基础随机变量及其分布知识点

随机变量及其分布、离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X可能取的值为》X。,…,X,…,X,X取每一个12in值x(i=1,2，…,n)的概率P(X=X)=p,则称以下表格iiiXx1x2…xi…xPP1P2…p.…pn为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：（1）P20,i=1,2,…,ni(2(2)p+p+…+p=1

12n常见的两种分布：1．两点分布如果随机变量X的分布列为X01P1-pp则称X服从两点分布，并称p=P(x=i)为成功概率.2．超几何分布一般地，在含有乂件次品的N件产品中，任取口件，其中恰有乂件次品，则事件｛X二k｝发生的概率为：CkCn—kP(X=k)=M_N-M,k=0,1,2,3,...,mCnN则随机变量X的概率分布列如下:X01…mPC0Cn-0MN—MCnNC1Cn-1MN-MCnN…CmCn-mMN-MCnN其中m=min{M,n},且〃<N,M<N,n,M,NgN*注：超几何分布的模型是不放回抽样二、条件概率P(AB)一般地，设A,B为两个事件,且P(A)>0，称P(B|A)=ppA^-为在事件A发生的条件下，事件8发生的条件概率.0WP(BIA)W1三、相互独立事件设A,B两个事件，如果事件人是否发生对事件8发生的概率没有影响(即P(AB)=P(A)P(B)),则称事件A与事件B相互独立。即A、B相互独立oP(AB)=P(A)P(B)一般地，如果事件A1,A2,…,An两两相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(AA...A)=P(A)P(A)...P(A).12n12n注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.四、n次独立重复试验一般地，在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验.在n次独立重复试验中，记A是“第i次试验的结果”，显然，iP(AA…A)=P(A)P(A)•••P(A)12n12n“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响注:独立重复试验模型满足以下三方面特征第一：每次试验是在同样条件下进行；第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.五、二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X=k)=Ckpk(1-p)n一k，k=0,1,2,…，nnX01…k…nPC0p0qnnC1p1qn-1n…Ckpkqn-kn…Cnpnq0n此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p)，并称p为成功概率.六、离散随机变量的均值(数学期望)一般地，随机变量X的概率分布列为Xx1x2…xi…xPP1P2…p.…pn

则称E(X)=xp+xp++xp++xp1122iinn为X的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平..若y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是变量Yax+bax+b…ax+b…ax+bnPpiP2…pi…pn则EY=aE(X)+b，即E(aX+b)=aE(X)+b.一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=1xp+0x(1-p)=p即若X服从两点分布，则E(X)=p•若X~B(n,p)，则E(X)=np七、离散型随机变量取值的方差和标准差一般地,若离散型随机变量X的概率分布列为XX1X2…Xi…XPp1p2…pi…pn则称DX=(x-E(X))2p+(x-E(X))2p+-••+(x-E(X))2p为随机变量X的方差.1122nn并称、DXT,为随机变量X的标准差..若X服从两点分布，则D(x)=p(1-p)•若X~B(n,p)，则D(X)=np(1-p)3．D(aX+b)=a2D(X)八、正态分布.正态分布一般记为N(u,。2).口为正态分布的均值；。是正态分布的标准差2．结合正态曲线，归纳其以下性质：(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交.(2)曲线关于直线x=u对称.(3)当x=h时，曲线位于最高点.(4)当xV口时，曲线上升(增函数)；当x>口时，曲线下降(减函数)．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近.(5)口一定时，曲线的形状由。确定.。越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；。越小，曲线越“高”，总体分布越集中；3.3。原则:对于正态总体(口,。2)取值的概率：练习：.正态分布有两个参数日与0,()相应的正态曲线的形状越扁平。A.日越大B.日越小C.o越大D.o越