2022-2023学年福建省泉州市凌霄中学高二数学理模拟试题含解析

2022-2023学年福建省泉州市凌霄中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若双曲线：与抛物线的准线交于两点，且，则的值是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D略2.口袋中装有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任意取出3个小球，以表示取出球的最大号码，则(

)A.4.5 B.4 C.3.5 D.3参考答案：A【分析】首先计算各个情况概率,利用数学期望公式得到答案.【详解】故.故本题正确答案为A.【点睛】本题考查了概率的计算和数学期望的计算,意在考查学生的计算能力.3.下列命题中，真命题的是（）A．?x∈R，x2＞0 B．?x∈R，﹣1＜sinx＜1C．?x0∈R，＜0 D．?x0∈R，tanx0=2参考答案：D【考点】特称命题；全称命题．【分析】根据含有量词的命题的判断方法即可得到结论．【解答】解：A．当x=0时，x2＞0不成立，即A错误．B．当x=时，﹣1＜sinx＜1不成立，即B错误．C．?x∈R，2X＞0，即C错误．D．∵tanx的值域为R，∴?x0∈R，tanx0=2成立．故选：D．4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1D与C1D所成角的度数为（

）A．30°

B．45°

C．60°

D．90°参考答案：C5.已知为(0,+∞)上的可导函数，且有,则对于任意的，当时，有()A. B.C. D.参考答案：C【分析】把,通分即可构造新函数，并可得到的单调性，借助单调性比较大小得答案。【详解】解：由题意知为上的可导函数，且有，所以，令，则，则当时，，，当时，，，因为，当，，即，故答案选C。【点睛】本题考查导数小题中的构造函数，一般方法是应用题目中给的含有导数的式子，和要求的式子猜测出需构造的函数，利用新函数的单调性求解答案。6.在极坐标系中，点(2，)到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为()A．2

B．

C.

D．参考答案：D7.已知曲线的方程为（实数），则在内任取一个数赋值给，使得的离心率取值范围为的概率为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A略8.对于函数，若存在区间，使得，则称区间为函数的一个“稳定区间”．现有四个函数：

①；

②，

③

④．其中存在“稳定区间”的函数有（

）

A．①②B．②③

C．③④D．②④参考答案：B略9.不等式的解集为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D10.（2x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2参考答案：A【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】给二项展开式的x分别赋值1，﹣1得到两个等式，两个等式相乘求出待求的值．【解答】解：令x=1，则a0+a1+…+a4=，令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4=．所以，（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0+a1+…+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）==1故选A【点评】本题考查求二项展开式的系数和问题常用的方法是：赋值法．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知命题与命题都是真命题,则实数的取值范围是

.参考答案：12.在中，已知，若分别是角所对的边，则的最小值为__▲

_．参考答案：【知识点】正弦定理、余弦定理、基本不等式【答案解析】解析：解：因为，由正弦定理及余弦定理得，整理得，所以，当且仅当a=b时等号成立.即的最小值为.【思路点拨】因为寻求的是边的关系，因此可分别利用正弦定理和余弦定理把角的正弦和余弦化成边的关系，再利用基本不等式求最小值.13.已知函数，若存在2个零点，则a的取值范围是____参考答案：【分析】把的零点问题归结为与函数有两个不同交点的问题，通过移动动直线得实数的取值范围.【详解】有两个不同的零点等价于有两个不同的解，即有两个不同的解，所以的图像与有两个不同的交点.画出函数的图像，当即时，两图像有两个不同的交点，故答案为.【点睛】含参数的函数的零点个数问题，可以利用函数的单调性和零点存在定理来判断，如果该函数比较复杂，那么我们可以把该零点个数问题转化为两个熟悉函数图像的交点问题，其中一个函数的图像为动直线，另一个函数不含参数，其图像是确定的.14.已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为

．参考答案：13π【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，表示正六棱柱的体积，利用基本不等式求最值，求出正六棱柱的外接球的半径，即可求出外接球的表面积．【解答】解：设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，正六棱柱的体积V==≤=，当且仅当x=1时，等号成立，此时y=3，可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为=，∴外接球的表面积为=13π．故答案为：13π．【点评】本题考查外接球的表面积，考查基本不等式的运用，确定正六棱柱的外接球的半径是关键．15.对正整数n，设曲线y=xn(1－x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和的公式是__________.参考答案：16.已知函数f（x）=2f′（1）lnx﹣x，则f′（1）的值为．参考答案：1【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，令x=1即可求出f′（1）的值．【解答】解：函数的导数为f′（x）=2f′（1）﹣1，令x=1得f′（1）=2f′（1）﹣1，即f′（1）=1，故答案为：117.函数在区间内单调递减，

则的取值范围是．参考答案：(－∞，－1]三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.中国网通规定：拨打市内电话时，如果不超过3分钟，则收取话费0.22元；如果通话时间超过3分钟，则超出部分按每分钟0.1元收取通话费，不足一分钟按以一分钟计算。设通话时间为t（分钟），通话费用y（元），如何设计一个程序，计算通话的费用。参考答案：算法分析：数学模型实际上为：y关于t的分段函数。关系式如下：其中t－3表示取不大于t－3的整数部分。算法步骤如下：第一步：输入通话时间t；第二步：如果t≤3，那么y=0.22；否则判断t∈Z是否成立，若成立执行y=0.2+0.1×(t－3)；否则执行y=0.2+0.1×（t－3+1）。第三步：输出通话费用c。算法程序如下：INPUT“请输入通话时间：”；tIF

t<=3

THENy=0.22ELSEIF

INT(t)=t

THENy=0.22+0.1*(t－3)ELSEy=0.22+0.1*(INT(t－3)+1)ENDIFENDIFPRINT“通话费用为：”；yEND19.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2sin2A+sin2B=sin2C．（1）若b=2a=4，求△ABC的面积；（2）求的最小值，并确定此时的值．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）2sin2A+sin2B=sin2C，由正弦定理可得2a2+b2=c2，b=2a=4，c=2，求出sinC，即可求△ABC的面积；（2）利用基本不等式求的最小值，并确定此时的值．【解答】解：（1）∵2sin2A+sin2B=sin2C，∴由正弦定理可得2a2+b2=c2，∵b=2a=4，∴c=2，∴cosC==﹣，∴sinC=，∴△ABC的面积S==；（2）2a2+b2=c2≥2ab，∴≥2，即的最小值为2，此时b=a，c=2a，=2．20.已知等差数列{an}满足：a1+a4=4，a2?a3=3且{an}的前n项和为Sn．求an及Sn．参考答案：【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出an及Sn．【解答】解：∵等差数列{an}满足：a1+a4=4，a2?a3=3且{an}的前n项和为Sn．∴，解得a1=﹣1，d=2或a1=5，d=﹣2，当a1=﹣1，d=2时，an=﹣1+（n﹣1）×2=2n﹣3，Sn==n2﹣2n；当a1=5，d=﹣2时，an=5+（n﹣1）×（﹣2）=7﹣2n，．21.在直角坐标系xOy中直线l过点P（，0）且倾斜角为α，在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中曲线C的方程为ρ2（1+sin2θ）=1，已知直线l与曲线C交于不同两点M，N．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求的取值范围．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）把极坐标与直角坐标互化公式代入极坐标方程即可得出直角坐标方程．（2）设直线l参数方程为，代入曲线C的直角坐标方程得，利用根与系数的关系、弦长公式可得|MN|．利用△＞0．可得得，即可得出结论．【解答】解：（1）将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入ρ2（1+sin2θ）=1得x2+2y2=1，即曲线C的直角坐标方程为x2+2y2=1．（2）设直线l参数方程为，代入曲线C的直角坐标方程得，则，∴，∴，由题设知得，故．22.某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据进行分组，分组区间为：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并绘制出频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；从该市随机选取一名学生，试估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率；（Ⅱ）设A，B，C三名学生的考试成绩在区间[80，90）内，M，N两名学生的考试成绩在区间[60，70）内，现从这5名学生中任选两人参加座谈会，求学生M，N至少有一人被选中的概率；（Ⅲ）试估计样本的中位数与平均数．（注：将频率视为相应的概率）参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（I）由频率分布图中小矩形面积之和为1，能求出a=0.015，能由此估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率．（Ⅱ）从这5名学生代表中任选两人的所有选法共有10种，利用列举法能求出学生代表M，N至少一人被选中的概率．（Ⅲ）由频率分布直方图能求出样本的中位数和平均数．【解答】解：（I）a=0.1﹣（0.03+0.025+0.02+0.01）=0.015，估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率为0.85（Ⅱ）