平面向量共线问题的再探讨

平面向量共线问题的再探讨

Summary：平面向量的平行与垂直是高中数学新课程向量部分的重要内容，本文旨在对平面向量平行（即共线）相关定理进行推广，得到两个更加具有一般性的结论，并举例说明它们的应用，使问题的解决更简捷。Keys：平面向量、共线定理、推广、应用。平面向量的共线，这部分内容比较重要，在各种考试中也频频出现，教材上就两个向量共线已给出两个定理：向量与向量共线存在唯一实数，使得成立。向量与向量，则∥在此基础之上，笔者对向量共线问题，再做进一步探讨及推广，若有不当之处，请各位老师指正。对于定理（2）给出的结论，向量，的基底是单位正交向量：，，下面我们给出的结论中，涉及到的基底不一定是单位正交向量：，，而是任意一组基底：与，它更具有一般性。推论1：若，是不共线的两个向量，，，与共线证明：与共线，当且仅当=，由①②平面向量基本定理得：①-②消去得：所以，与共线。上述结论还可以进一步推广为：推论2：对于任意向量，，若，，那么与共线∥或证明：分两种情况：与平行和与不平行（1）与平行时，结论成立。（2）与不平行时,与共线，当且仅当=，有：即：由①②平面向量基本定理得：①-②消去得：即：当且仅当时，与共线综合（1）（2）知：与共线∥或上述两个结论，尤其第二个，对向量共线的问题阐述得比较完备。在高考、模拟考、联考等一系列考试中，常出现向量共线的问题，下面是两个结论针对一些考题的应用，所有例题都给出多种解法，其中“另解”应用了上述结论，多种解法进行对比后，我们可以看出应用上述结论可以使问题的解决更简捷，从而节省时间。例1.（2009重庆卷文）已知向量，若与平行，则实数的值是（）A．-2B．0C．1D．2解法1：因为，，所以，由于与平行，得，解得，选D。解法2：因为与平行，则存在常数，使，即：，根据向量共线的条件知，向量与共线，故，选D。另解：因为与平行，即与平行，但，所以根据已知结论得：∥，所以有，，即得，选D。例2.已知，，当为何值时，向量与平行？平行时它们是同向还是反向？解：∵，。∴，∵与平行∴解得.此时∴当时，向量与平行，并且反向．另解：∵与不平行，且向量与平行。∴，即此时∴当时，向量与平行，并且反向．例3.设两个非零向量和不共线，如果，，，且A、C、D三点共线，求的值．解：，∵A、C、D三点共线，∴与共线，从而存在实数使得，即：，得，解得，.另解：由A、C、D三点共线，知与共线。所以，，故例4.若，是两个不共线的非零向量，与起点相同，则当为何值时，，，三向量的终点在同一条直线上？解：设，，，∴，要使A、B、C三点共线，只需.即:.∴有⇒。∴当时，三向量终点在同一直线上.另解：令，，。要使，，三向量的终点在同一条直线上，只需、、三点在同一条直线上.∵，。∴，即∴当时，，，三向量终点在同一直线上.例PA5.已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点，PQ过△ABO的重心G，且,,,,求证：.证M明：因为M是AB边的中点所GB以又OQ因为G是△ABO的重心，所以.由P、G、Q三点共线，得∥，所以，有且只有一个实数，使.而，，所以.又因为、不共线，所以，消去，整理得，故.另证：∵G是△ABO的重心，所以.又∵,,,∴由P、G、Q三点共线，得∥，所以，去括号，整理得：等式两边同时除以得：结语：从以上5个例题可以看出灵活应用定理及推论的重要性，一方面可使学生对向量共线