+孚+詈+竽）5"-1-亍64++-4164111n亠1=(lg7+lg34+lg36+lg24)5"-1—lg34—lg316—lg241丄1n丄1=[lg(7-34•316•24)]5n-1—lg(34•316•24)丄丄丄n丄丄=lg(7-34•316•24)5"-1—lg(34•316•24)5nT-n5nT-15nT-1=lg(75n—1-34-316-24)5n—4n—15n—■—1=lg(75"-1-316-24)5n-4n-15n—1-1则a=75n-1x316x24on评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式a=2x3nxa5转化为TOC\o"1-5"\h\zn+1nlga+孚（n+1）+器+竽=5（lga+孚n+器+竽），从而可知数列n+14164n4164｛lga+孚n+卑+鸟？｝是等比数列，进而求出数列｛lga+孚n+畧+竽｝的

n4164n4164通项公式，最后再求出数列｛a｝的通项公式。n

八、迭代法例11已知数列｛a｝满足a=a3(n+i)2”，a=5，求数列｛a｝的通项公式。TOC\o"1-5"\h\znn+1n1n解：因为a=a3(n+1)2n，所以a=a3n・2"-i=[a3(n-1)-2n-2]3n-2n-!n+1nnn-1n-2又a=5，所以数列｛a｝的通项公式为a=53"-i。1nn评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式a=a3(n+1)2nn+1n两边取常用对数得lga=3(n+1)x2nxlga，即里人=3(a=a3(n+1)2nn+1nn再由累乘法可推知lga=卑再由累乘法可推知lga=卑nlgan-1lgaTlgalgalgalgalgan-22「n(n-1)2-lga=Ig53"-E2"；'，从而:11a=53n-1加2于。a=53n-1加2于。n九、数学归纳法例12已知数列｛a｝满足a=ann+1j+8(n+1)(2n+1)2(2n+3)2=8，求数列｛a｝的通项9n公式。解：由a=a+8(〃+1)-n+1n(2n+1)2(2n+3)2及"1=9'得由此可猜测a卷晋，往下用数学归纳法证明这个结论。⑴当n=1时,:;1⑴当n=1时,(2X1+1)29⑵假设当n=k时等式成立’即q=；；；+)J'则当n=k+1时,由此可知，当n=k+1时等式也成立。根据(1),(2)可知，等式对任何ngN*都成立。

评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。十、换元法例13已知数列｛a｝满足a=丄(1+4a+J1+24a),a=1，求数列｛a｝的通项nn+116nn1n公式。解：令b=、；1+24a，则a=丄■(b2-1)n、nn24n11故a=(b2—1)，代入a=(1+4a+f1+24a)得TOC\o"1-5"\h\zn+124n+1n+116n轄n即4b2=(b+3)2因为b=J1+24a>0，故b=J1+24a>0n7nn+1耳n+113则u2b=b+3，即b=_b+_,n+1nn+12n2可化为b—3=；(b—3),n+12n所以｛b—3｝是以