2020年北京市西城区高三一模数学试卷+答案

2020年北京市西城区高三一模数学试卷2020.4本试卷分为第I卷（选择题）II卷（非选择题）150分，考试120本试卷和答题纸一并交回。I卷（40分）10440符合题目要求的一项。1. 设集合A{x|x3},B{x|x0,或x则A B（A）(,0) （B）(2,3)（C）(,0) (2,3) （D）(,3)2. 若复数z(3i)(1i),则|z|2（A）22

（B）2

（C）

（D）20510,值域为R且为奇函数的是510（A）yx2 （B）ysinx （C）yxx3 （D）y2x设等差数列n

}的前n项和为Sn

,若a3

2,aa1

5,则S 6（A）10 （B）9 （C）8 （D）7设A(2,1),B(4,1),则以线段AB 为直径的圆的方程是（A）(x3)2y22 （B）(x3)2y28（C）(x3)2y22 （D）(x3)2y28设a,bc,且ac,bc,则（A）abc （B）abc2

abc （D）1122 a b c7. ,S为此棱锥所有棱的长度的集合,则（A）2 2S,且23S（B）2 2S7. ,S为此棱锥所有棱的长度的集合,则（A）2 2S,且23S（B）2 2S,且23S（C）2 2S,且23S（D）2 2S,且23S（A）充分而不必要条件（C）充要条件

（B）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件f(x

sinx 的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换12sinx后的图象可以与原图象重合的变换方式有①绕着x轴上一点旋转180后的图象可以与原图象重合的变换方式有①绕着x轴上一点旋转180②沿x轴正方向平移③以x轴为轴作轴对称（A）①③ （B）③④ （C）②③ （D）②④设函数f(xx210x1,x0,若关于x的方程f(x)a(aR)有四个实数解lgx|, x0.x(i1,2,3,4),xxi 1 2

xx3

,则(x1

x)(x2

x的取值范围是4（A）(0,101] （B）(0,99] （C）(0,100] （D）(0,)II卷（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。1在(x )6的展开式,常数项为 1x

.（用数字作答）若向量a(x2,2),bx)满足ab3,则实数x的取值范围是 .

x2y2

0)的一条渐近线方程为y x,则该双曲线的离心率为24 b2 22 .π函数f(x)sin(2x )的最小正周期为 ,若函数f(x)在区间(0,)上单调递π4增,则的最大值为 .在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:率为70%,5060%,女生成绩的优秀率为40%.,:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中,所有正确结论的序号是 .三、解答题：共6小题，共85分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。（14分）如图,ABCDABCD中AA⊥ABCD,ABCDAD//BC,且1 1 1 1 1ABADAA（Ⅰ）（Ⅰ）:ADDA1 1（Ⅱ）AB与平面BCD.11

2,BDDC2 2.（14分）已知ABC满足 , 且b 6,A2π,求sinC的值及ABC的面积.333B成解答.

π,②a4

a3 2sinB注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.（14分）2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突60万,50万人50,20,所得成绩（:分）:（Ⅰ）50,80分以上的女生人数（Ⅱ）82人,70X,求X的分布列和数学期望（Ⅲ）为便于联,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000 ）,并在每组中随机选取m个人作为联络,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90 .根据图表中数,以频率作为率,给出m的最小值.（结论不要求证明）（14分）f(x)alnxx2a2)x,其中aR.,求（Ⅰ）若曲线yf(x)在点(2,f(2))处切线的倾斜角为 ,求4（Ⅱ）f'(x在区间(1,e),证明:当x(1,e)时,f(x)e2.（15分）x2设椭圆E: y21,直线l经过点M(m,0),直线l经过点N(n,0),直线l//直线l,x22 1 2 1 2且直线l,l1 2

分别与椭圆E相交于A,B两点和C,D两点.（Ⅰ）若MN分别为椭圆E,且直线l1

x轴,求四边形ABCD的面积（Ⅱ）若直线l1

的斜率存在且不为0,四边形ABCD为平行四边形,求证:mn0（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,判断四边形ABCD能否为矩形,说明理由.（14分）对于正整数n 如果k(kN*)个整数a,a1 2

, ,ak

满足1aa1 2

ak

n 且aa1

ak

n则称数组(aa1 2

, ,ak

为n的一个“正整数分拆”.记aa1 2

a均为偶k数的“正整数分拆”的个数为fn

,a,a1

, ,ak

均为奇数的“正整数分拆”的个数为g.n（Ⅰ）写出整数4的所有“正整数分拆”;（Ⅱ）对于给定的整数n(n4)设(aa1 2

a是n的一个”且ak 1

2求k的最大值;（Ⅲ）对所有的正整数n证明:fn

g;并求出使得等号成立的n的值.n（注:对于n的两个“正整数分拆”(a,a, ,a)与(b,b, ,b

) 当且仅当km且1 2 k 1 2 mab,a1 1

b, ,a2

b”.）m2020年北京市西城区高三一模数学答案2020.4一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。题号12345678910答案CBCBACDADB二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。11.20 12.( 3,1)613.62

14.π π815.②③三、解答题：共6小题，共85分。（14分）（Ⅰ）因为在底面ABCD中,ABAD2,BD2 2,AB2AD2BD2,ABAD.AA1AA1

ABCDABABCD,AB,又因为AA ADA,AA,AD平面ADDA,1 1 1 1ABADDA.1 1（Ⅱ）由（Ⅰ）AB,AD,AA两两垂直,ABADAA为x轴,y轴z轴,如图建立空间直角坐标系,立空间直角坐标系,在底面ABCD中, ABD为等腰直角三角,AD//BC,所以CBDADB45,又因为BDDC2 2,所以BCD为等腰直角三角,即BC BD2DC24.则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),B(2,0,2),D

(0,2,2),1AB(2,0,0)BC(0,4,2)B

1(2,2,0),1 1 1设平面BCD的法向量n(xyz,1 1BCn0

4y2z0,由1

,得2 2 0,B

Dn0 x y111y得n设直线AB与平面BCD所成的角为,1 16则sin |cosAB,n| ABn| ,6|AB||n| 66所以直线AB与平面BCD所成角的正弦值为 .61 1 6（14分）（不可以选择②作为补充条件.）B

π时,4在ABC中ABCπ所以sinCsin[π(AB)]sin(AB)62sin(2ππ)sin2πcosπcos2πsinπ623 4 3 4 3 4 4在ABC中,由正弦定理得63226322

a b ,sinA sinB所以a

sinAsinB

3,2所以ABC的面积S

1absinC13 .662966293 3选③a3 2sinB时,a在ABC中,由正弦定理得

b ,且a3 2sinB,3 2所以sin2B3 2

bsinA

sinA sinB331,623 22623 2因为在ABC中,sinB0,所以sinB 2,2因为ABCπ,A2π,3所以B

π(0, 3

,则Bπ.4sinCsin[π(AB)]sin(AB)6 2sin(2ππ)sin2πcosπcos2πsinπ6 223 4 3 4 3 4 422a2

sinB

3.222所以ABC 的面积S

1absinC

13

93 .66232 2 4 46623（14分）（Ⅰ）,802人,21,20 1050,80分以上的女生约为50

15万人.10（Ⅱ）由图表知,选取的8名男生中,成绩在70分以上的有3人,70分及其以下的有5人,由题意,X:0,1,2且P(

C2C0 5

15 C0C2 3.X0) 5 3 P(X1) 5 3 P(X2) 5 3C2 14 8 8

28 C2 288的分布列为:01的分布列为:0125153142828XXP所以EX05115233.14 28 28 4（Ⅲ）m的最小值为4.解析:207010人,20人中随机抽取一人,70分以上的概率为101.5000人的青年志愿者中抽取m,20 21)m0.1121070A,则PA1)m0.11210m

mN*,由此得m4所以m4.（14分）（Ⅰ）由题意,得f(x)a2x(a2)xf(2)a4a2)tan1,解得a22 4（Ⅱ）f(x)a

2x(a2)

(2xa)(x1),x(1,e).f(x)

x x(2xa)(x0,得x 1或x .x 2f(x在区间(1,e),a(1,e),即a(2,2e).2随着x变化,f(x)与f(x)的变化情况如下表所示:xx(1,)2aa2( 2af(x)0f(x)↘极小值↗a a所以f(x)在(1,)上单调递,在( ,e)上单调递.2 2fx在(1,e)

(a)aln( )a2

a.a2 2 4aa a 设g(x)2xlnxx22x,x(1,e),则g( )f( ), (1,e).a a 2 2 2所以g(x2lnx2x.x(1,e),得2lnx(0,2)2x(2,2e),g(x2lnx2x0.所以g(x)在区间(1,e)上单调递减.a 所以g(x)g(e)e2,即g( )f( )e2a 2 2故当x(1,e)时,f(x)e2（15分）（Ⅰ）由题知,M(1,0),N(1,0)又因为直线l1

//直线l且l2

x轴,所以l1

:x2

:x1.因为直线l,l1 22所以A(1,2

分别与椭圆EB两点和CD,222),B(1, ),C(1, ),D(1, )2222 2 2 2此时四边形ABCD为矩形,2所以S |AB||AD|2ABCD

22 .2（Ⅱ）因为直线l21

//直线l2

且直线l1

的斜率存在且不为0,所以设直线l1

与直线l2

的斜率为k.则lyk(xm)1yk(x

(12k2)x2

4k2mx2k2m2

20x2

2y22(4k2m)24(12k2)(2k2m22)8(12k2k2m2)0A(x,y1 1

),B(x,y)2 24k2m 2k2m22xx ,xx 1 2 12k2 1

12k21k2(xx1k2(xx)24xx1 2 1 2

12k21k28(12k2k21k28(12k2k2m2)8(18(12k2k2n2)1k21k2

12k28(12k2k2n8(12k2k2n2)1k28(11k28(12k2k2m2)1k212k2

12k2因为k0,整理得到:m2n2即(mn)(mn)0又因为ABCD是四边形,所以mn即mn0（Ⅲ）法一:四边形ABCD不能为矩形,理由如下:点O到直线l1

和直线l2

的距离分别为|km

, |kn

,由（Ⅱ）知k0且mn,1k211k21k21

和直线l2

的距离相等.根据椭圆的对称性,故而原点O是平行四边形ABCD的对称中心.假设平行四边形是矩形,则|OA||OB|,x2 x2x2x2y21 1x2y222

,则x21 1 x21 2 ,所以x1

x.2

1 2 2 2这时直线l1

x轴.这与直线l1

的斜率存在相矛盾,所以假设不成立.所以四边形ABCD不能为矩形.法二:四边形ABCD不能为矩形,理由如下:在（Ⅱ）的条件下,可知B,D关于原点对称,A(xy1 1

),B(x,y2

),所以D(x2

,y)2y(

) k(x

4k2m 2kmk( 2m) 112k2 12k2k

2 1

AD x1

(x) xx2 1 2

4k2m 4k2m 2k12k2 12k2所以k

k

1)1

1AB AD

2k 2即平行四边形的邻边AB,AD