(完整版)高二数学函数的极值与最值试题

高二数学函数的极值与最值试题：选择题1.函数f(x)=x3+ax2+x在(0,+w)内有两个极值点，则实数a的取值范围是()A.(0,+s)B.(—\：3八：3)C.(―^,0)D.(s\：3)【答案】D2.函数f(x)=x2+x-lnx的极值点的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个解：由于函数f(x)=x2+x-lnx,(x>0)令f'(x)=0,则K=-1(舍)或工冷故函数f(x)=x2+x-lnx的极值点的个数是1,故答案为B.3.如图所示的是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x2+x2等于()12B.4C.8D.16【答案】C4.函数f(x)=x2-ex+1,xwL2,1］的最大值为()A.4e-1B.0C.e2D.3e2【答案】C函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的减区间是()A.(-1，1)B.(0，1)C.(-1，0)D.(-2，-1)【答案】A右图是函数y=f(x)的导函数y=广(x)的图象，给出下列命题：-3是函数y二f(x)的极值点；-1是函数y二f(x)的极小值点；y二f(x)在x=0处切线的斜率小于零；TOC\o"1-5"\h\zy=f(x)在区间(-3,1)上单调递增•则正确命题的序号是()A.①②B.①④C.②③D.②④【答案】B(2008•广东)设aGR，若函数y=eax+3x,xGR有大于零的极值点，则()A.a>-3B.a<-3C.D.”a>—a<33解：设f(x)=eax+3x,则f(x)=3+aeax.若函数在xGR上有大于零的极值点.即f'(x)=3+aeax=0有正根.当有f'(x)=3+aeax=0成立时，显然有a<0,此时x^^ln(-鱼).aa由x>0,得参数a的范围为a<-3.故选B.【2012高考真题辽宁理12】若x€[0,+如，则下列不等式恒成立的是(B)丄<1-1x+1x2(\-1+x24(B)丄<1-1x+1x2(\-1+x24(D)ln(1+x).x-1(C)cosx..1-x2【答案】C1—1—x2，则g(x)二八x)一sinx+x,【解析】设f(x)=cosx-(1-—x2)=cosx-1+2x€[0,+8)所以g'(x)二—cosx+1x€[0,+8)g(x)为增函数，所以g(x)=f'(x)2g(0)=0,11同理f(x)2f(0)=0,cosx-(1-—x2)三0,即cosx..1-—x2,故选C22TOC\o"1-5"\h\z11且函数f(x)在区间(0,1)内取9.已知函数f(x)=x3+ax2+2bx+c(a,b,c且函数f(x)在区间(0,1)内取32得极大值，在区间(1,2)内取得极小值，则z二(a+3)2+b2的取值范围为()：2iA.,2)B.(-,4)C.(1,2)D.(1,4)【答案】B10.【2012高考真题全国卷理10】已知函数y=x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c(A)-2或2(B)-9或3(C)-1或1(D)-3或1【答案】A【解析】若函数y二x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0,函数的导数为y'二3x2-3，令y'二3x2-3二0,解得x=±1，可知当极大值为/(T)=2+c，极小值为/(1)=c-2.由/(T)=2+c=0，解得C=—2，由f(1)=c-2=0，解得c二2，所以c=-2或c二2，选A.(2012・昌图县模拟)下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是()f(x)>0的解集是｛xl0<x<2｝；f(-12)是极小值，f()是极大值；f(x)没有最小值，也没有最大值.A.①③B.①②③C.②D.①②解：由f(x)>0n(2x-x2)ex>0n2x-x2>0n0<x<2，故①正确；f'(x)=ex(2-x2)，由f'(x)=0得x=±V^，由f'(x)<0得x>=2或由f'(x)>0得-12<x<i2，•••f(x)的单调减区间为(-b,-逅)，(逅，+b).单调增区间为(-,血).•••f(x)的极大值为f(^),极小值为f(-^),故②正确.•••X<-I迈时，f(x)<0恒成立.•••f(x)无最小值，但有最大值f(]迈)•••③不正确.故选D.(2010•安庆模拟)如果函数满足：对于任意的x1,x2G[0,1],都有if(xj-f(x2)兰1恒成立，则a的取值范围是()___A.B.C.o)U〔0,"^]D.0)U解：由题意f'(x)=x2-a2当a2>1时，在xG[0,1],恒有导数为负，即函数在[0,1]上是减函数，故最大值为f(0)=0，最小值为f(1)=£-a2,故有吉<1，解得止"'，故可得1WaW衣J当a2G［0,1］,由导数知函数在［0,a］上增，在［a,1］上减，故最大值为f(a)=又f3(0)=0,矛盾，aG［0,1］不成立，故选A．二:填空题函数f(x)二x3+ax2+bx+a2在x=1时有极值10，那么a,b的值分别为.【答案】4,-11已知函数f(x)的导数f'(x)=a(x+1)(x—a)，若f(x)在x=a处取得极大值，则a的取值范围是。【答案】(—1,0)•••f(x)的单调递增区间为(-1,2),(4,+-),f(x)的单调递减区间为(2,4)—x=2时，f(x)取得极大值•••f(x)的极大值点为x=2故答案为：(-1,2),(4,+-)；216设函数)叭屆+0(0^5),若小)+/⑴是奇函数，则卩二;【答案】泾若函数f(x)=x3-3bx+3b在(0,1)内有极小值，则b的取值范围为.解：由题意得f'(x)=3x2-3b,令f'(x)=0,则x=±b又:函数f(x)=x3-3bx+b在区间(0,1)内有极小值，0V<1,bG(0,1),故答案为(0，1)在R上的可导函数f(x)h^x3+gax2+2bx+c，当xG(0,1)时取得极大值，当xG(1,2)时取得极小值，贝*的范围是—.a_1解：f'(x)=x2+ax+2b，由函数当xG(0,1)时取得极大值，当xG(1,2)时取得极小值得：

f(0)=2b>0；f'(1)=l+a+2bV0；f'(2)=4+2a+2b>0；所以e(*1)故答案为(1)19.若函数f(x)=x3-3x+m在［0,2］上存在两个不同的零点，则实数m的取值范围是解：f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当xV-1或x>1时，f'(x)>0,当-1VxV1时，f'(x)V0,所以f(x)在(-x,-1),(1,+丙)上单调递增；在(-1,1)上单调递减.所以当x=-1时f(x)取得极大值f(-1)=2+m,当x=1时f(x)取得极小值f(1)=-2+m,f(0)=m,f(2)=2+m.因为函数f(x)=x3-3x+m在［0,2］上存在两个不同的零点,故答案为：0<iV2.三：解答题20.(2012•重庆)已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16.(I)求a,b的值；(口)若f(x)有极大值28,求f(x)在［-3,3］上的最小值.解：(I)由题f(x)=ax3+bx+c,可得f'(x)=3ax2+b,又函数在点x=2处取得极值c-16⑵=0f⑵=0f⑵=c-16［8a+2b+c=c-16化简得解得a=1,b=-12(II)由(I)知f(x)=x3-12x+c,f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2)令f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2)=0,解得x1=-2,x2=2当xe(-x,-2)时，f'(x)>0,故f(x)在6(-x,-2)上为增函数；当xe(-2,2)时，f'(x)V0,故f(x)在(-2,2)上为减函数；当xe(2,+x)时，f'(x)>0,故f(x)在(2,+x)上为增函数；由此可知f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=16+c,f(x)在x2=2处取得极小值f(2)=c-16,由题设条件知16+c=28得,c=12此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=-16+c=-4因此f幺)在［-3,3］上的最小值f(2)=-421.(2004・浙江)已知a为实数，f(x)=(x2-4)(x-a).(1)求导数f'(x)．若f'(-1)=0,求f(x)在［-2,2］上的最大值和最小值.若f(x)在(-x,-2)和［2,+x］上都是递增的，求a的取值范围.解：(1)由原式得f(x)=x3-ax2-4x+4a,Af(x)=3x2-2ax-4.由f(-1)=0得此时有二(J-4)4-F&)二由f(x)=0得工=^或x=-1,又f冷)二-茅fC-D=-|,f(-2)二山f⑵二0,所以f(x)在［-2,2］上的最大值为号，最小值为-罟.解法一：f(x)=3x2-2ax-4的图象为开口向上且过点(0,-4)的抛物线，由条件得f(-2)>0,f(2)>0,・•・-2<a<2.所以a的取值范围为［-2,2］．解法二：令f(x)=0即3x2-2ax-4=0,由求根公式得:巧,所以f(x)=3x2-2ax-4.在(-x,x1］和［x2,+*)上非负.由题意可知,当x<-2或x>2时,f'(x)>0,从而x1>-2,x2<2,艮卩］Va2+12<&_且［a/a2+12<乩+6解不等式组得-2<a<2.••・a的取值范围是［-2,2］.22.(2008・湖南)已知函数f(H)二書J4J-弓■J+cx有三个极值点.证明：-27VcV5；若存在实数c,使函数f(x)在区间［a,a+2］上单调递减，求a的取值范围.解：(I)因为函数f(K)二+詈m'+cX有三个极值点，所以f'(x)=x3+3x2-9x+c=0有三个互异的实根.设g(x)=x3+3x2-9x+c,则g'(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1),当x<-3时，g'(x)>0,g(x)在(-x,-3)上为增函数；当-3<x<1时，g'(x)<0,g(x)在(-3,1)上为减函数；当x>1时，g'(x)>0,g(x)在(1,+x)上为增函数；所以函数g(x)在x=-3时取极大值，在x=1时取极小值.当g(-3)<0或g(1)>0时，g(x)=0最多只有两个不同实根.因为g(x)=0有三个不同实根，所以g(-3)>0且g(1)<0.即-27+27+27+c>0,且1+3-9+c<0,解得c>-27,且c<5,故-27<c<5.(II)由(I)的证明可知，当-27<c<5时，f(x)有三个极值点.不妨设为X］,x2,x3(x1<x2<x3),则f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3).所以f(x)的单调递减区间是(-x,x1］,［x2,x3］若f(x)在区间［a,a+2］上单调递减，贝则［a,a+2］u(-x,x1］，或［a,a+2］u［x2,x3］,若［a,a+2］u(-x,x1］，则a+2<x1.由(I)知，x1<-3,于是a<-5.若［a,a+2］u［x2,x3］，则a>x2且a+2<x3.由(I)知，-3<x2<1.又f(x)=x3+3x2-9x+c,当c=-27时，f(x)=(x-3)(x+3)2；当c=5时,f'(x)=(x+5)(x-1)2.因此，当-27<c<5时，1<x3<3.所以a>-3，且a+2<3.即-3<a<1.故a<-5,或-3<a<1.反之，当a<-5，或-3<a<1时,总可找到cG(-27,5),使函数f(x)在区间［a,a+2］上单调递减.综上所述，a的取值范围是(-8-5)U(-3,1).23.(2013•福建)已知函数f(x)=x-1+^(aGR,e为自然对数的底数).e(I)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，求a的值;(口)求函数f(x)的极值；(皿)当a=1时，若直线1：y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点，求k的最大值.解：(I)由f(x)=x-1+，得f(x)=1—，又曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的ee切线平行于x轴，二f(1)=0,即1-卫=0,解得a=e.e(口)F(x)=1-进，①当a<0时，fz(x)>0,f(x)为(-x,+x)上的增函数，所以f(x)无极值;②当a>0时，令f'(x)=0,得ex=a,x=1na,xG(-x,1na),f'(x)<0；xG(1na,+x),f'(x)>0；•••f(x)在G(-x,lna)上单调递减，在(lna,+x)上单调递增,故f(x)在x=1na处取到极小值，且极小值为f(lna)=1na，无极大值.综上，当当a<0时，f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x=1na处取到极小值lna,无极大值.(皿)当a=1时，f(x)=x-1+，令g(x)=f(x)-(kx-1)=(1-k)x+-,J则直线1：y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点，等价于方程g(x)=0在R上没有实数解.11假设k>1,此时g(0)=1>0,g(■)=-1+<0,K~1——k-1e又函数g(x)的图象连续不断，由零点存在定理可知g(x)=0在R上至少有一解，与"方程g(x)=0在R上没有实数解"矛盾，故k<1.又k=1时，g(x)A>0,知方程g(x)=0在R上没有实数解，e所以k的最大值为1

24.（2008•陕西）已知函数（c>0且chI,kGR）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x=-c.（I）求函数f（X）的另一个极值点；（口）求函数f（x）的极大值M和极小值m,并求M-m>1时k的取值范围.zsk（s2+c）-2s（kx+1）_k2/-l-ck解：（I）TOC\o"1-5"\h\z（宀c）U由题意知f'(-c)=0，即得c2k-2c-ck=0，(*)chO,kH0.由f（x）=0得-kx2-2x+ck=0,由韦达定理知另一个极值点为x=1（或）.k（口）由（*）式得，即c=1+t-c-1k当c>1时，k>0；当OVcVI时，kV-2.（i）当k>0时，f&）在（-x,-c）和（1,+丙）内是减函数，在（-c,1）内是增函数．（ii）当kV-2时，f（x）在（-x,-c）和（1,+x）内是增函数，在（-c,1）内是减函数．综上可知，所求k的取值范围为综上可知，所求k的取值范围为（一0-2）U[,2,.25.（2013•南通一模）已知函数f（x）-ax（x>0且xh1）.Inx（1）若函数f（x）在（1,+~）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若3x1,x2G[e,e2]，使f（x1）<f（x2）+a成立，求实数a的取值范围.解：（1）因