2022高考理数复习资料讲义：第7章 不等式 第2讲

PAGE18第2讲二元一次不等式组与简单的线性规划问题[考纲解读]1了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．重点2从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．难点[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考必考内容．预测2022年的考查，主要命题方向为：在约束条件下求目标函数的最值或根据最值情况求参数，同时能用线性规划解决实际问题．试题以客观题形式呈现，属中档题型

1．二元一次不等式组表示的平面区域

2．线性规划相关概念

3．重要结论1直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取0,1或1,0来验证．2利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于A＋By＋C>0或A＋By＋C<0，则有①当BA＋By＋C>0时，区域为直线A＋By＋C＝0的上方；②当BA＋By＋C<0时，区域为直线A＋By＋C＝0的下方．3最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解有时唯一，有时有多个．4．利用线性规划求最值，用图解法求解的步骤1作可行域；2将目标函数进行变形；3确定最优解；4求最值．

1．概念辨析1不等式A＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线A＋By＋C＝0的上方．2线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．3线性目标函数的最优解可能是不唯一的．4目标函数＝a＋byb≠0中，的几何意义是直线a＋by－＝0在y轴上的截距．答案1×2√3√4×2．小题热身1不等式组eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1－3y＋6≥0，,－y＋2＜0表示的平面区域是

答案B解析－3y＋6≥0表示直线－3y＋6＝0及其下方部分，－y＋2＜0表示直线－y＋2＝0上方部分，2已知点－3，－1和4，－6在直线3－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围为A．－7,24B．－∞，－7∪24，＋∞C．－24,7D．－∞，－24∪7，＋∞答案A解析由题意可知－9＋2－a12＋12－a<0，所以a＋7a－24<0，所以－7<a<243已知实数，y满足eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1－y＋1≤0，,2＋y－4≥0，,≥0，则＝＋2y的最小值为________．答案5解析由题意可得可行域为如图所示含边界，＝＋2y，即y＝－eq\f1,2＋eq\f1,2，则在点A处取得最小值，联立eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1－y＋1＝0，,2＋y－4＝0，解得eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1＝1，,y＝2，∴A1,2．代入＝＋2y得最小值5

42022·全国卷Ⅱ若，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1＋2y－5≥0，,－2y＋3≥0，,－5≤0，则＝＋y的最大值为________．答案9解析不等式组表示的可行域是以A5,4，B1,2，C5，0为顶点的三角形区域，如图所示，由图可知目标函数＝＋y的最大值在顶点A处取得，即当＝5，y＝4时，ma＝9

题型eq\a\vs4\al一二元一次不等式组表示的平面区域

1．若不等式组eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1－y≥0，,2＋y≤2，,y≥0，,＋y≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是A．a≥eq\f4,3 B．0<a≤1C．1≤a≤eq\f4,3 D．0<a≤1或a≥eq\f4,3答案D解析作出不等式组eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1－y≥0，,2＋y≤2，,y≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：＋y＝a在l1，l2之间包含l2，不包含l1或l3上方包含l3．故选D

2．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．

答案eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1＋y－1≥0，,－2y＋2≥0解析两直线方程分别为－2y＋2＝0与＋y－1＝0由0,0点在直线－2y＋2＝0右下方可知－2y＋2≥0，又0,0点在直线＋y－1＝0左下方可知＋y－1≥0，即eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1＋y－1≥0，,－2y＋2≥0为所表示的可行域．条件探究把举例说明1中的不等式组改为eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1≥1，,y≥0，,2＋y≤6，,＋y≤a，“三角形”改为“四边形”，求a的取值范围．解平面区域如图中的阴影部分，直线2＋y＝6交轴于点A3,0，交直线＝1于点B1,4，当直线＋y＝a与直线2＋y＝6的交点在线段AB不包括线段端点上时，此时不等式组所表示的区域是一个四边形．将点A的坐标代入直线＋y＝a的方程得3＋0＝a，即a＝3，将点B的坐标代入直线＋y＝a的方程得a＝1＋4＝5，故实数a的取值范围是3,5．

1．解决求平面区域面积问题的方法步骤1画出不等式组表示的平面区域；2判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长三角形的高、四边形的高等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．2．根据平面区域确定参数的方法在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．如举例说明1

已知平面上的单位向量e1与e2的起点均为坐标原点O，它们的夹角为eq\fπ,3平面区域D由所有满足eq\oOa＝3×2＋0＝6角度2由目标函数最值求参数2．2022·华南师大附中二模已知a>0，，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1≥1，,＋y≤3，,y≥a－3，若＝2＋y的最小值为1，则a＝\f1,2\f1,3C．1D．2答案A解析作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分含边界．

当直线＝2＋y过交点A时，取最小值，由eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1＝1，,y＝a－3，得eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1＝1，,y＝－2a，∴min＝2－2a＝1，解得a＝eq\f1,2角度3非线性目标函数的最值问题3．已知eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1－y＋2≥0，,＋y－4≥0，,2－y－5≤0，求：1＝2＋y2－10y＋25的最小值；2＝eq\f2y＋1,＋1的范围．解作出可行域，如图阴影部分所示．

通过联立方程，解得A1,3，B3,1，C7,9．1＝2＋y－52表示可行域内点，y到点M0,5的距离的平方．过点M作AC的垂线，垂足为点N，故|MN|＝eq\f|0－5＋2|,\r1＋－12＝eq\f3\r2,2，|MN|2＝eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f3\r2,22＝eq\f9,2故的最小值为eq\f9,22＝2·eq\fy－\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1－\f1,2,－－1表示可行域内点，y与定点Qeq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1－1，－\f1,2连线斜率的2倍．因为QA＝eq\f7,4，QB＝eq\f3,8，所以的范围是eq\b\lc\[\rc\]\a\vs4\al\co1\f3,4，\f7,2

求线性目标函数最值问题及线性规划应用题的解题策略1求线性目标函数的最值．线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以我们可以直接解出可行域的顶点，然后代入目标函数以确定目标函数的最值．2由目标函数的最值求参数的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．3求非线性目标函数最值问题的解题策略解决此类问题时需充分把握好目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义有：①对形如＝－a2＋y－b2型的目标函数均可化为可行域内的点，y与点a，b间距离的平方的最值问题．如举例说明3②对形如＝eq\fay＋b,c＋dac≠0型的目标函数，可先变形为＝eq\fa,c·eq\fy－\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1－\fb,a,－\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1－\fd,c的形式，将问题化为求可行域内的点，y与点eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1－\fd,c，－\fb,a连线的斜率的eq\fa,c倍的取值范围、最值等．如举例说明3③对形如＝|A＋By＋C|型的目标，可先变形为＝eq\rA2＋B2·eq\f|A＋By＋C|,\rA2＋B2的形式，将问题化为求可行域内的点，y到直线A＋By＋C＝0的距离的eq\rA2＋B2倍的最值．

1．2022·北京高考若，y满足＋1≤y≤2，则2y－的最小值是________．答案3解析＋1≤y≤2，等价于不等式组eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1y≤2，,＋1≤y，画出可行域如图，令＝2y－，化为斜截式得y＝eq\f1,2＋eq\f1,2，直线斜率为eq\f1,2，在y轴上的截距为eq\f1,2，直线越往下，eq\f1,2越小，越小，由eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1y＝2，,＋1＝y，

得最优解为1,2，所以＝2y－的最小值为32．2022·安徽皖江最后一卷已知，y满足条件eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1－y≤0，,＋y－4≤0，,－1≥0，则点0,0到点，y的距离的最小值是________．答案eq\r2解析∵＝eq\fy－0,－0，∴如图所示，原点到点a＝3＋eq\f1,2＝eq\f7,2；当a≤0时，数形结合知，目标函数＝＋ay取得最小值的最优解不可能有无数多个．综上所述ma＝eq\f7,2题型eq\a\vs4\al三线性规划的实际应用

2022·全国卷Ⅰ某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料，乙材料1g，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料，乙材料，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150g，乙材料90g，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．答案216000

解析设生产产品A件，产品By件，依题意，得eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1≥0，y≥0，,＋≤150，,＋≤90，,5＋3y≤600，设生产产品A，产品B的利润之和为E元，则E＝2100＋900y画出可行域如图，易知最优解为eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1＝60，,y＝100，则Ema＝216000

线性规划解决实际问题的一般步骤1能建立线性规划模型的实际问题①给定一定量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收益最大；②给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少．2解决线性规划实际问题的一般步骤①转化：设元，写出线性约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题；②求解：解决这个纯数学的线性规划问题；③作答：根据实际问题，得到实际问题的解，据此作出回答．

某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元答案C解析设旅行社租用A型客车辆，B型客车y辆，租金为，则线性约束条件为eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1＋y≤21，,y－≤7，,36＋60y≥900，,，y∈N目标函数为＝1600＋2400y

画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N时，取得最小值，由eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1y－＝7，,36＋60y＝900，解得eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1＝5，,y＝12，故N5,12，故min＝1600×5＋2400×12＝36800元．高频考点线性规划问题考点分析线性规划是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有三类：①目标函数是线性的；②目标函数是非线性的；③已知最优解求参数，处理时要注意搞清是哪种类型，利用数形结合解决问题．[典例1]2022·吉林省实验中学模拟已知，y满足eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1y≥，,＋y≤2，,2－y≥m若＝＋2y有最大值4，则实数