高中数学抽象函数的图像以与抽象函数常见类型与部分题目

函数f的定义域为D，则其图像为：x,y｛（Iy）二f畀xD｝1，若把这个图像向左平移a个单位，得到新图像为：｛（x,y1yf（x+a,运D｝简单说明：新图像上任取点（X,y，向右平移a个单位得到（x+a，号这个点在f（图像上，所以y二fX•a向右、上、下平移函数图象情况类似，请自己给出2，若把f图像按照直线x二a乍一次对称，得到新函数为匸f2a-x简单说明：新图像上任取点x,y，按照直线x｛作一次对称得到点2a—x,y，这个点在f（图像上，所以y-f（2a_x）按照直线y二作对称类似，请自己给出需要指出的是，不能按照任意直线作对称得到新函数，因为新的图像不一定是函数图像（实际上那是方程的图像），另外，按照直线y（作对称得到的是反函数，当然前提是该函数存在反函数。3，若把f图像按照点a,b作对称，得到新函数y二2b-f2a-b简单说明：新图像上任取点（x,y，按照点a,作对称，得到点（2a-x,2Uy，这个点在f（图像上，则2b」二f（2a車理得y2b二f2a（x_）4，若把f（图像在水平方向上作伸缩，横坐标都变为原来的a倍（a（（0，纵坐标不变，尸x・・那么得到新函数图像是y=f1Ia丿xf-T、£F、简单说明：新函数图像上取点（x,（y，变回去，这点在fx图像上，所以y二f心\_a）<a丿至于竖直方向的伸缩，请自己给出==============华丽的分割线===================下面是函数图像本身的对称性5，如果一个函数向左平移a个单位与原图像重合，即a是一个周期，那么按照第1条，y二f（x+这个新函数与原函数y丿重合，也就是说：fx+f二x（）6，如果一个函数有一条对称轴x=&，那么按照第2条到的新函数y二f,2a一x，与原函数是同一个，也就是说：f：2a一x二fx，至于类似fa-x.=fb_x.这样的条件，改写一下是非常显然的

7,如果一个函数有一个对称中心a,b,那么按照第3条，yf2a_x与原函数是同一个函数，也就是说：f(X+f(2a_x)=2t,类似6，这个条件也可以作适当改写fx\8，出于好奇，我们来看看当f|=f(X时函数会如何，显然，它会成为常函数=============分割线路过=====================另外一类常见的变换是关于绝对值的9，把函数fx的图像在X轴下方部分全部作对称到上方，上方部分不变，得到新函数:y=f(x，这是显然的，去掉绝对值讨论一下就行10，把函数fx的图像在y轴右边部分全部作对称到左边，左边部分不变，得到新函数:y二f(x，这也是显然的去掉绝对值讨论一下就行=============分割线再次路过===================11，另外补充的是半周期，如果fxa二_f,或者x-a'二——f(x，那么a是半周期，证明是容易的，请自己给出。另外我们可以知道，反推是不成立的，半周期可以有其它写法。一般的写法是f_x・a二gfx】j，且g"g(x二x==============分割线继续路过==================关于抽象函数，除了图像外，还有一类题，如果能记得一些具体模型，会有一些好处。当然，不要满足于这几类，只有找到本质才能解决新题。表格放在最后。=============分割线坚持路过===================例1：(第7届希望杯)函数f(x的值域(1'4]贝"g(x)二f(x)2f^x)的值域为TOC\o"1-5"\h\z4V例2：(第5届希望杯)定义为R的函数f(X)对任何a,b.「R,都有f[af(b)]ab，则、f2i9⑷二例3设f(x是[0,1上的不减函数，即对于°兰X]CX2<有f1x<f(2x)，且满足：1)x1、f(°)；°(2)f()f(x)(3)f(1X)Lf(x)则f(1).322005

例4：（第4届希望杯）设奇函数yf（x的定义域为R,f⑴2且=对任意X],xR,都有f（X）f（x）f（，X当）X0时，f（X是增函数，则函数yf2（X在区间1'2二1'2:二___3,_2]上的最大值是2•抽象函数的单调性例5（第14届希望杯）奇函数f（奇函数f（x）在区间[3,上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为一1,2f(6)f(3)Xf（y若f3，，则f（x）f（y若f3，，则fX十+成立的x的取值范围是3・抽象函数的奇偶性例7：（第6届希望杯）f（是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为2,，则f(.1)f(.2f)一(3)f二A、1或0B、1或」C、0D、1例&（第4届希望杯）函数的定义域是R，函数_+__，已知__，则f(x)g(x)f(x)2f(X)g(5)3

4•抽象函数的周期性4•抽象函数的周期性例9：(第12届希望杯)数学试卷第4页共6页定义在实数集上的函数f(X)满足f(—x_1)1f(X1)，则一kf(也1)f(1)f.(2)f⑶……f(20的值为2000•例10：(第12届希望杯)定义在R上的非常数函数，满足(1)f(10x)为偶函数；(2)f(5x)f(5x),则f.(x)一定是()A、是偶函数，也是周期函数B、是偶函数，但不是周期函数C、是奇函数，也是周期函数D、是奇函数，但不是周期函数补充练习题1•函数f(X是定义在R上的实函数，它既关于x5对称，二又关于x7对称,二那么f(x)的周期是()(A)4(B)2(C)-(D)-2•已知定义域为r的函数f(x)在区间(8^上为减函数，且函数y=fx+8)为偶函数,则()(A)f6>f(7)(B)f(6)>f9(C)f(7)>(f9(d)(f(7f(10)3•定义在R上的函数f(漑是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程f(x)在闭区间Lt,t】上的根的个数记为n，贝ijn可能为()(A)0(B)1(C)3(D)54•定义在R上的函数y=f(x)它具有下述性质：(1)对任何X疋R，都有f(3x=f3(X)；(2)对任何x,XeR，x味x，都有f(仝f(x)•则f(Q)f(1)f丄1)的值为()121212(A)0(B)1(A)0(B)1(C)-1(D)不确定5.已知函数f(x是定义在R上的偶函数，且满足f(x1)f(x)3，当x,［0,1］寸,f(x)2x，贝ijf_2005.5)=.•(第5届希望杯)函数f(是定义域为［-1的奇函数，且为增函数，f(1-a)+f(1a2)吒0，则实数a的取值范围是•定义在R上的函数，恒有二.若=，那么f(x)f(xy)f(x)f(y)f(16)4f(2003)二.8•已知函数y二f(x))定义域为R，并对一切实数X，都满足f(2X)二f(2x)・证明：函数y二f(x)图像关于直线x2对称；若f(x又是偶函数，且x走［0,2时，f(x)2x_1，求x丢L4,0］时的f(的表达式9.(2005年广东高考)设函数f(x在(-::,•：■：)上满足f(2x)f(2-，)f(7x)f(7-，)且在闭区间［0,7］上，只有f(1)f(3)_0(1)试判断函数y二f(的奇偶性；(2)试求方程f(x)二在闭区间［2005,2005上的根的个数，并证明你的结论.

抽象函数满足条件代表函数1f(1xx2)f(1)+f(2xf(x)kxk手0)2f(1xx2)f(X.f(Xf(1XX2)f(X)Ff(2Xf(x)ax(a0,a.1)3f(1xc2)f(1x)f(2XX1f・)=f(X)-f(X)f(