2022年全国初中数学联合竞赛试卷(含解析)

2022年全国初中数学联合竞赛试卷（含解析）第一试326（本题满分2分，每小题7分）3262已知a2（C）

1，b

，c

2abc的大小关系是A. abc B. acb C.bac D.bca．方程（B）

x22xy3y234 的整数解 (x,y) 的组数为A．3. B．4. C．5. 3．已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（D）A．6B．5C．2 62 53333．已知实数a,b 满足a2b21 ，则a4abb4 的最小值为（B）A．1. B．0. C．1. D．9.8 8．若方程x22px3p20 的两个不相等的实数根x,x 满足1 2x2x34(x2x3) ，则实数 p 的所有可能的值之和为1 1 2 2（B）A．0. B．3. C．1. D．5.4 4由4这四个数字组成四位数abc（数字可重复使用acbd.如（C

此 的 四 位 数 共 有A．36个. B．40个. C．44个. D．48个.（本题满分8分，每小题7分）已知互不相等的实数abc

a1b1c1b c a

，则t

1 ．使得52m1是完全平方数的整数m的个数为 1 ．在△ABCAB＝AC，∠A＝40°，PABACP＝20BC＝AP33．4 ． 已 知 实 数 a,b,c 满 足 abc1 ， abc4 ，a b

4，则a2b2c2＝ 33 ．a21 b21 c21 9 2第二试（A）（本题满分20分）30面积.解设直角三角形的三边长分别为a,b,c（abc，则abc30.明显，三角形的外接圆的直径即为斜边长c，下面先求c的值.abc及abc30得30abc，因此c10.abc及abc30得30abc2c，因此c15.又因为c为整数，因此11c14.依照勾股定理可得a2b2c2 ，把c30ab 代入，化简得ab30(ab)4500，因此(30a)(30b)45023252，因为a,b均为整数且ab，因此只可能是30a52,30b22

解得a5,b12.因此，直角三角形的斜边长c13，三角形的外接圆的面积为169 .4AODB（本题满分5分A为⊙OC为⊙OA⊥OP于点D证AD2BDAODBP C证明：连接OA，OB，OC.∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得PA2PDPOAD2PDOD.又由切割线定理可得PA2PBPCPBPCPDPOO四点共圆，∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD，∴PDBD，∴AD2PDODBDCD.CD OD（本题满分5分）

y x2bx161

的顶点为P，与x轴的正半轴交A(x,0)、B(x,0)（xx）yC，PA是△ABC设1 2 1 2M 3AM//BC.(0, 2解易求得点P

b2323

C(0,c.1设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点DAB的垂直平分线上，设点D坐标为m).1明显，x,x是一元二次方程1 2

9b26c x2bx9b26c

的两根，因此

x ，9b9b26c9b26c9b26c2

，又AB的中点E的坐标为，因此AE＝ .因为PA为⊙D的切线，因此PA⊥AD，又AE⊥PD，因此由射影定理可得AE2PEDE，即( 9b26c)2

3( b2c)|m23

，又易知m0，因此可得m6.又由DA＝DC得DA2DC2即( 9b26c)2m20)2(mc)2把m6代入后可解得c6（另一解c0舍去）.AM//BCOA

OM，即 |3|. 9b26c 9b26cOB OC

2|6|把c代入解得 5（另一解 5舍去）.b b2 2因此，抛物线的解析式为

1 5 .y x2 x6 2第二试（B）（本题满分0分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为6面积.解设直角三角形的三边长分别为a,b,c（abc，则abc60.明显，三角形的外接圆的直径即为斜边长c，下面先求c的值.abc及abc60得60abc，因此c20.abc及abc60得60abc2c，因此c30.又因为c为整数，因此21c29.依照勾股定理可得a2b2c2 ，把c60ab 代入，化简得ab60(ab)18000，因此(60a)(60b)1800233252，因为a,b均为整数且ab，因此只可能是60a235,或60a252,解得a20,或a10,

60b2

60b222,AODBECb15, AODBECa20,b15c25，三角形的外接圆的面积为625；4a10,b24c26.（本题满分5分）A为⊙OCOD⊥OP于点，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明：∠BAE＝∠ACB.证明：连接OA，OB，OC，BD.∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得PA2PDPO，AD2PDOD.又由切割线定理可得PA2PBPC，∴PBPCPDPO，∴DB、、O四点共圆， P∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD，∴PD

BD，CD OD∴BDCDPDODAD2，∴BDAD.AD CD又∠BDA＝∠BDP＋90°＝∠ODC＋90°＝∠ADC，∴△BDA∽△ADC，∴∠BAD＝∠ACD，∴AB是△ADC（本题满分5分）题目和解答与）.第二试（C）（本题满分0分）题目和解答与）.（本题满分5分）题目和解答与）.（本题满分5分）

y x2bx161

的顶点为P，与x轴的正半轴交A(x,0)B(x,0)（xx）两点，与y轴交于点是△ABC将抛1 2 1 23物线向左平移24(求抛物线的解析式.3

1)个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q，且∠QBO＝∠OBC.解抛物线的方程即

y (x3b)2 1 6 1

，因此点P

b2323

，点C(0,c.1设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点DAB的垂直平分线上，设点D坐标为m).1明显，x,x是一元二次方程1 2

9b26c x2bx9b26c

的两根，因此

x ，9b9b26c9b26c9b26c2

，又AB的中点E的坐标为，因此AE＝ .因为PA为⊙D的切线，因此PA⊥AD，又AE⊥PD，因此由射影定理可得AE2PEDE，即( 9b26c)2

3( b2c)|m23

，又易知m0，因此可得m6.又由DA＝DC得DA2DC2即( 9b26c)2m20)2(mc)2把m631 代入后可解得c6（另一解c31 将抛物线

y (x3b)2 6 2

1)个单位后，得到的新抛物线为31 3b2 .3y (x24 24)2 66 2易求得两抛物线的交点为Q

3b2 .31212 3, 32

102)由∠QBO＝∠OBC可得tan∠QBO＝tan∠OBC.作 QN ⊥AB，垂足为 N，则 N 1212 3,0) ，又9b236x9b2362

b2

，因此tan∠QBO＝QN＝

3b248

1023BN 2 13 b24)1212 3) 2b232 3b232 368b244( 31)b2416(42 3)b244( 31)