三重积分及第一类线面积分_第1页
三重积分及第一类线面积分_第2页
三重积分及第一类线面积分_第3页
三重积分及第一类线面积分_第4页
三重积分及第一类线面积分_第5页
已阅读5页,还剩49页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

dxdy

dc

Dzf

(z)dxdydz

dcf

(z)Sz

dzf

(z)dzx2

y2

z22r

z

r

cos

y

r

sin

sinoxzrM(x,y,z)M

(r,

,

)yM

'(

x,

y,0)(3)利用球坐标:dv

r

2

sindrdd

x

r

sin

cos(2)利用柱坐标:dv

rdrd

dzx

r

cos

,y

r

sin

,z

z立坐标+极坐标=柱坐标22r1

(

)z1

(

r

,

)r

(

)z

(

r

,

)f

(r

cos

,

r

sin

,

z)dzdrdr221

(

)r1

(

,

)

(

)r

(

,

)2sindf

(r

sin

cos

,

r

sin

sin

,

r

cos

)r

drd2z1

(

x

,

y

)z

(

x

,

y

)三重积分的计算公式

f

(

x,

y,

z)dv

f

(

x,

y,

z)dzdxdy

Df

(

x,

y,

z)dxdyDzdcdz直角坐标“先一后二”及柱坐标下计算三重积分要求

在坐标面上的投影区域。

f

(

x,

y,

z)dv

f

(x(u,

v,

w),

y(u,

v,

w),

z(u,

v,

w))

Jdudvdw'yywvyu

zzwzvuJ

x

x(u,v,

w),

y

y(u,v,

w),

z

z(u,v,

w)(

x,

y,

z)

(u,v,

w)

'(4)利用变量代换*

:

dv

J

dudvdw(5)三重积分的对称性102

f

(

x,

y,

z)dv则

f

(x,y,z)dv

当f

(x,y,z)

f

(x,y,z)当f

(

x,

y,

z)

f

(

x,

y,z)若

1

2且1与2关于xoy面对称,f

(x,y,z)为连续函数,1(1988,3

分)设有空间区域Ω1:x2+y2+z2≤R2,z≥0;及Ω2:x2+y2+z2≤R2,x≥0,y≥0,z≥0,则(A)12

12ydv.(C)xdv

4

xdv.(B)zdv

4zdv.(D)1

2

1

2xyzdv.ydv

4xyzdv

4

(C)2(1989,5

分))计算三重积分

(x

z)dv,其中Ω是由曲x2面z

y2

与z

1

x2

y2

所围成的区域1340200

(x

z)dv

zdvr

cos

sindr

8

dd提示:x2

y2

1z2101/

21/

2zdz8dxdy

zdv

dxdy

zdz

x2

y2

z2又考查:对称性,三重积分计算考查:对称性z21yOx提示:r2

,

y,

z

0

(x,

y,

z)

x2

y2

2z,0

z

8(x2

y2

)dxdy0003dz8

2d

2

z

r

2rdr

10240

x2

y2

2

z8又,I

dz

28420002.23rrdrr2

42

,0

r

4,

z

82

10243

r2

r dz

28

drI

d

3.(1997,5分)计算I

(x2

y2

)dV

,其中为

y2

2zz

8所围成的区域.平面曲线x

0绕z轴旋转一周形成的曲面与平面—为四分之一球1

z

1

解:

0

y

1

x2:1

x2

y2

1

x

1dr

I

60cos0

12cos

r

2

sind

4

dr用球坐标做:dv

r

2

sindrdd0

40

':

1

cos

r

2cosox(7

4

2)yz1

x21

1

x2

y212x2

y2

z10dy1dzI

dx4.5.(1991,5

分)

(x2

y2

z)dv

,其中是由曲线

y2

2z

x

0,绕z

轴旋转一周而成的曲面与平面z

4所围的

.解法1

{(

x,

y,

z)

x2

y2

2z,0

z

4}Dxy

{(

x,

y)2

24x

y22(

x2

y2

z)dz2

y242

{(

x2

y2

)(4

25r

480

02

d

(4r

2

8

y

z)dv

)

}dxdy

(

x2

y2

)2

/

42256)r

83DxyxyDdxdyx2

(

x

(立坐标+极坐标)2422228

2

5r

4

256(4r

8

)rdr

8

3200(x

y

z)dv

(r

z)dz2

8

[r

2

(4

r

)

8

r

2

4]rdrdxyrDxyDrdrdd

解法2直接用柱坐标:解法3

“先二后一”4dz

(

x2

y2

z)dxdy4200032

z

256(r

2

z)rdr

dzd0

x2

y2

2

z2

2Dz

{(

x,

y

)

x

y

2z

}6.

e

z

dv,其中:x2

y2

z2

1

11Dzzdxdye

dz

1)dxdy1

:x

y

z

1及z

02

2

2解法2:

e

z

dv

2

ez

dv

1D

D01

x

2

y

21

x

2

y

2

2

dxdy

ez

dz

2

(ee

(1

z

)dz

2z

2101解法1:

e

z

dv

2z

)dz

21e

(1

zzD

:

x2

y2

1

z2

2令

1r

2

t

4(e

1)rdr

4d2e

tdt

210100101

r

22e

1r

rdr

2

2tD

:

x2

y2

1消去z得D

:x2

y2

3,x

0,y

0

y2

z2

42

x2x

y2

(z

2)2

4从

y2

(z

2)2

4,

x

0,y

0

:

x

2

y2

z

2

4,

xydxdydz

,x

260534

r

2

)dr

rr

2

(

4

r

2

2

cos

sindr

2

cos

sindz203020302xydxdydzrdr4r

22

4rd例7解法1柱坐标解法2

“先二后一”

xydxdydz

4

z

24

z

z

2x

2

y

2

4

z

z

2x0,

y0200r

3

cos

sindr21200r

3

cos

sindr1021

xydxdyx

2

y

2

4

z

2x0,

y010dddzdzdzxydxdydz60

53例8

(x

y

z)2

dv,

:

z

x2

y2

,

x2

y2

z2

2(r

2

z2

)dzrdr

z2

)dv

(

x

y

z)2

dv

(

x2

y2

r

22r

2102

2

02(r

z

)rdrddz

d60892

)85

(22消去z求得投影区域D:x

y

1从x

y2

z2

22

y2

zx2解法1(x

y

z)2

x

2

y2

z

2

2

xy

2

yz

2zx1062

2

2

22010z32r[(r

z

2031]2r

22323r{r

(

2

r

r

)

[(2

r

)

r

]}drddrdrXY12602

89)5

(

8

y2

z2

2

(

x

y

z)2

dv,

:

z

x2

y2

,

x2r

4

sin

dr

2d

(

x

y

z)2

dv

(

x2

y2

z

2

)dv

r

2r

2

sindrdd

r

2r

2

sindrdd

d4420

d

2

sind0

cossin2

r

4dr012020

解法2D1

34r4方法4.rD2rdrdzdz

rdrdzdz

x2

y2

思考题:计算三重积分

zdv,其中:z

3z,

0

z

4

1284320d

cos

cos

2

sind

4d0

方法1:用球坐标423z00d

z

rdrzdz方法2:截面法2424

34r方法3.用柱坐标.0

d0zdz

0

d433rrrdrrdrzdz2D

:0

r

4,

0

21D

:0

r

4

3,

0

2

f

(x2于零,

f

(x2

y2

)d1

(2003,12

分)

设函数

f(x)连续且

y2

z2

)dvF

(t)

(t

)

f

(x2

y2

)dD(t

)f

(x2

)dxt1,G(t)

D

(t

),其中(t){(x,y,z)x2

y2

z2

t2},D(t)

{(x,

y)

x2

y2

t

2}.(1) F(t)在区间(0,)内的单调性.(2)

证明当t>0

时,F

(t)

2

G(t).综合题ttd02f

(r

)rdr00t2

f

(r

2

)r

2

drF

(t)

0

0

0

0

22

t

d

d

f

(r

2

)r

2

sin

dr2f

(r

)rdr02

2022[f

(r

)r(t

r)drtf

(t

)F

(t)

2ttF(t

)

0解(1)(2)G(t)

t0f

(r

)rdr

]tf

(r

2

)rdr02f

(r

)dr只需证明t>0时,F

(t)

2

G(t)

02f

(r

2

)rdr]200f

(r

2

)r

2dr0g(t

)

:f

(r

)dr

[ttt2r)

dr

002f

(r

)(t2g

(t)

f

(t

)t又g(0)=0,

故当t>0时,g(t)>0,

0

z

h0

2解:

:

0

r

tt

2dtdv

rdrddzt

0其中为0

z

h,x2

y2

t

2

(t

0),求dF

,lim

F

(t

)设f

(

x)为连续函数,F

(t

)

[z2

f

(

x2

y2

)]dv]3

F'(t

)

2ht[

f

(t

2

)

h2r]drh3t3

202[hf

(r

)r

drdF

(t

)

th20002[z

f

(r

2

)]rdz2332tlimh2h2t

0

lim

2h[

f

(t

2

)

]

2h[

f

(0)

]t

2F

(t

)

F'(t

)

limt

0t

0求lim4t0

t其中F

(t

)

4t02f

(r)

r

d

r4F

(t

)

limt

0

t利用法则与导数定义,得34

f

(t)

t

2

lim

f

(t)

f

(0)

f

(0)limt

04

tt

0t0F

(0)

0f

(

x2

y2

z

2

)

d

x

d

y

d

zx2

y2

z

2

t

2解:在球坐标系下314由f

(0)

0,得出c

.x2

y2

z2

t2x23

f

(

y2

z2

)dxdydz

t3设f

(t)在[0,)上连续且满足f

(t)

1(0

t

),证明:f

(43

4)

1

(e

1)2f

(r)r

2

sin

dr

t3

12230000f

(r)r dr

tttdd证:f

(t)

3f

'(t)

12t2

f

(t)

3t24

f

(t)

e4

t3

(c

1

e4

t3

)143

4

f

( )

1

(e

1)4解由于

eu2

du不可积,必须改变成x

z

y(1

y

z

)21

x

z00dz0(1

y)e

dydx1 1

x计算xozy111221

y

z(1

y

z

)0011

y(1

y

z

)00(1

y)e(1

y

z)e

14edydz1 1

y(1

y)dydxdz

00

x

1

y

z原式

0

y

1:

0

z

1

y三重积分交换积分次序与极坐标交换积分次序方法三重积分交换积分次序改变积分次序为先对x,再对y,最后对z11则I

将三次积分I

dy

f

(

x,

y,

z)dzdxy0

x

x

zdzz

01

1dy

f

(

x,

y,

z)dx0解

I

yxDf

(

x,

y,

z)dzdxdyxy

x

y

1Dxy

:

0

x

1oxy11yxyf

(

x,

y,

z)dzdxdy010

I

yxyyxf

(

x,

y,

z)dzdxdyf

(

x,

y,

z)dzdxdyDxy010D(

y

)10f

(

x,

y,

z)dxdzdyzyf

(

x,

y,

z)dxdzdy0010oxzyy

x

z

yD(y):0

x

y(y视为常数

I

zyD(

y

)xyxf

(

x,

y,

z)dxdzdyf

(

x,

y,

z)dxdzdyf

(

x,

y,

z)dzdxdyDxy00101001

y

y0

dy

dx

f

(

x,

y,

z)dz

zf

(

x,

y,

z)dxdydz0zzf

(

x,

y,

z)dxdydzDyz10100

z

y0

y

1yzD

:oyz11解:

2

cD21

x2

y

d

x

d

ya2

b2由对称性2

1

,a

bx2

y2取D:2变量代换例.

试计算椭球体令x

ar

cos

,y

br

sin

,则D

的原象为D

:

r

1

,0

2(

r,

)b

sin

a

r

sinbr

cosJ

(x,

y)

a

cosd

1020

2

abc31

r

2

r

d

r

4

abc

abr

V

2

cD

1

r

2

abr

d

r

d的体积V.

1b2

c2ax2

y2

z2x2

y2

z2

)dv

其中:b2

c2

2求(a2解法1

yyyzzzJ

rrr

abcr2

sinc

cos

b

sin

sin

ar

sin

sin

br

sin

cos

0a

sin

cosar

cos

cosbr

cos

sin

cr

sin

(

a2

r

2

abcr

2

sindrddr

1x2

y2

z2)dvb2

c2abcd

dr

2

00104d

abcr

sin54abcx2aa

x2

x2x2

bc(1

)dxa2a403a2

5a4

15x3

x5

2bc[

]a

2

20

a2

bc(1

a2

)dxax

2y2

z

2 x

2Dx

:

b2

c2

1

a

2

,Sx

bc(1

a

2

)aaDxdydzdxa

ax222x2(

)dv

解法2:4y2

z2同理,(b2

)dv

(c2

)dv

15abc

4x2

y2

z2

)dv

abcb2

c2

5(

a2

z2

1将分成二部分:

1

2用球:x2

y2

y2

z2

1

y2

z2

1x2x221

y2

z2

1x2

y2

z

2x21

x2

y2

z

x2

y2

,z

1所围x2

y2

z2

dv,

:由z

1

去绝对值6

( 2

1)2(r

1)r

sind0100102024

1

cos

1

24(1

r

)r

sindr

ddd

d

y2

z

2

1]dvx

2

[1

y2

z

2

]dv

[12x

2

y2

z

2

dv

x

2第一类曲线积分的计算-转化为定积分计算~~~~~~~~~~~~~~~~~设

f

(

x,

y)在曲线弧

L上有定义且连续

,

则L

f

(

x,

y)ds

222f

(

x(

y),

y) 1

x

'2

(

y)dy,f

(r

cos

,

r

sin

)

r

2

r

'2

d

,

L

:

r

r(

)L

:

x

(t

)'

(t

)dt,f

(

(t

),

(t

))

'

(t

)

y

(t

)f

(

x,

y(

x)) 1

y

'

(

x)dx,L

:

y

y(

x)L

:

x

x(

y)badc

下限<上限(

)

f

(

x,

y,

z)ds2

2

2

f

[

(t

),

(t

),

(t

)]

(t

)

(t

)

(t

)dt1.

:

x

(t

),

y

(t

),

z

(t

). (

t

)2.

F(x,

y,

z)

0G(x,

y,

z)

0参数化、对称性空间第一类曲线积分的计算例1.填空题2.(1989,3

分)设平面曲线

L

为下半圆周y

1

x2则曲线积分2L(x

y2

)ds=

.4y2则L

(2

xy

y

4

x

y

)ds

3

2

23.(1998,3分)设L

:

x2

1,其周长为a,4ads

y2L

x21.设L

:

y

1

x2

,则

1注:曲线方程L(Γ)可代入被积函数简化,这一点与重积分是完全不同的。

x

y

y2

z2

a2

,2.设L

:

x2L22

y2

z

ds

则22z

ds

x2

y2

LLads

2a0

t

22222

2

x

2

x

a

cost

z

a

sint

y

a

cost

x

y

y2

z

ax

y2

y

z

2

a

2法2.

化参数方程,用定积分做2y2

z2

R2

,x

ds,求I

x

y

z

0.其中为圆周解法1由轮换对称性,

知222z ds.y

ds

x

ds

故I

132(

x

y2

z2

)ds23Rds

32

R.3(2

R

ds,球面大圆周长)解法2将y

(x

z)代入x2

y2

z2

a2得0233a2

cos

2

tadtL2

2

2

a3x ds

22

2

x

y

z

0

3

x

2(z

)

a2L

:

2

xds

x'2

y'2

z'2

dt

adt222z

x

a

sin

t

z

a

(sin

t

1

cos

t

),3cos

t

)3x

2a

cos

t,31(sin

t

2y

(

x

z)

a3

x2

2(z

x

)2

a2

,则2

2x2

(x

z)2

z2

a2

化为参数方程y2

z2

R2

,

z

3

R.求I

(

x2

2

y2

)ds,其中为圆周解

由轮换对称性,

知2

22

y

ds

z ds.22故I

22x

ds

(

x

y2

z

)ds

Rds圆周长:

ds

2

r

R圆周半径:r

R2

d

22

R3

a2原点到平面2

z

3

R

的距离d

I

R3y2

z2

R2

,求I

(2

xy

2

yz

2zx)ds,2

z

3

R.其中为圆周2xy

2

yz

2zx

(

x

y

z)2

x2

y2

z2提示L

:x2

y2

a2

,y

x及x轴在L

ex

2

y2

ds第一象限内所围成的扇形的整个边界。解:L1

:y

0(0

x

a),y'

0,ds

dxOx3L

:

x2

y2

a2L1:

y=0y242

),

y'

1,

ds

2dxds

adtL

:

x

a

cost,

y

a

sint(0

t

)ax2dxa2

e4

2(ea

1)

a

ea22

x0

0

0e dx

4

eaadt

31

2LLLLL3

:

y

x(0

x

ax2

y2

ds

eeex2

y2

ds

x2

y2

ds

x2

y2

ds

e第一类曲面积分的计算(1)

:

z

z(

x,

y),(

x,

y)

Dxy

Dxyyx

z2

dxdyf

(

x,

y,

z)dS

f

[

x,

y,

z(

x,

y)]

1

z2f

[

x,

y(

x,

z),

z] 1

y

2

y2

dxdz;x

z

Dzx(3)

x

x(

y,

z),

(

y,

z)

Dyz

f

(

x,

y,

z)dS

f

[

x(

y,

z),

y,

z] 1

x

2

x2

dydz.y

zDyz

f

(

x,

y,

z)dS

(2)

:

y

y(z,

x),(z,

x)

Dzx(

x2

y2

2

y

5)dS

:

(

y

1)2

1(0

z

3)x2例为球面x2

y2

z2

a2

,则

xdS

0 注:曲面方程S可代入被积函数简化,这一点与重积分是完全不同的。30(C)例1

选择题(2002,3分)(2002,3

分)设S:x2+y2+z2=a2

(z≥0),S1

为S

在第一卦限中的部分,则有(A)

xdS

4

xdS.(B)

ydS

4

xdS.S

S1

S

S1(C)

zdS

4

xdS.(D)

xyzdS

4

xyzdS.S

S1

S

S1对称性与轮换对称性例2.填空题(2007,4

分)设曲面

:

x

y

z

1,则

(x

|

y

|)dS

=

.解

xdS

03

1

(|

x

|

|

y

|

|

z

|)dS

(x

|

y

|)dS

|

y

|dS

|

x

|dS

|

z

|dS===332

43.33dS

1

8

1

例2.填空题(2007,4

分)设曲面

:

x

y

z

1,则

(x

|

y

|)dS

=

.1(x

|

y

|)dS

8

ydS

∑1为∑在第一卦限中的部分dS

1

zx

z dxdy

3dxdy2

2y1001

y438

y

3dxdy

8

3D3ydydx

解oP(2,0,0)Q(0,3,0)yR(0,0,4)3

2

3

4I

(2x

4

y

z)dS,

:

x

y

z

1在第z一卦限部分2

3

4

4

(

x

y

z

)dS

4

dS

4S4I

(2x

3

y

z)dS

解Dx{6,4,3

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论