常微分方程期末考试试卷

常微分方程期末考试试卷(6)学院班级学号姓名成绩一．填空题(共30分，9小题，10个空格，每格3分)。1.当时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。2、称为齐次方程。TOC\o"1-5"\h\z3、求-y=f(x,y)满足申(x)二y的解等价于求积分方程的dx00连续解。4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件,则方程空=f(x,y)dx的解y=9(x,x,y)作为x,x,y的函数在它的存在范围内是。00005、若x(t),x(t),...x(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件123是。6、方程组x/=A(t)x的称之为x/=A(t)x的一个基本解组。7、若Q(t)是常系数线性方程组x/=Ax的基解矩阵，则expAt=。8、满足的点(x*,y*)，称为方程组的奇点。9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部时，零解是稳定的，对应的奇点称为。二、计算题(共6小题，每题10分)。1、求解方程：空=上二匕dxx+y2+3解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程dy=3y3在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通dx2过点（0，0）的一切解4、求解常系数线性方程：x//-2x/+3x=e-1cost5、试求方程组x/=Ax的一个基解矩阵，并计算eAt,其中A为「2'V43丿6、1）的奇点类型，其中a,b,c为常试讨论方程组少ax+by,豊=cy数，且6、1）的奇点类型，其中a,b,c为常三、证明题（共一题，满分10分）。试证：如果申（t）是x/=Ax满足初始条件甲（t）=耳的解，那么0申(t)=EA(t-t0)1、2345678912、常微分方程期末考试答案卷、填空题。（30分）dM(x,y)_dN(x,y)dxdy_f)dxxy=y0+Jxf(X,y)dx0x0连续的wlx(t),X(t,x(t山012nn个线性无关解①(t)4i(0)X(x,y)=0,Y(x,y)=0为零稳定中心、计算题。（60分）解：(x-y+1)dx-(x+y2+3)dy=0xdx-(ydx+xdy)+dx-y2dy-3dy=011即—dx2-d(xy)+dx-一dy3-3dy=023所以—x2-xy+x-—y3-3y_C23解：空_-2(x+y)-1，令z=x+ydx(x+y)-2则竺_1+空dxdxdz2z-1dx_1—dxdxz-2所以-+31nlz+1l=x+C,lnlz+1l3=x+z+C11即(x+y+1)3_Ce2x+y

3、解:设f(x,y)=3y则f二-y-3(y丰0)2By2故在y丰0的任何区域上Bf存在且连续，By因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件显然，y三0是通过点(0,0)的一个解；又由dy=3y通解为x=et(ccos*2t+c通解为x=et(ccos*2t+csin\：2t)+—(5cost一4sint)e-t41所以，通过点(0，0)的一切解为y三0及f0(x<c)lyl=<3(x一c)2(x>c),c>0是常数4、解：(1)九2一2九+3二0,九二1土迈i1,2齐次方程的通解为x=et(ccosf2t+csinv2t)12(2)九=-1土i不是特征根，故取x=(Acost+Bsint)e-代入方程比较系数得A=-，B=-上4141于是x=(cost-sint)e-t5、解：九-1det(X5、解：九-1det(XE—A)=-4-2X-3=X2-4X-5=0所以，X=-1,X=512设X=-1对应的特征向量为v11

(-2-2、由v二0(1、可得v=a1-1\丄丿了1\f1、取v=1「一1丿同理取v=2-tv所以，①（t）=1e5t(1、可得v=a1-1\丄丿了1\f1、取v=1「一1丿同理取v=2-tv所以，①（t）=1e5tv=2]=f乂一e—e-teAt=①(t)0-1(0)=e-t—e-te5t2e5t八丫1-1e5t、2e5t丿1、-12丿e-te5t2-1、2e5t人11(e5t+2e—te5t—e—'3、2e5t—2e-t2e5t+e-t丿6、解：因为方程组（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件ab0c_.a—九b~〜/口又由det(A-九E)==九2—(a+c)X+ac=0得0c—九X=aX=c12所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：=ac主0，故奇点为原点（0,0）aca丰c<>0奇点为结点•a<0,c<0,稳定结点a>0,c>0,不稳定结点a，c为实数ac<0奇点为鞍点（不稳定）a=cb丰0,奇点为退化结点

b=0,奇点为奇结点a<0,c<0,稳定结点

a>0,c>0,不稳定结点三、证明题。（10分）证明：设申（t）的形式为申（t）=eA