2022学年数学高三上期中测试卷含答案解析版（全国卷新高考地区）

全国卷新高考地区2022学年高三上期中测试数学卷测试时间：120分钟满分：150分一、单选题1.已知集合A={x|x2-x-6>0}，集合B={x∈Z|x2A．

{x|0≤x≤3}

B．

{-1,0,1,2,3}

C．

{0,1,2,3}

D．

(3,4]【答案】C【考点】交集及其运算，补集及其运算【解析】∵A={x|(x-3)(x+2)>0}=(-∞,-2)∪(3,+∞)，B={∴(∁故答案为：C．【分析】先化简集合A，B，再根据补集和交集的定义进行计算，即可得出答案.2.若复数z=1+ia+i-i为纯虚数，则实数a的值为（A．

-1

B．

-12

C．

0

D．

1【答案】A【考点】虚数单位i及其性质，复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】化简原式可得：z=1+iz为纯虚数时，a+1a2+1=0，a-a2-2≠0即故答案为：A【分析】利用复数的运算法则，纯虚数的定义，即可得出答案.3.设随机变量X~N(0.2,δ2)，若P(X>2)=0.2，则P(X>-1.6)等于（A．

0.5

B．

0.9

C．

0.8

D．

0.7【答案】C【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【解答】因为随机变量X~N(0.2,δ2)，且P(X>2)=0.2所以P(X>-1.6)=1-P(X>2)=0.8，故答案为：C【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴，再由正态分布曲线对称性求解.4.现有5种不同颜色要对如图所示的五个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（

）A．

420种

B．

780种

C．

540种

D．

480种【答案】B【考点】分步乘法计数原理【解析】【解答】依题意可知，完成涂色任务可以使用5种，4种，或3种颜色，将区域标号如图.①若用5种颜色完成涂色，则A55②若用4种颜色完成涂色，颜色有C54种选法，需要2，4同色，或者3，5同色，或者1，3同色，或者1，4同色，故有C③若用3种颜色完成涂色，颜色有C53种选法，需要2，4同色且3，5同色，或者1，4同色且3，5同色，或者1，3同色且2，4同色，故有C5所以不同的着色方法共有120+480+180=780种.故答案为：B．【分析】依题意，依次分析五个区域的着色方法数目，由分步计数原理，计算可得答案.5.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，2AB=AA1，则B1A．

104

B．

5117

C．

155

D．

6【答案】B【考点】直线与平面所成的角【解析】【解答】取AB中点D，连接B1D,CD∵三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，∴△ABC为等边三角形，A∵D为AB中点，CD⊂平面ABC，∴CD⊥AB，CD⊥AA1又AB,AA1⊂平面AA1B1B，AB∩AA1∴B1C与平面AA1B不妨设AB=a，则AA1=BB1=2a，∴CD=∴tan∠CB1D=CDB1D=5117故答案为：B．【分析】取AB中点D，连接B1D,CD，证明CD⊥平面AA1B1B，B1C与平面AA1B1B所成角为∠CB1D6.函数f(x)=4cosxex+e-x在A．

B．

C．

D．

【答案】A【考点】函数的图象【解析】【解答】∵f(-x)=4cos(-x)e-x+e-(-x)=4cosxe-x+当x→+∞时，f(x)→0，可排除D，知A符合题意.故答案为：A．【分析】根据函数的奇偶性，可排除BC；x→+∞时，f(x)→0可排除D，可得答案.7.已知a，b为正实数，直线y=x+a与曲线y=ex-b相切，则23a+1A．

2

B．

42

C．

1112+6【答案】C【考点】基本不等式【解析】由y=ex-b得：y'=ex-b；当y'∴直线y=x+a与曲线y=ex-b相切的切点坐标为(b,1)，∴a+b=1，又a,b∴23a+14b=(23a+14b)(a+b)=1112∴23a+14b故答案为：C．【分析】直线与曲线相切,则切点在直线与曲线上,且切点处的导数相等,求出a,

b的关系,再利用基本不等式求所求分式的最值.8.已知f(x)是可导的函数，且f'(x)≤2f(x)，对于x∈R恒成立，则下列不等关系正确的是（

A．

e2f(0)>f(1),e4040C．

e2f(0)>f(1),e4040【答案】A【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】令g(x)=f(x)e2x，则g∵f'(x)≤2f(x)，e2x>0，∴g'(x)≤0，∴g(0)>g(1)，g(1)>g(2021)，即f(0)e0>f(1)e2∴e2f(0)>f(1)，故答案为：A．【分析】构造新函数g(x)=f(x)e2x，求导后易证得g(x)在R上单调递减，从而有g(0)>g(1)，g(1)>g(2021)

，即f(0)e0>f(1)e2二、多选题9.下列四个函数中，最小值为2的是（

）A．

y=11+1-sinx+cosx,x∈[0,πC．

y=x+6x2+3

D【答案】B,D【考点】基本不等式【解析】【解答】对于A：y=1≥当且仅当{1+1-sinx=1sin对于B：因为x>1，故lnx>0，因此y=lnx+1lnx≥2lnx⋅1对于C：若x+6≤0，即x≤-6，则y=x+6x令t=12x+33≤-39，则x=t-3312，即y=-由t<0，则t-66+1521t≤-21521-66=-144，故144t-66+当且仅当t=1521t，即t=-39，即x=-6

若x+6>0，即x>-6，则y=x+6x令t=12x+33>-39，则x=t-3312，即y=若t>0，则t-66+1521t≥21521-66=12，故144t-66+当且仅当t=1521t，即t=39，即x=对于D：因为21x>0，故y=21x+21-x≥221x综上所述，只有BD两个选项可取得最小值2，故答案为：BD．【分析】逐项利用基本不等式判断即可，注意等号成立的条件.10.下列说法正确的是（

）A．

若xy≥0，则|x+y|+|x|+|y|≥2|x-y|B．

若a+bi=(1-i)(2+i)，则a+b=2C．

“x>a+b2是x>D．

“∀x>0，ex>x+1”的否定形式是“∃x≤0，【答案】A,B【考点】命题的否定，必要条件、充分条件与充要条件的判断，基本不等式【解析】【解答】对于A，若xy≥0，则x≥0，y≥0或x≤0，y≤0；当x≥0，y≥0时，|x+y|+|x|+|y|=2x+2y，2|x-y|=2x-2y或2y-2x，∵(2x+2y)-(2x-2y)=4y≥0，(2x+2y)-(2y-2x)=4x≥0，∴|x+y|+|x|+|y|≥2|x-y|；当x≤0，y≤0时，|x+y|+|x|+|y|=-2x-2y，2|x-y|=2x-2y或2y-2x，∵(-2x-2y)-(2x-2y)=-4x≥0，(-2x-2y)-(2y-2x)=-4y≥0，∴|x+y|+|x|+|y|≥2|x-y|；综上所述：若xy≥0，则|x+y|+|x|+|y|≥2|x-y|，A符合题意；对于B，由a+bi=(1-i)(2+i)=3-i得：a=3，b=-1，∴a+b=2，B符合题意；对于C，当x<0，a<0，b<0时，若x>a+b2，此时x<ab对于D，由全称命题的否定知原命题的否定为：∃x>0，ex≤x+1，D故答案为：AB．【分析】直接利用三角不等式的应用即可判定A的正误；由a+bi=(1-i)(2+i)=3-i得：a=3，b=-1判定B的正误；利用基本不等式的应用和充分条件和必要条件的应用判定C的正误；利用特称和全称命题的应用判定D的正误.11.已知函数f(x)=sinx-cosx，g(x)是f(x)A．

函数f(x)的值域与g(x)的值域不相同B．

把函数f(x)的图象向右平移π2个单位长度，就可以得到函数g(x)的C．

函数f(x)和g(x)在区间(-π4D．

若x0为是函数f(x)的极值点，则x0是函数g(x)【答案】C,D【考点】三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】f(x)=sinx-cosx=2函数f(x)的值域与g(x)的值域均为[-2,2]函数f(x)的图象向右平移π2个单位长度，得y=2sin(x-π2-πx∈(-π4,π4)时x-π4∈(-π2,0)，f(x)x0为是函数f(x)的极值点，则g(x0)=f'(x0)=0，即故答案为：CD．【分析】求出函数f

(x)的导数g(x)

,再根据三角函数的图象与性质判断选项中的命题是否正确.12.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，A=π6，a=2，⊙O为△ABC的外接圆，OP=mOB+nA．

若m=n=1，则|OP|=2B．

若P在⊙O上，则m+n的最大值为2；C．

若P在⊙O上，则m2+D．

若m,n∈[0,1]，则点P的轨迹所对应图形的面积为23【答案】A,C,D【考点】基本不等式，轨迹方程，正弦定理【解析】【解答】∵A=π6，a=2，⊙O为△ABC∴2R=∠BOC=2∠A=对于A：若m=n=1，则OPOP2=对于BC：由OP==4若P在⊙O上，则OP=24(∴∴m+n≤233（当且仅当B不符合题意，C符合题意；对于D：若m,n∈[0,1]，则点P的轨迹：当m=0,n∈[0,1]时,OP=nOC,此时点P在线段当n=0,m∈[0,1]时,OP=mOB,此时点P在线段当m=1,n∈[0,1]时，OP=OB+nOC，构造平行四边形OBCD,此时点P在线段当n=1,m∈[0,1]时，OP=mOB+OC，构造平行四边形OBCD,此时点P在线段当m,n∈(0,1)时，OP=mOB+nOC，此时点P在菱形综上P点的轨迹为菱形OBCD组成的图形区域，则S菱形OBCDD符合题意.故答案为：ACD．【分析】由正弦定理可得2R=asinA=212=4⇒R=2对于A:若m=n=1时，则OP=OB+OC，两边平方对于B:由B知m2+n2+mn=1，对于C:对OP=mOB+nOC两边平方，可得OP→2对于D:分别分析，当m=0,n∈[0,1]时,当n=0,m∈[0,1]时，当m=1,n∈[0,1]时，当n=1,m∈[0,1]时，点P的轨迹即可判断D是否正确.三、填空题13.若关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞)，则关于x的不等式ax+bx+5>0的解集是【答案】（-5，-1）【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】∵ax-b<0的解集是(1,+∞)，∴a=b且a<0，由ax+bx+5>0得：(ax+b)(x+5)=(ax+a)(x+5)=a(x+1)(x+5)>0∴(x+1)(x+5)<0，解得：-5<x<-1，∴不等式ax+bx+5>0的解集为（-5，-1故答案为：（-5，-1）.【分析】关于

x

的不等式

ax-b<0

的解集是

(1,+∞)得a=b且a<0，由此对于x的不等式ax+bx+5>014.已知a=(1,2,3)，b=(2,3,5)，则以a,b【答案】3【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】【解答】∵cos<a,b>=a∴sin<∴以a,b为邻边的平形四边形面积故答案为：3.【分析】根据向量坐标运算可求得cos<a→,b→>，进而得到15.同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数大于2”为事件A．“两颗骰子的点数之和等于6”为事件B，则P(B|A)=【答案】78【考点】条件概率与独立事件【解析】【解答】同时抛掷两颗骰子共有6×6=36种结果；其中“红骰子向上的点数大于2”共有4×6=24种结果，∴P(A)=2436“红骰子向上的点数大于2”且“两颗骰子的点数之和等于6”有(3,3)，(4,2)，(5,1)，共3种结果，则P(AB)=∴P(B故答案为：78【分析】分别求出P(A)，P(AB)16.定义方程f(x)=f'(x)的实数根x0叫做函数f(x)（1）.设f(x)=sinx，则f(x)在(0,π)上的“G点”为

（2）.如果函数g(x)=ln(4+x)与h(x)=ex-3x-1的“G点”分别为x1,x2，那么【答案】（1）π（2）x1【考点】函数零点的判定定理【解析】【解答】（1）∵f(x)=sinx，∴f'(x)=cosx，令f(x)=f'(x)，即sinx=cosx，得tanx=1，∵x∈(0,π)，解得x=π4，所以，函数y=f(x)（2）∵g(x)=ln(x+4)，h(x)=ex-3x-1，则g'令φ(x)=ln(x+4)-1x+4，则φ'(x)=1x+4+1(x+4)2>0∵φ(-3)=-1<0，φ(-2)=ln2-12=ln2-lne>0，由零点存在性定理可得，唯一的x1∈(-3,-2)，使得g(x)=g'(x)，令故答案为：（1）π4；（2）x【分析】(1)根据题意,求出函数f(x)的导数,由“G点”的定义可得sinx=cosx,变形可得tanx=1，结合x(2)根据题意,求出h(x)与g(x)的导数，令φ(x)=ln(x+4)-1x+4,求导，由“G点”的定义可得x2的值，利用函数图象的性质，即可得x1+x四、解答题17.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①第5项的系数与第3项的系数之比为5:2；②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为36；③Cn+1已知在(x-13（1）.求展开式中二项式系数最大的项；（2）.求展开式中含1x的项【答案】（1）解：若选①，(x-13x)n则第5项的系数为Cn4，第3项的系数为Cn2，∴Cn4:Cn若选②，第2项与倒数第3项的二项式系数分别为Cn1和C∴Cn1+Cnn-2=Cn若选③，由Cn+13-Cn-15∴(x-13x当n=8时，若C8r取得最大值，则r=4，即第∴展开式中二项式系数最大的项为T5（2）解：令24-5r6=-1，解得：r=6∴展开式中含1x的项为T【考点】二项式定理，二项式系数的性质【解析】【分析】(1

)由题意利用，二项式系数的性质，求得n的值，再利用通项公式求得展开式中二项式系数最大的项；(2)由题意利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中含1x的项18.已知△ABC的面积为b212sinB（1）.求B的大小；（2）.若b=6，求三角形内切圆半径r.【答案】（1）解：∵S△ABC=由正弦定理得：12sinAsinCsinB=sin2B∴cosB=-又B∈(0,π)，∴B=π（2）解：∵S△ABC=3612sinπ3=33由余弦定理得：b2=∴a+c=215，∴a+b+c=6+215∵S△ABC=12【考点】正弦定理，余弦定理【解析】【分析】(1)由已知利用三角形的面积公式，正弦定理可求sinAsinC=公式可求cosB的值，结合B的范围可求B的值；(2)由三角形的面积公式可求ac=8

,进而根据余弦定理可求a+c的值，设三角形内切圆半径为r,则=S△ABC=119.甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是25外，其余每局比赛甲队获胜的概率是23.（1）.分别求甲队以3:0，3:1，3:2胜利的概率；（2）.若比赛结果为3:0或3:1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望.【答案】（1）解：甲队以3:0胜利的概率p1=(甲队以3:1胜利的概率p2=甲队以3:2胜利的概率p3（2）解：由题意知：X所有可能的取值为0,1,2,3，∴P(X=0)=p1+p2=P(X=2)=C4P(X=3)=(1-2∴X的分布列为：X0123P16271613584519∴数学期望E(X)=0×16【考点】互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】(1)甲队获胜有三种情形，①3:

0,②3:

1,③3:2,其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，分别求出相应的概率,最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率;(2)

X的取值可能为0,

1,

2,

3,然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率列出分布列，最后根据数学期望公式求解即可.20.如图，A、B是一矩形OEFG边界上不同的两点，且ÐAOB＝45°，OE＝1，EF＝3，设∠AOE＝α.（1）.写出△AOB的面积关于α的函数关系式f(α)；（2）.求（1）中函数f(α)的值域.【答案】（1）解：∵OE=1，EF=3．∴∠EOF=60°．当α∈[0°,15°]时，△AOB的两顶点A、B在EF上，且AE=tan∴f(α)=S=1=2当a∈(15°,45°]时，A点在EF上，B点在FG上，且OA=1cosα，∴f(α)=S综上f(α)={（2）解：由（1）得：当α∈[0°,15°]时，2α+45°∈[45°,75°]，故因此f(α)=22且当α=0°时，f(α)min=12；当α∈(15°,45°]时，-15°≤2α-45°≤45°，f(α)=62且当α=22.5°时，f(α)min=6-3；当α=45°综上所述，f(α)∈[1【考点】函数的值域，函数解析式的求解及常用方法【解析】【分析】(1)根据OE=1，

EF=3

,可得∠EOF=60°，由于A、B是一矩形OEFG边界上不同的两点，且∠AOB=45°，∠AOE＝

α,故要进行分类讨论:当α∈[0°,15°]

时，△AOB

的两顶点

A

、

B

在

EF

上；当

a∈(15°,45°]

时，

A

点在

EF

上，

B

点在

FG

上，从而可求相应的面积(2)由(1)分类求函数的值域:当

α∈[0°,15°]

时f(α)=22cos(2α+45°)+2∈[12,3-1]

21.大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：用时（秒）[5,10)[10,15)[15,20)[20,25)男性人数1522149女性人数511177附：K2=n(ad-bc)2P(K0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828（1）.将用时低于15秒的称为“熟练盲拧者”，不低于15秒的称为“非熟练盲拧者”.请根据调查数据完成以下2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为是否为“熟练盲拧者”与性别有关？熟练盲拧者非熟练盲拧者男性女性（2）.以这100名盲拧魔方爱好者的用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者的用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.那么在该兴趣小组在全市范围内再次随机抽取20名爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是多少？【答案】（1）解：由题意得列联表如下：熟练盲拧者非熟练盲拧者男性3723女性1624K2的观测值k=100×所以有95%的把握认为“熟练盲拧者”与性别有关.（2）解：根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为20100=1设随机抽取了20名爱好者中用时不超过10秒的人数为ξ，则ξ~B(20,15其中P(ξ=k)=C20k(15由{P(ξ=k)≥P(ξ=k+1)P(ξ=k)≥P(ξ=k-1)，得化简得{4(k+1)≥20-k21-k≥4k，解得16又k∈Z，所以k=4，即这20名爱好者中用时不超