电分重修-p主讲教师

主讲教师:杨忠孝工作单位：自动化教研室：C2218、C2219：61830588电子邮件：课件

：d,

20131011电路分析(Electric

Circuit

ysis)University

of

Electronic

Science

and

Technology

of

China第八章

一阶电路重点一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应求解；稳态分量、暂态分量求解；一阶电路的三要素分析法一阶电路的阶跃函数和阶跃响应一阶电路的冲击函数和冲激响应。8.1

一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。1.RC电路的零输入响应已知

uC

(0－)=U01RCp

特征根特征方程RCp

+1

=0

1

tRC

Aept则

uC

Ae

uR

uC

0零输入响应iK(t=0)–+uRC+–uCRdti

C

duCuR=

Ri0dtCCRC

duC

u

0u

(0

)

U代入初始值

uC

(0+)

=

uC(0－)=U0A=U0t

0R

Ru

Ui

t

RC

t

e

RC

I0e

C

0RC

t

uc

U0e t

0RC1

tuc

Ae

t

RU)

0

e

RC

t

1RCdtdu或i

C

C

CU0e

RC

(tU00I0tuC

i0（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；从以上各式可以得出：连续函数跃变（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关；令

=RC

,

称

为一阶电路的时间常数

RC

欧法

欧库

欧安秒

秒伏

伏

=

R

C

大→过渡过程时间长

小→过渡过程时间短电压初值一定：R

大（

C一定）i=u/R放电电流小U0t时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短uc0

小

大C

大（R一定）

W=Cu2/2

储能大放电时间长

11RC

p

物理含义：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。＝

t2－t1工程上认为,经过3－5,过渡过程结束。t1时刻曲线的斜率等于1

21du

UC

1t1t1

Cdtt

tu

(t

)

0

u

(t

)

C

1

t

0

e

I0tuc0

t1

t2U0

0.368U0

0.135U0

0.05U0

0.008U0t0

235

tuc

U0eU0U0

e

-1U0

e

-2U0

e

-3U0

e

-5uC

(t2

)

0.368uC

(t1

)次切距的长度（3）能量关系R0W

i

2

Rdt电容不断

能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.设uC(0+)=U0电容放出能量：2012CU电阻吸收（消耗）能量：U20

0Re

RC

)

Rdt

t

(2012CUuCR+–C0U

20R

2

tRC00RC

2tRCe dt

(

e

)

|R

2U

2例解这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：i3K3uC265F

+–i2已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求K闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。i1+uC45F–i1t

>0等效电路RC

t

uc

U0e t

0代入

U0

24V

RC

54

20

s

t20Vuc

24e t

0分流得：

t20

Ai1

uC

4

6

e23i2

13

ti1

2e

20

A

ti1

4e

20

A i3

2.RL电路的零输入响应特征方程Lp+R=0Rp

L特征根代入初始值

i(0+)=

I0A=i(0+)=

I00US

IR1

Ri

(0

)

i

(0

)

L LdtL

di

Ri

0

t

0i(t)

Ae

ptt

0

RtL得

i(t)

I

e

pt

I

e0

0t

>0i+–L

uLRK(t=0)US+–L

uLR

iR1dtdiL

/

R

t

uL

(t

)

L

L

RI

0e

tiL

(t)

I0e

L

/

R

t

0-RI0uLttI0iL0从以上式子可以得出：连续函数跃变（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；令

=

L/R

,

称为一阶RL电路时间常数L大

W=Li2/2

起始能量大R小

P=Ri2

放电过程消耗能量小放电慢大韦

]

[伏

秒]

[秒]安欧

安欧[

]

[L

]

[亨]

[R

欧

大→过渡过程时间长

小→过渡过程时间短物理含义时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短

=

L/R=GLL

/

R

p

1

1电流初值i(0)一定：（3）能量关系RW

0i

2

Rdt电感不断

能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.设iL(0+)=I02012LI电感放出能量：电阻吸收（消耗）能量：200(I

e

L

/

R

)

Rdt

t

212LI0e020

2tL/

R

dt

I

R002RC

2

te

)|L

/

RI

2

R(i+–L

uLRiL

(0+)

=

iL(0－)

=

1

AuV

(0+)=－10000V,造成V损坏。例1现象：电压表坏了，击穿空气产生电弧t

0iL

e

t

/t=0时,打开开关K，求uv。电压表量程：50V

4

104

sL

4R

RV

10000

u

R

i

10000e2500

t

t

0V

V

L解iLK(t=0)+–R=10L=4HuV

VRV10k10VRV

10kiLLR10V例2t=0时,开关K由1→2，求电感电压和电流及开关两端电压u12。dt

12et

V

t

0

L

diLLi

2e

t

A

uLLR

6

6

1s

解iLK(t=0)24V6H346–– 4

u+L2+

1224

2

A64

2

3

//

6

3

6L

Li

(0

)

i

(0

)t

>0R

3

(2

4)

//

6

62u

24

4

iL

24

4etV12i+–L

uLR小结1.

一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。衰减快慢取决于时间常数RC电路

=

RC

,

RL电路

=

L/R,

R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。

ty(t)

y(0

)e

uC(0+)=

uC

(0－)iL(0+)=

iL(0－)RC电路RL电路动态元件初始能量为零，由t>0电路中外加输入激励作用所产生的响应。

uC

USdtRC

duC列方程：iK(t=0)US+

u

–RC–+uCR8.2

一阶电路的零状态响应非

线性常微分方程uC

(0－)=0解答形式为：cu

u'

u"c

c1.RC电路的零状态响应零状态响应方程通解非齐次方解与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解RC

t

uC

Ae变化规律由电路参数和结构决定全解由初始条件

uC

(0+)=0

定积分常数

AuC

(0+)=A+US

=

0

A=

－

US的通解C

u

0dtRC

duCuC

UStRC

C

()

UuSCuCtuAe通解（

分量，暂态分量）uC特解（强制分量，稳态分量）uC

uC

USdtRC

duC的特解(t

0)t

RC

)

tuc

US

USe

RC

US

(1

eRC

t

S

edt

Rdu

Ui

C

CuC’’UStiRUS0tuC’uc0-US（1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：从以上式子可以得出：连续函数跃变稳态分量（强制分量）暫态分量（分量）+（2）响应变化的快慢，由时间常数＝RC决定；大，充电慢，小充电就快。（3）响应与外加激励成线性关系；（4）能量关系122SCU电容：电源提供能量：2SUS

idt

USq

CU0212CUS电阻消耗RU(

S

eRC

)2

R

d

t

0

0

ti

2

R

d

t

RC-+US电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量

在电容中。例t=0时,开关K闭合，已知uC（0－）=0，求（1）电容电压和电流，（2）uC＝80V时的充电时间t。解50010F-+100VK–uCi+(1)这是一个RC电路零状态响应问题，有：u

U

(1

e RC

)

100(1-

e-200t)V

(t

0)Stc

RC

500

105

5

103

sRCdt

Rdu

U200

t

A

t

0.2e

S

ei

C

C（2）设经过t1秒，uC＝80V1-200t180

100(1-

e

)

t

8.045ms2.

RL电路的零状态响应SLd

td

iL

L

Ri

U)LRUS

R

tiL

(1

eL

Rt

USeuL

L

LdtdiK(t=0)USRL+u

–

+–uLR

iL已知iL(0－)=0，电路方程为：iL

iL

iLtuLUStiLU

S

R00RUSLi

(0 )

0

A

LRU

Rt

Ae

S例1t=0时,开关K打开，求t>0后iL、uL的变化规律。解这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：iLK+–uL2HR

8010A300200iL+–uL2H10AReq

80

200//

300

200ReqiL

()

10A

L

/

Req

2

/

200

0.01sLi

(t

)

10(1

e100t

)

Au

(t

)

10

R

e100

t

2000e100

tVL

eqt>0例2t=0时,开关K打开，求t>0后iL、uL及电流源的端电压。解iLK–+uL2H这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：

2A105

10–+ut>0L–+uL2HiReq+US–eqR

10

10

20US

2

10

20V1

0tiL

(t

)

(1

e

)

A

L

/

Req

2

/

20

0.1siL

()

US

/

Req

1Au

(t

)

U

e10t

20e10tVL

Su

5I

10i

u

20

10e10tVS

L

L8.3

一阶电路的全响应i电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。K(t=0)US+

u

–RC–+uCRS

uC

UdtRC

duCC解答为

uC(t)

=

u

'

+

uC"以RC电路为例，电路微分方程：1.全响应全响应稳态解

u

'

=UC

S暂态解

=RC

tuC

AeuC

(0－)=U0uC

(0+)=A+US=U00

A=U -US由起始值定A2.全响应的两种分解方式

t

US

(U0

US

)e

t

0

tuC

US

Ae

强制分量(稳态解)分量(暂态解)uC"U0

-US暂态解稳态解USU0ucuC'全解tuc0全响应=强制分量(稳态解)+分量(暂态解)（1）着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰iUS+u

–R+–C

uCK(t=0)RuC

(0－)=U0iUS+u

–RC+–K(t=0)R=uC

(0－)=0uC+uC

(0－)=U0+–C

uCi+u

–RK(t=0)R全响应=零状态响应

+零输入响应零状态响应零输入响应(t

0)

t

tuC

US

(1

e

)

U0

e(2)

着眼于因果关系便于叠加计算(t

0)

t

tuC

US

(1

e

)

U0

e零状态响应零输入响应0零状态响应t零输入响应uc全响应USU0例1t=0时,开关K打开，求t>0后的iL、uL解这是一个RL电路全响应问题，有：K(t=0)–+24ViL0.6H4+uL–8i

(0

)

i

(0

)

U

/

R

6AL

L

S

1

L

/

R

0.6

/

12

1/

20sLi

(t)

6e20t

A零输入响应：iL241220t(1

e

)A(t

)

零状态响应：20t20t20t

2(1

e

)

2

4e

AiL

(t)

6e全响应：或求出稳态分量：iL

()

24/

12

2A全响应：20tiL

(t

)

2

Ae

A代入初值有：6＝2＋AA=4例2t=0时,开关K闭合，求t>0后的iC、uC及电流源两端的电压。解这是一个RC电路全响应问题，有：–+10V1A+–uC1+–u1

1稳态分量：uC

()

10

1

11VC(u

(0

)

1V

,C

1F

)全响应：Cu

(t)

11

Ae0.5tV

RC

(1

1)

1

2sA=－10Cu

(t

)

11

10e0.5tVdtdu

CC

5e0.5tAi

(t

)

–+24V1A+—uC1+—u1

1u(t)

11

1

i

u

12

5e0.5tVC

C3.三要素法分析一阶电路f

(t

)

f

()

[

f

(0

)

f

()

]e0时间常数稳态解初始值三要素

f

(0

)

f

()

tf

(t)

f

()

Ae令t

=0+0f

(0

)

f

()

A0d

f一阶电路的数学模型是一阶微分方程：

a

dt

bf

c其解答一般形式为：分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题用t→的稳态电路求解用0+等效电路求解直流激励时：0f

()

f

()u

(0

)

u

(0

)

2VC

CuC

()

(2

//

1)1

0.667V3eq

R

C

2

3

2

su

0.667

(2

0.667)e0.5t

0.667

1.33e0.5t

t

0C1A2例11+3F-uC已知：t=0时合开关，求换路后的uC(t)

。解t2uc

(V)0.6680tc

c

c

cu

(t)

u

()

[u

(0 )

u

()]e例2t=0时,开关闭合，求t>0后的iL、i1、i2解

L

/

R

0.6

/(5

//

5)

1

/

5siL–0.5H三要素为：

55+20V–+10Vi2i1i

(0

)

i

(0

)

10/

5

2AL

LiL

()

10/

5

20/

5

6AtL L L Li

(t)

i

()

[i

(0 )

i

()]e应用三要素公式i

(t)

6

(2

6)e5t

6

4e5t

t

0LdtdiLL

0.5(4e5t

)

(5)

10e5tVu

(t)

Li

(t)

(10

u

)/

5

2

2e5t

A1

Li

(t)

(20

u

)

/

5

4

2e5t

A2

L三要素为：

L

/

R

0.6

/(5

//

5)

1

/

5si

(0

)

i

(0

)

10/

5

2AL

LiL

()

10/

5

20/

5

6Ai

(t)

6

(2

6)e5t

6

4e5t

t

0L1i

(t)

2

(0

2)e5t

2

2e5t

A5t

5ti2

(t)

4

(2

4)e

4

2e

A–2A55+20V–+10Vi2i10＋等效电路1(10

20)

1

0A10i

(0

)

2(20

10)

1

2A10i

(0

)

i1

()

10/

5

2Ai2

()

20/

5

4A例3已知：t=0时开关由1→2，求换路后的uC(t)。2A4+4i12i1

－2解三要素为：u

10i1

Req

u

/

i1

10uC

()

4i1

2i1

6i1

12V4+4i12i1

－+u—u

(0

)

u

(0

)

8VC

C

ReqC

10

0.1

1stc

c

c

cu

(t)

u

()

[u

(0 )

u

()]ec

12

20etVu

(t

)

12

[8

12]e

t例4已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t)。解三要素为：1H–

0.25F52S+10ViuC

()

0u

(0

)

u

(0

)

10VC

C1

ReqC

2

0.25

0.5sc c c c2tV

t

10eu

(t)

u

()

[u

(0

)

u

()]e

iL

(0

)

iL

(0

)

0iL

()

10/

5

2A

2

L

/

Req

1/

5

0.2sL

L

L

L5t

)A

t

2(1

ei

(t)

i

()

[i

(0 )

i

()]e

CL2u

(t)2t5t

2(1

e

)

5e

Ai(t)

i

(t)

例5i10V1Hk1(t=0)k2(t=0.2s)32已知：电感无初始储能t

=0

时合k1

,t=0.2s时合k2求两次换路后的电感电流i(t)。0<t<

0.2si(t

)

2

2e

5t

At

>0.2si(0

)

i(0

)

0

1

L

/

R

1

/

5

0.2

si()

10

/

5

2Ai(0.2

)

1.26A

2

L

/

R

1

/

2

0.5i()

10/

2

5Ai(0.2

)

2

2e50.2

1.26i(t)

5

3.74e2(t

0.2)

A解i

2

2e

5

t(0

<

t

0.2s)i

5

3.74e2(

t

0.2)(

t

0.2s)t(s)0.2i

(A)521.26RCusuRuci10Ttusus

1

(0

t

T

)us

0t

Tt

0例6

脉冲序列分析RC电路在单个脉冲作用的响应0<t<T

t

RCu

(t)

u

()

[u

(0 )

u

()]ec1

c1

c1

c1u

(0

)

u

(0

)

0

Vc1

c1uc1

()

1V

RCt

0

t

RC

V

,uc1

(t

)

1

et

0

tRC

V

,uR1

(t)

ee

A,

t

01Ri1

(t

)

RC

t

(2)

t>Tt

Tu

(t)

u

()

[u

(0

)

u

()]e

RCc

2

c

2

c

2

c

2V

T

RCu (0 )

u (T

)

1

ec1c

2uc

2

()

0V

RC

T

t

TRC

)e

RC

V

,uc

2

(t)

(1

e t

TuR2

(t)

uc2

(t)V

,

t

TRt

T

RCA,

t

T

Ti

(t

)

1

e

RC

e2uc(t

)Ru

(t

)t0t0(a)

<<T,uR为输出uR输出近似为输入的微分(b)

>>T,uc为输出t0输出近似为输入的积分RCusuRuciuCTT2.

脉冲序列分析t0(a)

<<TuRucRCusuRucit0(b)

>TU1U2ucuRRCusuRuci1．单位阶跃信号的定义,

t

00

,

t

0（t)

12．波形一．阶跃信号及其单边性8.4一阶电路的阶跃响应,

t

00

,

t

0（t)

1相当于0时刻接入电路的单位电流源或单位电压源若将直流电源表示为阶跃信号，则可省去开关：例如：10（V）→10ε（t）（V）K（V）→Kε（t）（V），K：阶跃信号强度。3.实际意义4.延迟单位阶跃信号,

t

t000

,

t

t0

(t

t

)

10

,

t

0

(t)

1,

t

0f

(t)

(t

t0

)

f(t)t

t0t

t00to5．阶跃信号的单边性（截取信号的特性）若用ε（t）去乘任何信号，都使其在t<0时为零，而在t≥0时为原信号。利用此信号可描述许多信号。f(t)tof

(t)

(t

t0

)t0f

(t)

(t)

(t

2)f

(t)

3

(t)

4

(t

1)

(t

3)tt1oo-1例：ttooto3-

41例：阶跃响应的定义电路在零状态条件下，对单位阶跃信号产生的响应。分析方法：t≥0同直流激励一样。有两种分析方法分段函数表示阶跃函数表示二．阶跃响应的分析tou10VuC1SRC=1S0

t

1t

1u

(1)

u

(1)

10(1

e1

)

6.32VC

CuC

()