版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领
文档简介
dxdy
dc
Dzf
(z)dxdydz
dcf
(z)Sz
dzf
(z)dzx2
y2
z22r
z
r
cos
y
r
sin
sinoxzrM(x,y,z)M
(r,
,
)yM
'(
x,
y,0)(3)利用球坐标:dv
r
2
sindrdd
x
r
sin
cos(2)利用柱坐标:dv
rdrd
dzx
r
cos
,y
r
sin
,z
z立坐标+极坐标=柱坐标22r1
(
)z1
(
r
,
)r
(
)z
(
r
,
)f
(r
cos
,
r
sin
,
z)dzdrdr221
(
)r1
(
,
)
(
)r
(
,
)2sindf
(r
sin
cos
,
r
sin
sin
,
r
cos
)r
drd2z1
(
x
,
y
)z
(
x
,
y
)三重积分的计算公式
f
(
x,
y,
z)dv
f
(
x,
y,
z)dzdxdy
Df
(
x,
y,
z)dxdyDzdcdz直角坐标“先一后二”及柱坐标下计算三重积分要求
在坐标面上的投影区域。
f
(
x,
y,
z)dv
f
(x(u,
v,
w),
y(u,
v,
w),
z(u,
v,
w))
Jdudvdw'yywvyu
zzwzvuJ
x
x(u,v,
w),
y
y(u,v,
w),
z
z(u,v,
w)(
x,
y,
z)
(u,v,
w)
'(4)利用变量代换*
:
dv
J
dudvdw(5)三重积分的对称性102
f
(
x,
y,
z)dv则
f
(x,y,z)dv
当f
(x,y,z)
f
(x,y,z)当f
(
x,
y,
z)
f
(
x,
y,z)若
1
2且1与2关于xoy面对称，f
(x,y,z)为连续函数，1（1988，3
分）设有空间区域Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0；及Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0,y≥0,z≥0，则（A）12
12ydv.（C）xdv
4
xdv.（B）zdv
4zdv.（D）1
2
1
2xyzdv.ydv
4xyzdv
4
（C）2（1989，5
分））计算三重积分
(x
z)dv，其中Ω是由曲x2面z
y2
与z
1
x2
y2
所围成的区域1340200
(x
z)dv
zdvr
cos
sindr
8
dd提示：x2
y2
1z2101/
21/
2zdz8dxdy
zdv
dxdy
zdz
x2
y2
z2又考查：对称性，三重积分计算考查：对称性z21yOx提示：r2
,
y,
z
0
(x,
y,
z)
x2
y2
2z,0
z
8(x2
y2
)dxdy0003dz8
2d
2
z
r
2rdr
10240
x2
y2
2
z8又，I
dz
28420002.23rrdrr2
42
,0
r
4,
z
82
10243
r2
r dz
28
drI
d
3.（1997，5分）计算I
(x2
y2
)dV
,其中为
y2
2zz
8所围成的区域.平面曲线x
0绕z轴旋转一周形成的曲面与平面—为四分之一球1
z
1
解：
0
y
1
x2：1
x2
y2
1
x
1dr
I
60cos0
12cos
r
2
sind
4
dr用球坐标做：dv
r
2
sindrdd0
40
':
1
cos
r
2cosox(7
4
2)yz1
x21
1
x2
y212x2
y2
z10dy1dzI
dx4.5.（1991，5
分）
(x2
y2
z)dv
，其中是由曲线
y2
2z
x
0，绕z
轴旋转一周而成的曲面与平面z
4所围的
.解法1
{(
x,
y,
z)
x2
y2
2z,0
z
4}Dxy
{(
x,
y)2
24x
y22(
x2
y2
z)dz2
y242
{(
x2
y2
)(4
25r
480
02
d
(4r
2
8
y
z)dv
)
}dxdy
(
x2
y2
)2
/
42256)r
83DxyxyDdxdyx2
(
x
（立坐标+极坐标）2422228
2
5r
4
256(4r
8
)rdr
8
3200(x
y
z)dv
(r
z)dz2
8
[r
2
(4
r
)
8
r
2
4]rdrdxyrDxyDrdrdd
解法2直接用柱坐标：解法3
“先二后一”4dz
(
x2
y2
z)dxdy4200032
z
256(r
2
z)rdr
dzd0
x2
y2
2
z2
2Dz
{(
x,
y
)
x
y
2z
}6.
求
e
z
dv,其中：x2
y2
z2
1
11Dzzdxdye
dz
1)dxdy1
:x
y
z
1及z
02
2
2解法2：
e
z
dv
2
ez
dv
1D
D01
x
2
y
21
x
2
y
2
2
dxdy
ez
dz
2
(ee
(1
z
)dz
2z
2101解法1：
e
z
dv
2z
)dz
21e
(1
zzD
:
x2
y2
1
z2
2令
1r
2
t
4(e
1)rdr
4d2e
tdt
210100101
r
22e
1r
rdr
2
2tD
:
x2
y2
1消去z得D
:x2
y2
3,x
0,y
0
y2
z2
42
x2x
y2
（z
2)2
4从
y2
（z
2)2
4,
x
0,y
0
:
x
2
y2
z
2
4,
xydxdydz
,x
260534
r
2
)dr
rr
2
(
4
r
2
2
cos
sindr
2
cos
sindz203020302xydxdydzrdr4r
22
4rd例7解法１柱坐标解法2
“先二后一”
xydxdydz
4
z
24
z
z
2x
2
y
2
4
z
z
2x0,
y0200r
3
cos
sindr21200r
3
cos
sindr1021
xydxdyx
2
y
2
4
z
2x0,
y010dddzdzdzxydxdydz60
53例8
(x
y
z)2
dv,
:
z
x2
y2
,
x2
y2
z2
2(r
2
z2
)dzrdr
z2
)dv
(
x
y
z)2
dv
(
x2
y2
r
22r
2102
2
02(r
z
)rdrddz
d60892
)85
(22消去z求得投影区域D：x
y
1从x
y2
z2
22
y2
zx2解法１(x
y
z)2
x
2
y2
z
2
2
xy
2
yz
2zx1062
2
2
22010z32r[(r
z
2031]2r
22323r{r
(
2
r
r
)
[(2
r
)
r
]}drddrdrXY12602
89)5
(
8
y2
z2
2
(
x
y
z)2
dv,
:
z
x2
y2
,
x2r
4
sin
dr
2d
(
x
y
z)2
dv
(
x2
y2
z
2
)dv
r
2r
2
sindrdd
r
2r
2
sindrdd
d4420
d
2
sind0
cossin2
r
4dr012020
解法２D1
34r4方法4.rD2rdrdzdz
rdrdzdz
x2
y2
思考题:计算三重积分
zdv,其中:z
3z,
0
z
4
1284320d
cos
cos
2
sind
4d0
方法1:用球坐标423z00d
z
rdrzdz方法2:截面法2424
34r方法3.用柱坐标.0
d0zdz
0
d433rrrdrrdrzdz2D
：0
r
4,
0
21D
：0
r
4
3,
0
2
f
(x2于零，
f
(x2
y2
)d1
(2003，12
分)
设函数
f(x)连续且
y2
z2
)dvF
(t)
(t
)
f
(x2
y2
)dD(t
)f
(x2
)dxt1，G(t)
D
(t
)，其中(t){(x,y,z)x2
y2
z2
t2},D(t)
{(x,
y)
x2
y2
t
2}.(1) F(t)在区间(0,)内的单调性.(2)
证明当t>0
时，F
(t)
2
G(t).综合题ttd02f
(r
)rdr00t2
f
(r
2
)r
2
drF
(t)
0
0
0
0
22
t
d
d
f
(r
2
)r
2
sin
dr2f
(r
)rdr02
2022[f
(r
)r(t
r)drtf
(t
)F
(t)
2ttF(t
)
0解（1）（2）G(t)
t0f
(r
)rdr
]tf
(r
2
)rdr02f
(r
)dr只需证明t>0时，F
(t)
2
G(t)
02f
(r
2
)rdr]200f
(r
2
)r
2dr0g(t
)
:f
(r
)dr
[ttt2r)
dr
002f
(r
)(t2g
(t)
f
(t
)t又g(0)=0,
故当t>0时，g(t)>0,
0
z
h0
2解：
:
0
r
tt
2dtdv
rdrddzt
0其中为０
z
h,x2
y2
t
2
(t
0),求dF
，lim
F
(t
)设f
(
x)为连续函数，F
(t
)
[z2
f
(
x2
y2
)]dv]3
F'(t
)
2ht[
f
(t
2
)
h2r]drh3t3
202[hf
(r
)r
drdF
(t
)
th20002[z
f
(r
2
)]rdz2332tlimh2h2t
0
lim
2h[
f
(t
2
)
]
2h[
f
(0)
]t
2F
(t
)
F'(t
)
limt
0t
0求lim4t0
t其中F
(t
)
4t02f
(r)
r
d
r4F
(t
)
limt
0
t利用法则与导数定义,得34
f
(t)
t
2
lim
f
(t)
f
(0)
f
(0)limt
04
tt
0t0F
(0)
0f
(
x2
y2
z
2
)
d
x
d
y
d
zx2
y2
z
2
t
2解:在球坐标系下314由f
(0)
0,得出c
.x2
y2
z2
t2x23
f
(
y2
z2
)dxdydz
t3设f
(t)在[0,)上连续且满足f
(t)
1(0
t
)，证明：f
(43
4)
1
(e
1)2f
(r)r
2
sin
dr
t3
12230000f
(r)r dr
tttdd证：f
(t)
3f
'(t)
12t2
f
(t)
3t24
f
(t)
e4
t3
(c
1
e4
t3
)143
4
f
( )
1
(e
1)4解由于
eu2
du不可积,必须改变成x
z
y(1
y
z
)21
x
z00dz0(1
y)e
dydx1 1
x计算xozy111221
y
z(1
y
z
)0011
y(1
y
z
)00(1
y)e(1
y
z)e
14edydz1 1
y(1
y)dydxdz
00
x
1
y
z原式
0
y
1:
0
z
1
y三重积分交换积分次序与极坐标交换积分次序方法三重积分交换积分次序改变积分次序为先对x,再对y,最后对z11则I
将三次积分I
dy
f
(
x,
y,
z)dzdxy0
x
x
zdzz
01
1dy
f
(
x,
y,
z)dx0解
I
yxDf
(
x,
y,
z)dzdxdyxy
x
y
1Dxy
:
0
x
1oxy11yxyf
(
x,
y,
z)dzdxdy010
I
yxyyxf
(
x,
y,
z)dzdxdyf
(
x,
y,
z)dzdxdyDxy010D(
y
)10f
(
x,
y,
z)dxdzdyzyf
(
x,
y,
z)dxdzdy0010oxzyy
x
z
yD(y):0
x
y(y视为常数
I
zyD(
y
)xyxf
(
x,
y,
z)dxdzdyf
(
x,
y,
z)dxdzdyf
(
x,
y,
z)dzdxdyDxy00101001
y
y0
dy
dx
f
(
x,
y,
z)dz
zf
(
x,
y,
z)dxdydz0zzf
(
x,
y,
z)dxdydzDyz10100
z
y0
y
1yzD
:oyz11解:
2
cD21
x2
y
d
x
d
ya2
b2由对称性2
1
,a
bx2
y2取D：2变量代换例.
试计算椭球体令x
ar
cos
,y
br
sin
,则D
的原象为D
:
r
1
，0
2(
r,
)b
sin
a
r
sinbr
cosJ
(x,
y)
a
cosd
1020
2
abc31
r
2
r
d
r
4
abc
abr
V
2
cD
1
r
2
abr
d
r
d的体积V.
1b2
c2ax2
y2
z2x2
y2
z2
)dv
其中：b2
c2
2求(a2解法１
yyyzzzJ
rrr
abcr2
sinc
cos
b
sin
sin
ar
sin
sin
br
sin
cos
0a
sin
cosar
cos
cosbr
cos
sin
cr
sin
(
a2
r
2
abcr
2
sindrddr
1x2
y2
z2)dvb2
c2abcd
dr
2
00104d
abcr
sin54abcx2aa
x2
x2x2
bc(1
)dxa2a403a2
5a4
15x3
x5
2bc[
]a
2
20
a2
bc(1
a2
)dxax
2y2
z
2 x
2Dx
:
b2
c2
1
a
2
,Sx
bc(1
a
2
)aaDxdydzdxa
ax222x2(
)dv
解法2:4y2
z2同理，(b2
)dv
(c2
)dv
15abc
4x2
y2
z2
)dv
abcb2
c2
5(
a2
z2
1将分成二部分：
1
2用球：x2
y2
y2
z2
1
y2
z2
1x2x221
y2
z2
1x2
y2
z
2x21
x2
y2
z
x2
y2
,z
1所围x2
y2
z2
dv,
:由z
1
去绝对值6
( 2
1)2(r
1)r
sind0100102024
1
cos
1
24(1
r
)r
sindr
ddd
d
y2
z
2
1]dvx
2
[1
y2
z
2
]dv
[12x
2
y2
z
2
dv
x
2第一类曲线积分的计算－转化为定积分计算~~~~~~~~~~~~~~~~~设
f
(
x,
y)在曲线弧
L上有定义且连续
,
则L
f
(
x,
y)ds
222f
(
x(
y),
y) 1
x
'2
(
y)dy,f
(r
cos
,
r
sin
)
r
2
r
'2
d
,
L
:
r
r(
)L
:
x
(t
)'
(t
)dt,f
(
(t
),
(t
))
'
(t
)
y
(t
)f
(
x,
y(
x)) 1
y
'
(
x)dx,L
:
y
y(
x)L
:
x
x(
y)badc
下限<上限(
)
f
(
x,
y,
z)ds2
2
2
f
[
(t
),
(t
),
(t
)]
(t
)
(t
)
(t
)dt1.
:
x
(t
),
y
(t
),
z
(t
). (
t
)2.
F(x,
y,
z)
0G(x,
y,
z)
0参数化、对称性空间第一类曲线积分的计算例1.填空题2．（1989，3
分）设平面曲线
L
为下半圆周y
1
x2则曲线积分2L(x
y2
)ds=
.4y2则L
(2
xy
y
4
x
y
)ds
3
2
23.(1998,3分）设L
:
x2
1,其周长为a,4ads
y2L
x21.设L
:
y
1
x2
,则
1注：曲线方程L(Γ)可代入被积函数简化,这一点与重积分是完全不同的。
x
y
y2
z2
a2
,2.设L
:
x2L22
y2
z
ds
则22z
ds
x2
y2
LLads
2a0
t
22222
2
x
2
x
a
cost
z
a
sint
y
a
cost
x
y
y2
z
ax
y2
y
z
2
a
2法2.
化参数方程，用定积分做2y2
z2
R2
,x
ds,求I
x
y
z
0.其中为圆周解法1由轮换对称性,
知222z ds.y
ds
x
ds
故I
132(
x
y2
z2
)ds23Rds
32
R.3(2
R
ds,球面大圆周长)解法2将y
(x
z)代入x2
y2
z2
a2得0233a2
cos
2
tadtL2
2
2
a3x ds
22
2
x
y
z
0
3
x
2(z
)
a2L
:
2
xds
x'2
y'2
z'2
dt
adt222z
x
a
sin
t
z
a
(sin
t
1
cos
t
),3cos
t
)3x
2a
cos
t,31(sin
t
2y
(
x
z)
a3
x2
2(z
x
)2
a2
,则2
2x2
（x
z）2
z2
a2
化为参数方程y2
z2
R2
,
z
3
R.求I
(
x2
2
y2
)ds,其中为圆周解
由轮换对称性,
知2
22
y
ds
z ds.22故I
22x
ds
(
x
y2
z
)ds
Rds圆周长：
ds
2
r
R圆周半径：r
R2
d
22
R3
a2原点到平面2
z
3
R
的距离d
I
R3y2
z2
R2
,求I
(2
xy
2
yz
2zx)ds,2
z
3
R.其中为圆周2xy
2
yz
2zx
(
x
y
z)2
x2
y2
z2提示L
:x2
y2
a2
,y
x及x轴在L
ex
2
y2
ds第一象限内所围成的扇形的整个边界。解：L1
:y
0(0
x
a),y'
0,ds
dxOx3L
:
x2
y2
a2L1:
y=0y242
),
y'
1,
ds
2dxds
adtL
:
x
a
cost,
y
a
sint(0
t
)ax2dxa2
e4
2(ea
1)
a
ea22
x0
0
0e dx
4
eaadt
31
2LLLLL3
:
y
x(0
x
ax2
y2
ds
eeex2
y2
ds
x2
y2
ds
x2
y2
ds
e第一类曲面积分的计算(1)
:
z
z(
x,
y),(
x,
y)
Dxy
Dxyyx
z2
dxdyf
(
x,
y,
z)dS
f
[
x,
y,
z(
x,
y)]
1
z2f
[
x,
y(
x,
z),
z] 1
y
2
y2
dxdz;x
z
Dzx(3)
：
x
x(
y,
z),
(
y,
z)
Dyz
f
(
x,
y,
z)dS
f
[
x(
y,
z),
y,
z] 1
x
2
x2
dydz.y
zDyz
f
(
x,
y,
z)dS
(2)
:
y
y(z,
x),(z,
x)
Dzx(
x2
y2
2
y
5)dS
:
(
y
1)2
1(0
z
3)x2例为球面x2
y2
z2
a2
,则
xdS
0 注：曲面方程S可代入被积函数简化,这一点与重积分是完全不同的。30（C）例1
选择题（2002，3分）（2002，3
分）设S:x2+y2+z2=a2
(z≥0),S1
为S
在第一卦限中的部分，则有（A）
xdS
4
xdS.（B）
ydS
4
xdS.S
S1
S
S1（C）
zdS
4
xdS.（D）
xyzdS
4
xyzdS.S
S1
S
S1对称性与轮换对称性例2.填空题（2007，4
分）设曲面
:
x
y
z
1，则
(x
|
y
|)dS
=
.解
xdS
03
1
(|
x
|
|
y
|
|
z
|)dS
(x
|
y
|)dS
|
y
|dS
|
x
|dS
|
z
|dS===332
43.33dS
1
8
1
例2.填空题（2007，4
分）设曲面
:
x
y
z
1，则
(x
|
y
|)dS
=
.1(x
|
y
|)dS
8
ydS
∑1为∑在第一卦限中的部分dS
1
zx
z dxdy
3dxdy2
2y1001
y438
y
3dxdy
8
3D3ydydx
解oP(2,0,0)Q(0,3,0)yR(0,0,4)3
2
3
4I
(2x
4
y
z)dS,
:
x
y
z
1在第z一卦限部分2
3
4
4
(
x
y
z
)dS
4
dS
4S4I
(2x
3
y
z)dS
解Dx{6,4,3
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
评论
0/150
提交评论