函数的单调性与导数市公开课一等奖省名师优质课赛课一等奖课件

1.3.1函数单调性与导数yx00cosx

－sinx

axlna

ex

回顾复习1导数几何意义设函数y=f(x)定义域为I,D是I子集，当对任意两个变量x1、x2∈D且x1＜x2时函数单调性判定单调函数的图象特征yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在D上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在D上是减函数；若f(x)在D上是增函数或减函数，增函数减函数D称为单调区间二、复习引入:知识回顾判断函数单调性有哪些方法？比如：判断函数单调性。xyo函数在上为____函数，在上为____函数。图象法定义法减增如图：2.怎样用定义判断函数单调性？

（1）取值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论思索：那么怎样求出以下函数单调性呢?(1)f(x)=2x3-6x2+7(2)f(x)=ex-x+1(3)f(x)=sinx-x发觉问题：用单调性定义讨论函数单调性即使可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时。比如：2x3-6x2+7，是否有更为简捷方法呢？2yx0.......再观察函数y=x2－4x＋3图象：总结:该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负;而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.单调性导数正负函数及图象xyoxyo切线斜率正负xyo函数单调性与导数的关系？k>0k>0k<0k<0++--递增递减函数单调性与导数正负的关系增减例1、已知导函数以下信息：当1<x<4时，>0;当x>4,或x<1时，<0;当x=4,或x=1时，=0.则函数f(x)图象大致形状是(）。xyo14xyo14xyo14xyo14ABCDD导函数f’(x)------与原函数f(x)增减性相关正负设是函数导函数，图象如右图所表示,则图象最有可能是()xyo12xyo12xyo12xyo12xyo2(A)(B)(C)(D)CD例1：求函数单调区间。了解训练：解：单调递增区间为单调递减区间为变2：求函数单调区间。巩固提升：解:注意:单调区间不能够并起来.答案：C例2、判断以下函数单调性，并求出单调区间：(1)f(x)=x3+3x;解：=3x2+3=3(x2+1)>0从而函数f(x)=x3+3x在x∈R上单调递增，见右图。(2)f(x)=x2-2x-3;解：=2x-2=2(x-1)图象见右图。当>0，即x>1时，函数单调递增；当<0，即x<1时，函数单调递减；(3)f(x)=sinx-x;x∈(0,p)解：=cosx-1<0从而函数f(x)=sinx-x

在x∈(0,)单调递减，见右图。(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;解：=6x2+6x-24=6(x2+x-4)当>0，即时，函数单调递增；图象见右图。当<0，即时，函数单调递减；(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;练习判断以下函数单调性,并求出单调区间:小结(1)在利用导数讨论函数单调区间时，首先要确定函数定义域，处理问题过程只能在定义域内，经过讨论导数符号来判断函数单调区间.(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零点外，还要注意在定义域内间断点.4．求以下函数单调区间．(1)y＝xex；(2)y＝x3－x.解：(1)y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，令y′>0得x>－1.令y′<0得x<－1，所以y＝xex单调递增区间为(－1，＋∞)，递减区间为(－∞，－1)．函数单调性与导数正负的关系答案

D小结A随堂检测A(2，＋∞)(－∞，2)

(2)函数f(x)＝x3－x增区间为

，减区间为______________.热点一已知函数单调性求参数取值范围【例1】

(·杭州模拟)设函数f(x)＝x2＋ax－lnx(a∈R)． (1)若a＝1，求函数f(x)单调区间； (2)若函数f(x)在区间(0,1]上是减函数，求实数a取值范围．规律方法(1)当f(x)不含参数时，可经过解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)直接得到单调递增(或递减)区间．(2)已知函数单调性，求参数取值范围，应用条件f′(x)≥0[或f′(x)≤0，x∈(a，b)]恒成立，解出参数取值范围(普通可用不等式恒成立理论求解)，应注意参数取值是f′(x)不恒等于0参数范围．思考题A例2：解：由已知得因为函数在（0，1]上单调递增在某个区间上，，f（x）在这个区间上单调递增（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到是不够。还有可能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号问题需要单独验证求参数取值范围例3：方程根问题求证：方程只有一个根。B2.函数y=a(x3-x)减区间为

则a取值范围为()(A)a>0(B)–1<a<1(C)a>1(D)0<a<1A答案C提醒:利用导数判断单调性,依据函数单调性比较函数值大小证实：令f(x)=e2x－1－2x.∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1)∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0,即f′(x)＞0∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函数.∵f(0)=e0－1－0=0.∴当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即e2x－1－2x＞0.∴1+2x＜e2x2.当x＞0时，证实不等式：1+2x＜e2x.分析：假设令f(x)=e2x－1－2x.∵f(0)=e0－1－0=0,假如能够证实f(x)在(0，+∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就能够证实.点评：所以以后要证实不等式时，能够利用函数单调性进行证实，把特殊点找出来使函数值为0.3.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a取值范围，并求其单调区间。(1)函数单调性与导数正负关系课堂小结(2)利用导数研究函数单调性步骤(2)函数y=f(x)图象以下列图所表示,则图象可能是()[考点整合