八上培优半角模型

八上培优5半角模型方法：截长补短图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。还有2«套«的情况。求证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等，翻折分割构全等。截长法，补短法。勤学早和新观察均有专题。勤学早在第49页，新观察在第34页，新观察培优也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。这些题大同小异，只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两次全等。下面是新观察第34页1~4题1•如图，四边形ABCD中，ZA=ZC=90o,ZD=60°,AB=BC,E、F,分别在AD、CD上,且ZEBF=60o.求证:EF=AE+CF.2•如图2,在上题中，若E、F分别在AD、DC的延长线上，其余条件不变，求证：AE=EF+CF.如图，ZA=ZB=90°,CA=CB=4,ZACB=120O,ZECF=60O,AE=3,BF=2,求五边形ABCDE的面积.如图1.在四边形ABCD中.AB=AD,ZB+ZD=180°,E、F分别是边BC、CD上的点，且ZBAD=2ZEAF.求证：EF=BE+DF；在(1)问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图2所示，试探究EF、BE、DF之间的数量关系.图1 图2如图3,在四边形ABDC中，ZB+ZC=180°,DB二DC,ZBDC=120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明.勤学早第40页试题(1)如图，已知AB=?AC,ZBAC=90°,?Z?MAN=45°,过点C作NC?丄AC交AN于点N，过点B作BM?垂直AB交AM于点M,当ZMAN在ZBAC内部时，求证：BM+CN?二MN;证明：延长MB到点G,使BG=CN,连接AG,证厶ABG竺△ACN(SAS),Z.AN=AG,ZBAG=,ZNAC.LVZGAM=ZGAB+ZBAM=ZCAN+ZBAM=45°=LZMAN,证“MN竺△AMG(SAS),'.\MN=MG=BM+BG=B叶NC.证明二：(此证明方法见新观察培优第27页例3)⑵如图，在(1)的条件下，当AM和AN在AB两侧时，(1)的结论是否成立?请说明理由.解:不成立，结论是:MN二CN—BM,证明略.基本模型二120°套60°如图，AABC中，CA二CB,ZACB=120°,E为AB上一点，ZDCE=60°,ZDAE=120°,求证:DE=BE证明：(补短法)延长EB至点F,使BF=AD,连接CF,则厶CBF^^CAD,△CED竺△CEF,.DE-AD=EF-BF=BE.如图，AABC中，CA二CB,ZACB=120°，点E为AB上一点，ZDCE二ZDAE二60°,求证:AD+DE=BE.证明：(截长法)在BE上截取BF=AD,连接CF,易证△CBF^^CAD,△CED竺ACEF,DE=EF,AD+DE=BF+EF=BE.比较：新观察培优版27页例4如图，AABC是边长为1的等边三角形，ABDC是顶角，ZBDC二120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于M、N,连结MN,试求△AMN的周长.分析：由于ZMDN=60°,ZBDC=120°，所以ZBDM十ZCDN=60°，注意到DB=DC,考虑运用“旋转法”将ZBDM和ZCDN移到一起，寻找全等三角形。另一方面△AMN的周长AM+AN+MN=AB+AC+MN-BM-CN.猜想MN=BM+CN,证三角形全等解决.新观察培优68页例5如图，点A、B(2,0)在x轴上原点两侧，C在y轴正半轴上，OC平分ZACB.求A点坐标；如图1,AQ在ZCAB内部，P是AQ上一点，满足ZACB=ZAQB,AP=BQ试判断ACPQ的形状，并予以证明;如图2.BD丄BC交y轴负半轴于D.ZBDO=60°,F为线段AC上一动点，E在CB延长线上，满足ZCFD+ZE=180°.当F在AC上移动时，结论：①CE+CF值不变；②CE-CF值不变，其中只有一个正确结论，请选出正确结论并求其值.分析:(1)由ZAOC竺ABOC得AO=BO=2,A(-2,0).⑵由厶ACP^^BCQ得CP=CQ.由BD丄BC,ZBD0=60。，可证得等边厶ABC.由角平分线和DB_丄BC的条件，运用对称性知DA丄AC,连结DA,加上条件ZCFD+ZE=180°,可证得△ADF=△BDE,于是CE+CF=2AC=2AB=8.基本模型三2a。套a°(1)如图1,在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°, E,F分别是BC,CD上的点，且ZEAF=1ZBAD,求证：EF二BE+DF;2(2)如图2,在(1)的条件下，若将AAEF绕点A逆时针旋转，当点E,F分别运动到BC,CD延长线上时，则EF,BE,DF之间的数量关系是EF=BE-DF解：(1)EF二BE+DF,延长FD到点G,使DG=BE，连接AG,证△ABE^^ADG(SAS),,,.\AE=AG,ZBAE=ZDAG，VZEAF=1ZBAD,2・・・ZGAF二ZDAG+ZDAF二ZBAE+ZDAF二ZBAD-ZEAF=ZEAF,.\Z'EAF=ZGAF,证“EF竺△GAF(SAS),.・EF二FG,VFG=DG+DF=BE+DF,・EF二BE+DF;(2)EF=BEDF.外地试题：探究：如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，ZEAF=45°，连结EF，求证：EF二BE+DF.应用：如图②，在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上,AB=AD，ZB+ZD=90°，ZEAF=1ZBAD，若EF=3，BE=2，则DF=.2 通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例，请补充完整.原题：如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，ZEAF=45°，连接EF,求证：EF二BE+DF.思路梳理VAB=AD,A把厶ABE绕点A逆时针旋转90。至厶ADG，可使AB与AD重合.VZADG=ZB=90°,AZFDG=ZADG+ZADC=180°，则点F、D、G共线.根据 ，易证△AFG竺 ，从而得EF=BE+DF；类比引申如图2,四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，ZEAF=45°.若ZB、ZD都不是直角，但当ZB与ZD满足等量关系 时，仍有EF=BE+DF,请给出证明；联想拓展如图3,在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC，点D、E均在边BC上，且ZDAE=45°，猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程.

(1)如图1,在四边形ABCD中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、F分别是边BC、CD上的点，且AE=AF,ZEAF=1ZBAD.现有三种添加辅助线的方式：①延长EB至G,使BG=BE，连接2AG；②延长FD至G,使DG=BE，连接AG；③过点A作AG丄EF，垂足为G；选择其中一种方法添加辅助线，求证：EF=BE+FD；如图2,在四边形ABCD中，AB=AD，若ZB+ZD=180°，ZEAF=1ZBAD，证明(1)2中结论是否还成立？如图3,在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且ZEAF=1ZBAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立,2请写出它们之间的数量关系，并证明.FDTBECAFDTBEC图1图1-1 图1-2图1与凸匸 三图2 图3(1)如图1,在四边形ABCD中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且ZEAF=1ZBAD.求证：EF=BE+FD.2如图2,在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、F分别是边BC、CD上的点，且ZEAF二丄ZBAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线2段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明.如图3,在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且ZEAF=1ZBAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立,2请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明.半角模型问题放到平面直角坐标系中是什么样子?如图1,在平面直角坐标系中，AAOB为等腰直角三角形，A(4,4)图1图3图1图3求B点坐标;如图2,若C为x正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD,ZACD=90°,连接0D,求ZAOD的度数；如图3,过点A作y轴的垂线交y轴于E,F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰RtAEGH,过A作x轴垂线交EH于点M,连FM,等式AM二FM+OF是否成立？若成立，请说明；若不成立，说明理由.解：(1)如图所示，作AE丄OB于E,VA(4,4),・・・0E=4,•/△AOB为等腰直角三角形，且AE丄OB,・・・0E=EB=4,・・・0B=8,・・・B(8,0)；(2)如图所示，作AE丄OB于E,DF丄OB于F,•••△ACD为等腰直角三角形，(3)AM=FM+OF成立，理由：如图所示,在AM上截取AN=OF,连EN.VA(4,4),・・・AE=OE=4,又VZEAN=ZEOF=90°,AN=OF,•••△EAN竺AEOF(SAS),AAC=DC,ZACD=90°即ZACF+ZDCF=90°,VZFDC+ZDCF=90°,AZACF=ZFDC,又AAC=DC,ZACD=90°即ZACF+ZDCF=90°,VZFDC+ZDCF=90°,AZACF=ZFDC,又VZDFC=ZAEC=90°,•••△DFC竺ACEA(AAS),・・・EC=DF=4,FC=AE,VA(4,4),・・・AE=0E=4,・・・FC=OE，即OF+EF二CE+EF,・・・OF=CE,・・・OF=DF,・・・ZDOF=45°,•••△AOB为等腰直角三角形・・・ZAOB=45°,AZAOD=ZAOB+ZDOF=90°又VZAEO=90°,AZNEM=45°=ZFEM,又VEM二EM,/.△NEM^^FEM(SAS),・・・MN二MF,・•・AM—MF二AM—MN二AN,又•「△EGH为等腰直角三角形, 即AM=FM+OF；・・・ZGEH=45°,即ZOEF+ZOEM=45°,AZAEN+ZOEM=45°【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定、等腰三角形的性质和坐标与图形性质的综合应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.如图,直线L交x轴、y轴分别于A、B两点,A(a,0)B(0,b),且(a—b)2+|b—4|=0求A、B两点坐标;(2)C为线段AB上一点，点的横坐标是3,P是y轴正半轴上一点,且满足Z0CP=45°,求P点坐标；在(2)的条件下，过B作BD丄OC，交OC、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且ZCEA=ZBDO,试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由.解：・.・(a—b)2+|b—4|=0，・・・A(4，0)，B(0，4)；(2)如图，已知A(a，b)，AB丄y轴于B，且满足|a-2|+(b-2)2=0，求A点坐标；如图1,分别以AB，AO为边作等边三角形AOD，试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系，并说明理由；如图2,过A作AE丄x轴于E,点F、G分别为线段OE、AE上两个动点，满足ZFBG=45°,试探究°FAG的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，请说FG明理由.2017-2018江汉期中如图点PABC的外角ZBCD的平分线上一点，PA=PB.求证:ZPAC=ZPBC；作PE丄BC于E,若AC=5,BC=11,求SAPCE：SAPBE；1若M、N分别是边AC、BC上的点，且ZMPN=ZAPB,则线段AM、MN、BN之间2

PF丄AC于F,•.•RtAPAF竺RtAPEB,・S=S,APAFAPEB・S：S=S：SAPCE PF丄AC于F,•.•RtAPAF竺RtAPEB,・S=S,APAFAPEB・S：S=S：SAPCE APBEAPFC APFA=1CFXPF：1ACXPF22=CF：AC=3：（3+5）=3：8；•「PC平分ZDCB,・・・PE二PF,在RtAPAF和RtAPEB中,PF=PEPA=PB,・・・RtAPAF竺RtAPEB,AZPAC=ZPBC,（2）如图2,过点P作PF丄AC于F,「PE丄BC,CP是ZBCD的平分线,APE=PF,ZPCF=ZPCE,「PC=PC,•••△PCF竺APCE,CF=CE,由（1）知，RtAPAF竺RtAPEB,AF=BE,「AF=AC+CF,BE=BC-CE,AC+CF=BC-CE,5+CF=11-CE,CE=CF=3,•.•△PFC竺APEC,△PMA竺APQB,PM=PQ,ZMPA=QPB,ZAPM+ZQPA=ZAPQ+ZQPB,即：ZAPB二ZMPQ,TZMPN二1ZAPB,2ZMPN二1ZMPQ,2ZMPN=ZQPN,在△皿卩“和厶QPC中，△MPN竺AQPC,MN=QN,BN二AM+MN.【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定理和角平分线的定义，解（1）的关键是判断出PE=PF,解（2）的关键是求出CE=CF=3，解（3）的关键是构造全等三角形判断出ZAPB=ZMPQ,是一道中等难度的中考常考题.・•・S=S,2015-2016江岸八上期末已知在△ABC中，AB=AC,射线BM、BN在ZABC内部，分别交线段AC于点G、H.（1）如图1,若ZABC=60°、ZMBN=30。，作AE丄BN于点D,分别交BC、BM于点E、F.求证：CE=AG；若BF=2AF,连接CF,求ZCFE的度数；(2)如图2,点E为BC上一点，AE交BM于点F,连接CF,(2)如图2,点E为BC上一点，AE交BM于点F,连接CF,若ZBFE=ZBAC=2ZCFE,直接写出"VABFSVACF图1 图21【分析】(1)①由AB=AC,ZABC=60。得到△ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质得到ZBAC=ZACB=60°,AB=CA,求得ZBFD=ZAFG=60°,推出ZEAC=ZGBA证得△GBA竺AEAC,根据全等三角形的性质即可得到结论；②如图1,取BF的中点K连接AK,由BF=2AF,推出△FAK是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到ZFAK=ZFKA,求得ZAKF=-ZBFD=30°，根据全等三角形的性质得到AG=CE,BG=AE,ZAGB=2ZAEC,推出△GAK^^EFC,根据全等三角形的性质得到ZCFE=ZAKF即可得到结论;(2)如图2,在BF上取BK=AF,连接AK,推出ZEAC=ZFBA，根据全等三角形的性质得到S=S,ZAKB=ZAFC，证得△FAK是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到af=Fk,i即可得到结论.【解答】解：(1)①TAB二AC,ZABC=60•••△