2022-2023学年北京青年政治学院附属中学高一数学理上学期期末试卷含解析

2022-2023学年北京青年政治学院附属中学高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若对任意x1∈R，都存在x2∈[﹣2，+∞），使得f（x1）＞g（x2），则实数a的取值范围是（）A． B．（0，+∞） C． D．参考答案：A【考点】全称命题．【分析】确定函数f（x）、g（x）的值域，根据对任意的x1∈R都存在x2∈[﹣2，+∞），使得f（x1）＞g（x2），可f（x）值域是g（x）值域的子集，从而得到实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称∴f（x）的最小值为f（1）=﹣1，无最大值，可得f（x1）值域为[﹣1，+∞），又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[﹣2，+∞），∴g（x）=ax+2（a＞0）为单调增函数，g（x2）值域为[g（﹣2），+∞），即g（x2）∈[2﹣2a，+∞），∵对任意的x1∈R都存在x2∈[﹣2，+∞），使得f（x1）＞g（x2），∴只需f（x）值域是g（x）值域的子集即可，∴2﹣2a＜﹣1，解得：a＞，故选：A．2.一次函数在上的最小值和最大值分别为和，则的值（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C3.数列满足a1=1，，则使得的最大正整数k为

A．5

B．7

C．8

D．10参考答案：D略4.已知向量与的夹角为120°，，则等于（）A．5 B．4 C．3 D．1参考答案：B【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模．【分析】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，用数量积列出等式，再根据和的模两边平方，联立解题，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．【解答】解：∵向量与的夹角为120°，，∴，∵，∴，∴=﹣1（舍去）或=4，故选B．5.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若，则△ABC的形状为（

）A.等腰三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.锐角三角形参考答案：B【分析】利用正弦定理和两角和的正弦化简可得，从而得到即.【详解】因为，所以，所以即，因为，故，故，所以，为直角三角形，故选B.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.6.对于函数f（x）=，存在一个正数b，使得f（x）的定义域和值域相同，则非零实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．4参考答案：C【考点】函数的值域．【分析】由题意：函数f（x）=，对a讨论，求其定义域和值域相同，讨论a的值．【解答】解：由题意：函数f（x）=，若a＞0，由于ax2+bx≥0，即x（ax+b）≥0，∴对于正数b，f（x）的定义域为：D=（﹣∞，﹣]∪[0，+∞），但f（x）的值域A?[0，+∞），故D≠A，不合要求．若a＜0，对于正数b，f（x）的定义域为D=[0，﹣]．由于此时函数f（x）max=f（﹣）===．故函数的值域A=[0，]，由题意，有：=，由于b＞0，解得：a=﹣4．故选C．7.已知集合A={1,2,3,4}，，则A∩B=A. B.{0,1,2,3} C.{1,2,3} D.{0,1,2}参考答案：C【分析】由一元一次不等式的解法求得集合B，由交集运算求出，得到结果。【详解】由题意得，，又，所以，故选C8.设函数，，则是（

）A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为的偶函数C、最小正周期为的奇函数 D、最小正周期为的偶函数参考答案：B9.若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B10.函数的定义域为（

）A.

B.（-2，+∞）

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的值域为

．参考答案：(0，3］12.已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（3）的实数x的取值范围是．参考答案：（﹣1，2）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由f（x）为偶函数且在[0，+∞）上单调递增，便可由f（2x﹣1）＜f（3）得出|2x﹣1|＜3，解该绝对值不等式便可得出x的取值范围．【解答】解：f（x）为偶函数；∴由f（2x﹣1）＜f（3）得，f（|2x﹣1|）＜f（3）；又f（x）在[0，+∞）上单调递增；∴|2x﹣1|＜3；解得﹣1＜x＜2；∴x的取值范围是：（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．13.已知，则

▲

.参考答案：14.已知tan=3，则之值为_____________参考答案：15.某校高一、高二、高三年级学生共700人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级200人，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为35的样本，那么从高一年级抽取的人数应为

人．参考答案：15【考点】B3：分层抽样方法．【分析】先求出抽取样本的比例是多少，再计算从高二学生中应抽取的人是多少．【解答】解：根据题意，得抽取样本的比例是=，∴从高一学生中应抽取的人数为300×=15．故答案为15．16.已知圆C：，点,过点P作圆的切线，则该切线的一般式方程为________________参考答案：3x-4y+31=0

17.化简得__________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=xa（a∈R），函数f（x）的图象经过点（4，2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）解不等式f（x2）﹣f（﹣x2+x﹣1）＞0．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质；指数函数的图象与性质．【专题】综合题；转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据函数f（x）的图象经过点（4，2）．可得a值，结合f（x）是定义在R上的偶函数，可得函数的解析式；（2）不等式f（x2）﹣f（﹣x2+x﹣1）＞0可化为：|x2|＞|﹣x2+x﹣1|，即x2＞x2﹣x+1，解得答案．【解答】解：（1）∵函数f（x）的图象经过点（4，2）．∴4a=2，解得：a=，故当x≥0时，f（x）=，当x＜0时，﹣x＞0，由f（x）是定义在R上的偶函数，可得此时f（x）=f（﹣x）=，综上可得：f（x）=（2）若f（x2）﹣f（﹣x2+x﹣1）＞0，则f（x2）＞f（﹣x2+x﹣1），则|x2|＞|﹣x2+x﹣1|，即x2＞x2﹣x+1，解得：x＞1【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性性质，不等式的解法，函数解析式的求法，难度中档．19.（12分）已知数列的前项和；数列通项，求数列的前项和参考答案：

20.如图，四边形和均是边长为2的正方形，它们所在的平面互相垂直，，分别为，的中点，点为线段的中点．（1）求证：直线平面；（2）求点到平面的距离．参考答案：（1）证明见解析；（2）．（1）取的中点，连接和，则易知，又因为，，所以为的中位线，所以，且，，所以平面平面，又平面，所以平面．（2）设点到平面的距离为，由题可知，面，所以，由勾股定理可知，，所以的面积，经过计算，有，由，和，所以．21.（12分）（2015秋淮北期末）（A类题）设f（x）=，其中e为自然底数． （Ⅰ）若f（m）=2，求实数m的值； （Ⅱ）求f（x）的反函数f﹣1（x）； （Ⅲ）判断f（x）的反函数f﹣1（x）的奇偶性． 参考答案：【考点】反函数；函数奇偶性的判断． 【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】（1）令f（m）=2列出方程，转化为二次函数解出； （2）将函数式子变形，用y表示出x，然后互换变量的符号得出反函数； （3）先判断反函数的定义域，再计算f﹣1（﹣x）+f﹣1（x）． 【解答】解：（Ⅰ）由=2得：e2m﹣4em﹣1=0，解得em=2+或em=2﹣（舍）． ∴m=ln（2+）． （Ⅱ）由y=得：e2x﹣2yex﹣1=0，解得ex=y+，∴x=ln（y+）． ∴f﹣1（x）=ln（x+）（x∈R）． （Ⅲ）f﹣1（﹣x）+f﹣1（x）=ln（﹣x+）+ln（x+）=ln1=0． ∴f﹣1（x）为奇函数． 【点评】本题考查了函数值的计算，反函数的求法，函数奇偶性的判断，属于基础题．22.已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1（x∈R）．（1）把f（x）化简成f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的形式（2）求函数f（x）的单调增区间．参考答案：【考点】H5：正弦函数的单调性；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）