第三章 函数的概念与性质章末检测答案

第三章函数的概念与性质章末检测（答案）一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、(2022·宿州月考)函数y＝eq\f(\r(1－x),2x2－3x－2)的定义域为(D)A．(－∞，1] B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))C．(－∞，2] D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))2、(2022·怀宁期中)已知函数f(2x－1)＝x2－3，则f(3)＝(A)A．1 B．2C．4 D．63、在下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(B)A．y＝eq\r(x) B．y＝eq\f(1,\r(x))C．y＝eq\f(1,x) D．y＝x2＋14、已知函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，则在(－∞，0)上此函数()A．是增函数 B．不是单调函数C．是减函数 D．不能确定解析：A因为函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，所以函数图象关于y轴对称，即eq\f(m,m－1)＝0，解得m＝0．所以f(x)＝－x2＋3为开口向下的抛物线，所以在(－∞，0)上此函数单调递增．故选A．5、(2022·浙江模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则()A．b<a＋c，c2<ab B．b<a＋c，c2>abC．b>a＋c，c2<ab D．b>a＋c，c2>ab解析：D由题图知，a>0，b>0，c<0，f(1)＝a＋b＋c＝0，f(－1)＝a－b＋c<0，所以c＝－(a＋b)，b>a＋c，所以c2－ab＝[－(a＋b)]2－ab＝a2＋b2＋ab>0，即c2>ab．故选D．6、已知函数f(x)＝x2＋(k－2)x在[1，＋∞)上是增函数，则k的取值范围为()A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，1] D．[1，＋∞)解析：B函数f(x)＝x2＋(k－2)x的对称轴为x＝－eq\f(k－2,2)，且开口向上，因为f(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以－eq\f(k－2,2)≤1，解得k≥0．故选B．7、已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(D)A．c>a>b B．c>b>aC．a>c>b D．b>a>c解析：由已知得f(x)在(1，＋∞)上单调递减，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))，∵e>eq\f(5,2)>2，∴f(e)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))<f(2)，即c<a<b.故选D．8、(2022·湖北月考)已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，若f(－2)＝1，则满足|f(2x)|≤1的x的取值范围是()A．[－1,1] B．[－2,2]C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：A根据奇函数的性质，得f(x)在R上单调递减，且f(2)＝－1．由|f(2x)|≤1，得－1≤f(2x)≤1，即f(2)≤f(2x)≤f(－2)，所以2≥2x≥－2，解得－1≤x≤1，故选A．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9、下列各组函数是同一函数的为(AC)A.f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1B.f(x)＝x－1，g(x)＝eq\f(x2－1,x＋1)C.f(x)＝eq\r(x2)，g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x＜0))D.f(x)＝eq\r(－x3)，g(x)＝xeq\r(－x)10、已知函数y＝xα(α∈R)的图象过点(3,27)，下列说法正确的是()A．函数y＝xα的图象过原点B．函数y＝xα是奇函数C．函数y＝xα是单调减函数D．函数y＝xα的值域为R解析：ABD因为函数y＝xα(α∈R)的图象过点(3,27)，所以27＝3α，即α＝3，所以f(x)＝x3，A项，因为f(0)＝0，所以函数y＝x3的图象过原点，因此本说法正确；B项，因为f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，所以函数y＝x3是奇函数，因此本说法正确；C项，因为y＝x3是实数集上的单调递增函数，所以本说法不正确；D项，因为y＝x3的值域是全体实数集，所以本说法正确．故选A、B、D．11、已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x解析：BD由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；B项，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．可知B、D正确．12、(2022·北京模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤－1，,x2＋1，－1<x<2，))关于函数f(x)的结论正确的是()A．f(x)的定义域是RB．f(x)的值域是(－∞，5)C．若f(x)＝3，则x的值为eq\r(2)D．f(x)图象与y＝2有两个交点解析：BC由函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤－1，,x2＋1，－1<x<2))知，定义域为(－∞，－1]∪(－1,2)，即(－∞，2)，A错误；x≤－1时，f(x)＝x＋2∈(－∞，1]，－1<x<2时，x2∈(0,4)，故f(x)＝x2＋1∈(1,5)，故值域为(－∞，5)，B正确；由分段函数的取值可知f(x)＝3时x∈(－1,2)，即f(x)＝x2＋1＝3，解得x＝eq\r(2)或x＝－eq\r(2)(舍去)，故C正确；由分段函数的取值可知f(x)＝2时x∈(－1,2)，即f(x)＝x2＋1＝2，解得x＝1或x＝－1(舍去)，故f(x)图象与y＝2有1个交点，故D错误．故选B、C．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13、已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,4x，x<0，))若f(a)＝2，则实数a＝___________．解析：当a≥0时，f(a)＝a＋1＝2，解得a＝1，符合条件．当a<0时，f(a)＝4a＝2，解得a＝eq\f(1,2)，不符合条件，所以实数a＝1．14、(2022·广东模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2－x－1，则当x∈(－∞，0)时，f(x)＝________．解析：函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2－x－1，则当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1，故f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＋1．答案：－x2－x＋115、若函数f(2x－1)定义域为[0,1]，则y＝f(2x＋1)的定义域为________．解析：∵y＝f(2x－1)定义域为[0,1]．∴－1≤2x－1≤1，要使y＝f(2x＋1)有意义应满足－1≤2x＋1≤1，解得－1≤x≤0，因此y＝f(2x＋1)定义域为[－1,0]．16、定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a<x0<b)，满足f(x0)＝eq\f(fb－fa,b－a)，则称函数y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是__(0,2)______．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17、已知函数f(x)的解析式为f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋5，x≤0，,x＋5，0＜x≤1，,－2x＋8，x＞1.))(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))，f(－1)的值；(2)画出这个函数的图象；(3)求f(x)的最大值.解：(1)∵eq\f(3,2)＞1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－2×eq\f(3,2)＋8＝5.∵0＜eq\f(1,π)＜1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))＝eq\f(1,π)＋5＝eq\f(5π＋1,π).∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.(2)这个函数的图象如图.在函数f(x)＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，在函数f(x)＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分，在函数f(x)＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分.图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象.(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6.18、设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x．(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，又f(x)为奇函数，所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4．(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))＝4．19、已知幂函数f(x)＝xeq\a\vs4\al(－m2＋2m＋3)(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)＝eq\r(fx)＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．解：(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，解得－1<m<3．又m∈Z，∴m＝0,1,2．当m＝0或2时，f(x)＝x3，不是偶函数；当m＝1时，f(x)＝x4，是偶函数．故函数f(x)的解析式为f(x)＝x4．(2)由(1)知f(x)＝x4，则g(x)＝x2＋2x＋c＝(x＋1)2＋c－1．由g(x)>2对任意的x∈R恒成立，得g(x)min>2(x∈R)．∵g(x)min＝g(－1)＝c－1，∴c－1>2，解得c>3．故实数c的取值范围是(3，＋∞)．20、(2022·柳州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；②当x>0时，f(x)>－1．(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4．解：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1．在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1．又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1，所以f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)＋1>0，所以f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调增函数．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5．由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4，得f(x2＋2x)＋f(1－x)＋1>5，即f(x2＋x＋1)>f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1，故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．21、“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4＜x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年.(1)当0＜x≤20时，求函数v关于x的函数解析式；(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.解(1)由题意得当0＜x≤4时，v＝2；当4＜x≤20时，设v＝ax＋b，显然v＝ax＋b在(4，20]内是减函数，由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20a＋b＝0，,4a＋b＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,8)，,b＝\f(5,2)，))所以v＝－eq\f(1,8)x＋eq\f(5,2)，故函数v＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，0＜x≤4，,－\f(1,8)x＋\f(5,2)，4＜x≤20.))(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，0＜x≤4，,－\f(1,8)x2＋\f(5,2)x，4＜x≤20，))当0＜x≤4时，f(x)为增函数，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；当4＜x≤20时，f(x)＝－eq\f(1,8)x2＋eq\f(5,2)x＝－eq\f(1,8)(x2－20x)＝－eq\f(1,8)(x－10)2＋eq\f(25,2)，f(x)max＝f(10)＝12.5.所以当x＝10时，f(x)的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.22、已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，当a，b∈[－1，1]，