高考总复习走向清北课件26数学平面向量的应用

第二十六讲平面向量的应用回归课本1.向量应用的常用结论(1)两个向量垂直的充要条件符号表示:a⊥b⇔a·b=0.坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.或x1

y

x1

2-x

2y

x2

1=0.y1

y2|a|2

x2

y

(a=(x,y)).

(2)两个向量平行的充要条件符号表示:若a∥b,b≠0,则a=λb.(x1,y1)=λ(x2,y2),即(3)夹角公式cosθ=(4)模长公式|a|=(5)数量积性质|a•b|≤|a|•|b|.坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b

,

ab|a||b

(0

|

°≤θ≤180°).

22.向量应用的分类概述(1)应用平面向量解决函数与不等式的问题,是以函数和不等

式为背景的一种向量描述,它需要掌握向量的概念及基本

运算,并能根据题设条件构造合适的向量,利用向量的“数”

､“形”两重性解决问题.

(2)平面向量与三角函数的整合,仍然是以三角题型为背景的

一种向量描述,它需要根据向量的运算性质将向量问题转

化为三角函数的相关知识来解答,三角知识是考查的主体.(3)平面向量在解析几何中的应用,是以解析几何中的坐标为

背景的一种向量描述,它主要强调向量的坐标运算,将向量

问题转化为坐标问题,进而利用直线和圆锥曲线的位置关

系的相关知识来解答,坐标的运算是考查的主体.(4)平面向量在平面几何中的应用,是以平面几何中的基本图

形(三角形､平行四边形､菱形等)为背景,重点考查平面向量

的几何运算(三角形法则､平行四边形法则)和几何图形的

基本性质.(5)平面向量在物理力学等实际问题中的应用,是以实际问题为背景,考查学科知识的综合及向量的方法.注意:(1)在解决三角形形状问题时,回答要全面､准确,处理四

边形问题时,要根据平行四边形或矩形､菱形､正方形及梯

形的性质处理.(2)用向量处理物理问题时,一般情况下应画出几何图形,结合向量运算与物理实际进行解决.考点陪练

(AB

AC),AB

AC

3AM,m

3,选B.)1.(2010

湖北)已知

ABC和点M满足MAMBMC

0.若存在实数m使得AB

AC

mAM成立,则m

(A.2

B.3C.4

D.5解析:由MAMBMC

0得点M是

ABC的重心,AM

1

3

答案:B)

32

33A.2

3B.C.D.

32.(2010

天津)如图,在

ABC中,AD

AB,BC

3BD,|

AD|1,则AC

AD

(解析:因为AC

BC

BA

3BDBA,所以AC

AD

(

3BDBA)

AD

3BD

ADBA

AD,又AD

AB,所以BA

AD

0,所以AC

AD

3BD

AD,又BD

AD

AB,所以AC

AD

3BD

AD

3(AD

AB)

AD

3AD2

AB

AD

3.答案:D3.

y

2cos

.

,

将

平移

则x

.

2

2

A

y

cos

x

.

2

2

B

y

cos

x

.

2

2

C

y

cos

x

.

2

2

D

y

cos

x

3

6

4

3

4

3

4

3

12

3

12

的图象按向量a

,2平移后所得图象的解析式为(

)2

:

y

cos

解析

函数

平x

2

2

y

cos

移后所得图象解析式为1

4

6

2

2,

A.

cos

所以选1

3

6

4

x3

x3

4

的图象按向量a

,2答案:A4.若直线2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后与圆x2+y2=5相切,则c的值为()A.8或-2C.4或-6B.6或-4D.2或-8解析:直线2x-y+c=0,按a=(1,-1)平移后得直线2(x-1)-(y+1)+c=0,即2x-y-3+c=0,由d=r,得答案:A|c3|

5

5,

得c=8或-2.5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若B､A.1005C.2010B.1010D.2015解析:由题意知A､B､C三点共线,则a2+a2009=1.=1005×1=1005.故选A.∴S2010=答案:AOB

a

2OA+a2009,且A､OC

三点共线(该直线不过点O),则S2010等于(

)2010(a1

a2010)

2类型一利用向量解决平面几何问题解题准备:一般情况下,用向量解决平面几何问题,要用不共线

的向量表示题目所涉及的所有向量,再通过向量的运算法

则和性质解决问题.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;②通过运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;③把运算结果“翻译”成几何关系.【典例1】如图,正方形OABC两边AB､BC的中点分别为D和E,求∠DOE的余弦值.[分析]把∠DOE转化为向量夹角.OC

CE

OC

CB.AB)

(OC

CB)OA

OC

(AB

OC

OA

CB)12112

2112

4AB,OEAB

CB.OD

OE

(OA[解]解法一:OD

OA

AD

OA

1

2|

|

,

|

|

,

AB

OC

AB

AB

OA

CB

OA

OA

222

|

|

,

|

|

|

|

OD

OE

AB

OD

OA

又

2

2

|

|

AD

|

|

|

|

AB

AB

|

|

,|

|

|

|2.

AB

OE

OD

ODoOE|

|

|

|

4

AB

AB55|

||

|

|

|

OD

OE

OD2

22AB

OC,OA

CB,OAOC,AB

CB,OA

OC

0,AB

CB

0.2

222

1

2

5

2

24

44|

AB|2cosDOE

.解法二:如图建立直角坐标系,设A(2,0),C(0,2),则D(2,1),E(1,2).

.

4

4(

5)2

5

ODoOE|OD||OE

|OD

OE

2112

4.|OD||OE

|

5.故cosDOE

[反思感悟]利用向量解几何题,关键是将有关线段设为向量,

不同的设法可出现不同的解法;或者建立平面直角坐标系,

用坐标法解之.利用向量解平面几何有时特别方便,但要注

意一点,不宜搞得过难,因为高考在这方面要求不高.类型二向量在解析几何的应用解题准备:向量与解析几何结合的综合题是高考命题的热点,

解题的关键是正确把握向量与坐标之间的转化和条件的运

用.常见技巧有两个:一是以向量的运算为切入口;二是结合

向量的几何意义及曲线的有关定义作转化.【典例2】在平面直角坐标系xOy中,点P到两点

的距离之和等于4,设点P的轨迹为C,直线y=kx+1与C交于

A,B两点.(1)写出C的方程;(2)若(3)若点A在第一象限,证明:当k>0时,恒有(0,

3),(0,

3)OAOB,求k的值;|OA||OB|.[分析](1)由点P满足的条件列出等式,化简可得C的方程;(2)由这是解题的突破口;OAOBOA

OB

0,(3)证明的关键是写出

|OA|2

|OB|

,

2再结合题的条件即可求证.它的短半轴故曲线C的方程为x2+[解](1)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以

(0,

3),(0,

3)为焦点,长半轴为2的椭圆.b

22

(

3)2

1,y2

41.

2

y22设Ax1

1

2

2,其坐标满足,y

,Bx

,y整理,得k

4x

2kx3

0,故x1

2

2xx1

2

2k

4

2

2

2所以k

.x3.

x

1,

4

y

kx1,2

2

2k

k

4

3

3k2

2k2k

4

k

4

k

4

1

2消去y并

,若OAOB,则x1x2

y1y2

0.

21

0,化简得4k2

1

0,3证明:|OA||OB|

(x

y

)(x

y

)k

42

2

2

2

21

1

2

22

2

22.

3x1

x2x1

x2

6k(x1

x2)

2

A在第一象限,故x1

0.

3

k

4

又k

0,故|OA|2

|OB|2

0.即在题设条件下,恒有|OA||OB|.类型三向量在物理中的应用解题准备:用向量知识研究物理问题的基本思想和方法是:(1)

认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的相互关系;(2)通

过抽象､概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题;(3)

利用向量知识解决这个向量问题,并获得这个向量的解;(4)

利用这个结果,对原物理现象作出合理解释.即用向量知识

圆满解决物理问题.【典例3】一条河的两岸平行,河宽为d

km,一艘船从A处出发航行到对岸,已知船航行的速度为|v1|

km/h,水流速度为|v2|km/h.要使船抵达B的上游C处且BC=d

km,若取|v1|=10,|v2|=4,d=2,则用时多少?[解]作出位移平行四边形AGCF,如图所示,则CF=AG=|tv2|,在Rt△ABF中,d2+(d+t|v2|)2=t2|v1|2,即(|v1|2-|v2|2)t2-2d|v2|t-2d2=0,把d=2,|v1|=10,|v2|=4代入上式,得84t2-16t-8=0,解得t≈0.418(h).类型四向量在三角形中的应用解题准备:平面向量与解三角形的综合题是高考中的一个热

点.其解题的基本思路是:(1)在这些问题中,平面向量实际上主要呈现为叙述问题的一

种语言或者工具,其考查要求并不高,解题时要综合利用平

面向量的几何意义等将题中的条件翻译成简单的数学问题

.(2)在解题时,既要考虑三角形中的边角关系性质的应用;又要

考虑向量的工具性作用,如利用向量的模与数量积转化边

长与夹角问题;还要注意三角形中边角的向量关系式的表

示形式.【典例4】已知

ABC的面积S满足

3≤S≤3,且AB

BC

6,

设AB与BC的夹角为.

1求的取值范围;2求函数f

sin2

2sincos

3cos2的最小值.

≤≤

..12

33

6cos|

AB||

BC

|

sin

3tan,AB

BC

6,|

AB|

|

BC

|

cos

6,|

AB|

|

BC

|[解]1又

S

3≤3tan≤3,即

6

4≤tan≤1,又

(0,),,

,

时,fmin

3.

3

4

42

7

3

4

12

4

2

2

,

,得2

,

4

6

4

3

2当2

[反思感悟]三角形的三边可与三个向量对应,这样就可以利用

向量的知识来解三角形了,解决此类问题要注意内角与向

量的夹角之间的联系与区别,还要注意向量的数量积与三

角形面积公式之间关系的应用.类型五向量在函数不等式中的应用解题准备:借助向量的坐标表示,将已知条件实数化并转化为

函数问题,利用函数的性质解之.向量主要是通过模与不等

式联系起来,常用的工具有均值不等式及|a·b|≤|a|·|b|.【典例5】设0<|a|≤2且函数f(x)=cos2x-|a|sinx-|b|的最大值为0,最小值为-4,且a与b的夹角为45°,求|a+b|.[分析]由于已知<a,b>=45°,故可求出|a|、|b|后再求|a+b|.时,

a

b

1

0;|a|1

2

2

4

22

2

40

a

≤2,当sinx

当sinx

1时,

a

b

4.

1由4

|b|

2.

2[反思感悟]由于已知f(x)的最值,故可结合二次函数的最值确

定|a|与|b|的大小,再结合<a,b>=45°,可求出|a+b|.本题充

分体现了函数与不等式思想在向量中的应用.错源一错误地认为|a•b|=|a||b|【典例1】已知向量a,b,试比较|a•b|与|a||b|的大小.[错解]|a•b|=|a||b|.[剖析]设向量a与b的夹角为θ.则a•b=|a||b|cosθ.(1)当a⊥b时,θ=90°,a•b=0,所以|a•b|=0,但|a||b|>0,故有|a•b|<|a||b|;(2)当a与b同向或反向时,cos0°=1,cos180°=-1,有|a•b|=|a||b|;(3)当夹角θ为锐角或钝角时,|a•b|=||a||b|cosθ|,|cosθ|<1,故有|a•b|<|a||b|.[正解]综合上述可知,|a•b|≤|a||b|.错源二“共线”运用出错【典例2】如图,半圆的直径AB=2,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径C上的动点,则最小值是________.)(PAPB

的PC12|

PO||

PC

|AB

1,[错解]

点O是AB的中点,PA

PB

2PO,

设|

PC

|

x0≤x≤1,则2PO

PC

2

11

2

2当x

0或x

1时,上式有最小值0.[剖析]本题的错误在于忽视向量的方向,导致了计算上的失误一定要看清方向..向量

PO,PC

虽然共线,但其方向相反,所以向量运算时,

[正解]

点O是AB的中点,PA

PB

2PO,

设|

PC

|

x,则|

PO|1x0≤x≤1,(PA

PB)

PC

2PO

PC

2

1

2

2

11

2

212[答案]技法一整体思想【典例1】如图所示,在Rt

ABC中,已知BC

a,若长为2a的线

段PQ以点A为中点,问PQ与BC的夹角取何值时,BP

CQ的

值最大?并求出这个最大值.[解题切入点]解答本题的关键是要结合图形,利用向量的三角

形法则找出向量之间的关系;或建立适当的坐标系,利用向

量的坐标形式来解答.[解]以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,设B(b,0),C(0,c),所以b2+c2=a2,设P点坐标为(x,y),则Q点坐标为(-x,-y),且x2+y2=a2,(

,

),

(

2a

cos

2bx

2cy

2

,

,

2

),

BC

b

c

PQ

x

y

BC

PQ