基于非线性混沌时序的系统重构、预测技术及其应用

23/16基于非线性混沌时序的系统重构、预测技术及其应用国家自然科学基金资助项目(79990510)马军海马军海马军海,男，65生，山东莱阳人,教授,二站博士(后)，已在国内外核心期刊发表论文三十余篇，要紧研究方向:复杂非线性动力系统、复杂混沌时序重构及其工程应用。（天津大学治理学院,300072）盛昭瀚（南京大学治理科学与工程研究院,210096）摘要如何认识具有复杂结构的系统存在两个差不多的困难,一是系统本身的复杂性，二是我们往往只能通过某种“观测器”采集到系统某一状态的混沌时刻序列，如此，就需要一种技术，它能够在专门大程度上通过系统整体行为的一维“投影”来“还原”系统的整体行为。本文将介绍作者近年来在实现这一技术路线中所开展的若干工作。关键词非线性混沌时序分形相空间重构参数辨识预测技术1引言从系统科学的角度看，直接建立一个系统的完备的解析形式的数学模型，无疑地能够认为是“完全完全地”了解了这一系统，然而事实上，第一由于系统运行机理与系统结构本身的复杂性，第二由于即使已知一个解析模型，其解析解也还不易求得，因此常常需要我们解决如何在无法获得系统模型的情况下认识系统的本质特征，一个最常遇到的问题便是通过某种“观测器”采集到系统的某一状态的时刻序列，显然，这一序列是系统整体行为的一维“投影”，而我们又只能通过它来“还原”系统的整体行为[1~30]，特不是随着混沌现象的发觉，人们逐渐认识到系统整体行为中某些本质特征往往不是随机缘故而是非线性动力学的缘故造成的，一般地，在排除了由高维或无穷维动力系统所产生的行为以及由随机过程产生的行为外，一个混沌时刻序列就可视为一个确定性动力系统的结果。一个重要的反问题即如何由混沌时刻序列来恢复原动力系统[1,7,8,10,11,14,16,20.21]，具体地讲，要解决以下几个问题：(1)确定时刻序列的混沌特性及其所在动力系统的维数[2~4,!3~15,19,22~30];(2)建立那个动力系统的坐标框架[4,9,10,11,13,];(3)在此框架下分离噪声、刻画并恢复原复杂非线性动力学系统并进行预测、调控等工作[4,6,17,18]。本文将介绍作者近年来在实现这一技术路线中所开展的若干工作与成果。2时刻序列混沌特征的判定如何判定时序的混沌或随机特性一直是国内外学者研究的重点，从决定论的角度动身，已有了许多检测确定性混沌的方法。如Tsay[22]的非线性检验方法；Engle[23]的ARCH模型的检验方法；相空间图、递归图、关联维数、Lyapunov指数、相关系数、频谱图、Poincare截面以及分谐波频闪观测器等、检验独立性的双谱方法、基于BDS统计量的非线性检验方法等。文献[19,24,25]给出了对现实的时序不同特性问题的判不的差不多方法，即相位随机化方法。马军海、盛昭瀚[32]利用相位随机化方法，研究了服从不同分布的随机化方法对判定实测数据特性归属的阻碍，并将其成功地用于经济时序的非线性特征判定，为对时序建立合适的预测模型提供了指南。3分形维数的相关特性分析研究分维是描述具有复杂性的系统结构的一个重要特征量，分维的定义有专门多种，而且依照不同的定义算得的其最终值也稍有差不。通过近几年的研究，常用的较多的分维要紧有:Hausdorff维数,计盒维数,信息维数,关联维数,广义维数。能够证得[4,13]嵌入维数与分维数之间的关系式:(1)即计算时略去噪声阻碍,只要取最少的嵌入维数大于或等于分维数，从理论上都可不能对产生阻碍。能够证得[4,13]的极大似然可能为:(2)由(6)式得的方差为:(3)由于实际问题中N的取值不可能无穷大而要受到诸多的限制，取则的极大似然可能为:,,(4)由(3)式知值与所取的样本的个数成反比，实际问题中适当的取样本大一些可减少，以便使的可能值更准确。采纳G-P算法计算动力系统实测数据吸引子的关联维数时，诸多因素可能阻碍可能精度。对误差的来源的详细讨论见文献[4,13]。4混沌时序动力系统的非线性重构技术定量刻画复杂非线性动力系统复杂性的两个最常用的量确实是分维数和李雅普诺夫指数，它们分不度量了非线性动力系统在其相空间的几何结构的规则性或复杂性程度。相空间重构法是依照有限的实测数据来重构吸引子以研究系统动力行为的方法，其差不多思想是：系统中任一重量的演化差不多上由与之相互作用着的其它重量所决定的，因此这些相关重量的信息就隐藏在任一重量的进展过程中，为了重构一个等价的状态空间只需考察一个重量，并将它在某些固定的时刻延迟点上的测量作为新维处理，即延迟值被看成是新的坐标，它们确定了某个多维状态空间中的一点。重复这一过程并测量相关于不同时刻的各延迟量，就能够产生出许多如此的点，它能够将吸引子的许多性质保存下来，即用系统的一个观看量能够重构出原动力系统模型，能够初步确定系统的真实相空间的维数。为了能够从“一维”时刻序列中“还原”动力系统相空间的几何结构,JoneF.Gibson[16]等人采纳时刻延迟技术重构相空间.他们把一维时刻序列嵌入到m维空间中：(5)让来表示t时刻系统的动力学状态。其中τ为滞时,m为嵌入空间维数,从而建立了相空间到嵌入空间的映射。它建立了时刻序列波动和动力系统空间特征之间的桥梁。Takens和Mane[27]证明:只要m>2D+1(动力系统重构的充分但不必要条件),其中D为吸引子的分维,是在吸引子附近一个光滑的一对一映射，从而嵌入空间中吸引子的几何特性与原动力学系统的吸引子的几何特性等价。实际上,只要m>D嵌入空间中点集的维数就等同于吸引子的维数。J.P.Eckman等人已证明m可在d≤m≤2d+1中取值。Takens[27]定理是在无噪声的情况下考虑的，Sauer等把延迟嵌入定理推广到了具有噪声的情况。对一组长为N的实测时刻序列,其中,是样本时刻，则可构造的m维向量,n=1,2,...,,其中是延迟时刻间隔。是延迟时刻。在中以或范数定义到的距离，即或(6)以下在不特不强调的情况下，记中的范数为，但通过计算能够发觉范数在计算距离时实现较快。4.1最佳延迟时刻间隔的选取由Takens[27]定理知，在没有噪声无限长的精确数据情况下能够任意选择，但实测时刻序列是有限长的，且一般都有噪声污染，只能依照经验来选择，其差不多思想是使与具有某种程度的独立但又不完全无关，以便它们能在重构的相空间中作为独立的坐标处理。假如太小，则与的值充分靠近，以至不能区分它们，从实际观点看不能提供两个独立的坐标，导致吸引子重构特不靠近相空间中的对角线。重构的相空间总是杂乱无规则的；假如太大，则与可能会随意地不相关，吸引子的轨道会投影在两个完全不相关的方向上，不能反映相轨迹的真实演化规则。在实际应用中要紧有以下三种经验型方法选取。一是线性自相关函数法；二是平均互信息法；三是重构展开法。4.2嵌入维数m的选取关于嵌入维数,Taken[27],Sauer[29]等先后从理论上证明了当时可获得一个吸引子的分形维数，但这只是一个充分条件，对实验数据选择m没有关心。假如仅仅是计算关联维数，Ding[28]等证明了对无噪声，无限长的数据只要取m为大于关联维数的最小整数即可。但对长度有限且具噪声的数据，m要比大的多。假如m选的太小，则吸引子可能折迭以致在某些地点自相交。如此一来在相交区域的一个小邻域内可能会包含来自吸引子不同部分的点。假如m选的太大，理论上是能够的，但实际应用中，随着m的增加会大大增加吸引子的几何不变量的计算工作量。在实际应用中通常的方法是计算吸引子的某些几何不变量，逐渐增加m直到这些不变量停止变化为止。从理论上讲，由于这些不变量是吸引子的几何性质，当m大于嵌入维数时几何结构被完全打开，因此不变量与嵌入维数无关了，取吸引子的几何不变量停止变化时的m为嵌入维数。这种方法的缺点是对数椐要求较高（无噪声），计算量大且比较主观，从预测误差和几何观点看，下面两种方法比较容易实现。一是预测误差最小法，二是虚假邻点法。在上面的各种方法中，为了确定最佳延迟时刻间隔，需先确定嵌入维数，而为了确定嵌入维数，需先固定延迟时刻间隔，这本身是矛盾的，实际上这两个参数应同时确定。实际计算中King[31]提出了先选定(m-1)值，在增加m的同时减小τ(保持(m-1)τ为常数)来选取最佳的m和τ值的方法。4.3相空间重构的轨线法和Legendre坐标法:相空间重构的差不多方法有三种,它们分不是时刻延迟法,导数法和差不多重量坐标法。到目前为止这三种方法之间的关系还没有完全弄清晰。Gibsonetal.最近指出差不多重量坐标和由Packardetal.[26]andTakens[27]所提出的导数坐标之间存在着特不紧密的联系;更进一步地,关于专门少的延迟时刻他们提出了差不多重量坐标是基于简化了的勒让德多项式的观点。因此，在最近的几年里对不同相空间重构方法的研究便成为此领域研究的焦点。与此相关的是求出比较好的重构方法中的各相关参数值。陈予恕,马军海[6]给出了用差不多重量坐标法重构相空间的相应结论。马军海，陈予恕[7]在国内外学者工作的基础上，应用勒让德坐标法重构动力系统的相空间，讨论了时序间隔τ对相空间重构工作的阻碍，并用所提方法重构了系统的吸引子。5动力系统实测数据的重构预测技术应用由于混沌吸引子的内在行为具有相当的不规则性及混沌吸引子具有十分复杂的几何结构,且不同的混沌吸引子具有的复杂结构也各不相同.因此一般来讲,不同的混沌实测数据应该建立不同的混沌模型。最近十几年来国内外学者用神经网络理论,小波理论[17~18]等对非线性时序开展了研究,MartinCasdagli,M.E.Davies,AlexetPotapov[21]等人分不对混沌时序的建模及预测开展了初步的研究并取得了一定的成果。马军海,陈予恕[6,25]在国内外学者工作的基础上，对能够描述非线性系统的极限环、共振跳跃现象、幅频依靠特性及混沌特征的EAR(n)模型进行了改进,应用随机搜索方法对模型参数进行初步可能，然后采纳最优化理论可能了模型参数；马军海在其博士后二站研究报告中，给出了一种基于小波理论和神经网络理论的三时期多尺度神经网络预测模型，并用聚类的方法进行了权值和阈值的初始化和反向传播算法进行权值学习，该方法具有较快的收敛速度，同时还能自适应选择时序的不同频率成分，对时序进行降噪，适合于趋势、细节等不同目的的预测，并成功地将多尺度神经网络模型应用于股票数据的单步预测。最终对预测方法进行了评价。6计算结果本文取如下2组数据分不对其理论进行研究：(1)取Henonmap标准混沌的情况10000,前1000点作为暂态点去掉，把后10000点作为(1)组原始数据点。(2)用我们所得到的混沌数据测定3225点作为实验数据，作为组实验数据，其时刻历程图如图2。图2为第2组数据真值及其预测值的计算结果,相对误差超过40％的预测长度为20点。图3为第1组数据的相空间重构图,横标为w0,纵标为w2.嵌入维数m=3,=3.图4为第2组数据的相空间重构图,横标为w0,纵标为w1竖坐标为w2.嵌入维数m=3,=0.024.图1第2组实验混沌数据的时刻历程图图2第2组数据真值及其预测值对比图为数据真值,另一条为数据预测值图3第1组数据的相空间重构图,横标为w0,图4第2组数据的相空间重构图,横标为w0,纵标为w2.嵌入维数m=3,=3纵标为w1竖坐标为w2.嵌入维数m=3,=0.0247结论1)只要所取得嵌入维数大于混沌时序的实际维数，则其对分维数无质的阻碍。2)点数对分维数的计算结果有阻碍,对低维的混沌动力系统最少应大于2000点,分维数的计算时2范数，3范数，等价于∞范数，如此在具体计算时我们可取在算法上易实现的范数。3)相空间重构理论对低维混沌时序和高维混沌时序是普遍适用的,本文给出的实际计算结果完成了混沌时序在相空间基坐标框架的投影即相空间重构的重要工作。4)混沌时序的分维数决定模型的阶数，混沌时序的Lyapunov指数决定时序预测的长度,，用文献[4]的方法确定的模型的阶是好的。5)选择适当的混沌模型并采纳适当的算法能增加模型预测的精度，且混沌时序不可能作长期预测。参考文献1ChenYushu,MaJunhai,LiuZengrong.TheStateSpaceReconstructionTechnologyofDifferentKindsofChaoticDataObtainedFromDynamicalSystem.ACTAMECHANICASINICA,1999,1(15):82-922马军海，陈予恕.动力系统实测数据的非线性混沌特性的判定.应用数学和力学,1998,19(6)481~488。3马军海，陈予恕.高斯分布的相位随机化对实测数据临界值阻碍的分析研究.应用数学和力学,1998,19(11):955-9634马军海.混沌时序动力系统非线性重构.天津大学博士学位论文,1997.55马军海，陈予恕.动力系统实测数据的Lyapunov指数的矩阵算法.应用数学和力学,1999,20(9):919-9276马军海，陈予恕.动力系统实测数据的非线性混沌模型重构.应用数学和力学,1999,20(11):1128-11347马军海，陈予恕.混沌时序相空间重构的分析和应用研究.应用数学和力学,2000,21(11):1117-11248MaJunhai.TheStateSpaceReconstructionofDifferentKindsofChaoticDataObtainedfromEconomicDynamicalSystem.Proceedingsof’99InternationalConferenceOnManagementScience&Engineering’,Yichang,P.R.China,1999,11:106~1109马军海，陈予恕.三种动力系统实测混沌数据的Lyapunov指数的比较.天津大学学报,1999,2(1):190-19510马军海，陈予恕.三种动力系统的实测混沌数据的本征值比较.天津大学学报,1999,32(3):275-27911马军海，陈予恕.动力系统的实测数据的奇异值分解技术.振动工程学报,1999,12(3):323-33012盛昭瀚,马军海.非线性动力系统分析引论.科学出版社，2000年10月13马军海,盛昭瀚.经济时序动力系统的分形及混沌特性研究.系统工程学报,2000,1:13~19J.luisCabrera,F.Javier,NumericalanalysisoftransientbehaviorinthediscreterandomLogisticequationwithdelay.Phys.LettA197(1995)19-24J.TimonenandH.koskinen,Animprovedestimatorofdimensionandsomecommentsonprovidingconfidenceintervals.Geophys.Res.Lett20(1993)1527153616JohnF.Gibson,J.DoyneFarmer,MartinCasdagliandStephenEubank.Ananalyticapproachtopracticalstatespacereconstruction.Phys.D1992,57:1-3017QinghuaZhang.WaveletNetworks,IEETransectionsonNeuralNetworks.1992,6(11):889-89818LiangYueCao.Predictingchaotictimeserieswithwaveletnetworks.Phys.D,1995,85:225-23819DeanPrichard.Generatingsurrogatedatafortimeserieswithseveralsimultaneouslymeasuredvariables.Phys.Rev.Lett,1994,191:230-24520M.E.Davies.Reconstructingattractionsfromfilteredtimeseries.Phys,D,1997,101:195-20621AlexetPotapov.Distortionsofreconstructionforchaoticattractors.Phys.D,1997,101:207-22622Tsay,R.NonlinearityTestforTimeseries.Biometrica,1986,73:461-46623Engle,R.AutoregreessiveConditionalHeteroscedasticitywithEstimatesoftheVarianceOfU.K.Inflations,Econometrica,1982,50:987-100724C.J.Stam,J.P.M.Pijn,W.S.Pritchard.Reliabledetectionofnonlinearityinexperimentaltimentaltimeserieswithstrongperiodiccomponents.Phys.D1998,112:361-38025AlexeiPotapov,JurgenKurths.Correlationintegralasatoolfordistinguishingbetweendynamicsandstatisticsintimeseriesdata.Phys.D1998,120:369-38526N.H.Packard,J.P.Crutchfield,J.D.Farmer,andR.S.Shaw,Geometryfromatimeseries.PhysRevLett1980,45(9):71227F.Takens.InDynamicalSystemsofTurbulence,editedbyD.A.RardandL.S.Young(springer,Berlin1981)28J.D.Scargle.Studiesinastronomicaltimeseriesanalysis.IV.Modelingchaoticandrandomprocesseswithlinearfilters.Astrophys.J.1990,359:469-48229F.Takens,Mane.Detectingstrangeattractorsinfluidturbulence,in:DynamicalsystemsandTurbulence.Vol.898ofLectureNotesinMathematics,springer,Berlin1986,P.36630R.Badii,G.Broggi,B.Derighetti,S.Ciliberto,A.Politi,andM.A.Rubio.Dimensionincreaseinfilteredchaoticsignals.Phys.Rev.Lett.1988,60:979-98431D.S.Broomherdetc.Extractingqualitatiredynamicsfromexperime