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文档简介
数值积分是数值计算的重要部分，它是求定积分的一种近似方法,具有实际意义.§4.1数值积分的一般概念数值求积公式如下形式的数值求积公式(4.1.1)称为求积公式的余项.Hi
f
(xi
)nbI
(
f
)
f
(x)dx
ai0E(f
)
称为机械求积公式.其中Hi(i=0,1,2,…n)称为求积系数，xi(i=0,1,2,…n)称为求积节点.n(4.1.2)i
0f
(x)dx
Hi
f
(xi
)ba数值积分问题可分解为如下三个问题:精确性程度的衡量标准问题；求积公式具体构造问题；
(3)余项估计问题.求积公式的代数精度定义
若求积公式(4.1.1)对所有次数不超过m的多项式都精确成立，而对于某个m+1次多项式不能精确成立，则称此求积公式具有m次代数精度（或称该公式是m阶的）.上述定义等价于：若求积公式(4.1.1)对f(x)=1,x,x2,…,xm均精确成立，而对f(x)=xm+1不精确成立,则称此求积公式具有m次代数精度（或称该公式是m阶的）.代数精度的概念是衡量求积公式精确性的标准.插值型求积公式求积系数n以给定互异点x0,x1,…,xn
为插值节点,作f(x)的n次插值多项式φn(x),把φn(x)写成Lagrange插值多项式的形式Ln
(x)
li
(x)
f
(xi
)i0nf
(x)dx
bbi
iaa(
l
(x)dx)
f
(x
)i0iib
l
(x)dx,(i
0,1,2,,
n)aH
对于求积公式如果求积系数(4.1.3)则称(4.1.1)为插值型求积公式.其余项若公式(4.1.1)是插值型求积公式，则它至少具有n次代数精度.nf
(x)dx
Hi
f
(xi
)i0badxnbbjiil
(x)dx
aaijj
ix
xH
j
0
x
xf
(n1)
()(n
1)!
pn1
(x)dxE(
f
)
ba反之，若求积公式(4.1.1)至少具有n次代数精度，因lk(x)Mn, k=0,1,2,,n.求积公式(4.1.1)对lk(x)精确成立，即综上有定理求积公式(4.1.1)至少具有n次代数精度的充分必要条件是它是插值型的.Hilk
(xi
)
Hk
,
k
0,1,
2,,
nni0bkl
(x)dx
a§4.2
Newton-Cotes公式Newton-Cotes公式求积系数n将区间[a,b]n等分，其分点为xi=a+ih
，i=0,1,2,,n
，h=(b-a)/n，以这n+1个等距分点为插值节点,作n次插值多项式Ln
(x)
f
(xi
)li
(x)i0f(x)dx
(nbbli
(x)dx)
f
(xi)i0aa(i
0,1,2,,
n)iiabH
l
(x)dx,Newton-Cotes系数作变量替换x=a+th，于是记C(n)(4.2.1)称为则—柯（Newton-Cotes）系数.Hi=(b-a)Ci
(n)(4.2.1)b
b
(x
x0
)(x
x1)(x
xi1
)(x
xi1
)(x
xn
)dx(xi
x0
)(xi
x1)(xi
xi1
)(xi
xi1
)(xi
xn
)0t(t
1)(t
i
1)(t
i
1)(t
n)dt(1)ni
h
ni!(n
i)!iiaaH
l
(x)dx
(1)nin
i!(n
i)!0
j
0j
iin
n
(t
j)dt, (i
0,1,2,,
n)Newton-Cotes公式(4.2.3)称等距节点的插值型求积公式(4.2.3)为n阶—柯
（Newton-Cotes）公式.i
0baf
(x)dx
(b
a)nC
(n
)
f
(x
)i
i当n=1时,Newton-Cotes公式(4.2.3)为梯形求积公式(4.2.4)H0=
H1
=(b-a)/2,
C0=
C1=1/2几何意义:用梯形面积近似代替曲边梯形面积.当n=２时, Newton-Cotes公式(4.2.3)为抛物线(Simpson)求积公式(4.2.5)H0=H2=(b-a)/6,
H1=2(b-a)/3,
C0=C2
=1/6,
C1
=2/32bab
af
(x)dx
[
f
(a)
f
(b)]
Tf
(x)dx
62bab
a
a
b
f
(a)
4
f
f
(b)
S
当n=4时,Newton-Cotes公式(4.2.3)为Cotes公式公式(4.2.6)H0=H4=7(b-a)/90,H1=H3=32(b-a)/90,
H2=12(b-a)/90,C0=C4=7/90,
C1=C3=32/90,
C2=12/90.其它情形可通过查Cotes系数表，给出具体公式.0
1
2
3
490b
b
af
(x)dx
[7
f
(x
)
32
f
(x
)
12
f
(x
)
32
f
(x
)
7
f
(x
)]aNewton-Cotes公式的收敛性定理对于n+1个节点的Newton-Cotes公式的定理如果当n时,与插值型求积公式(4.1.1)相应的数列无限放大，则有函数f(x)C[a,b]，使得数列此定理说明Newton-Cotes公式并不总是收敛于积分的真值.nk
0求积系数Hk,当n时,数列
Hk无限放大.nk
0
Hk(n
1,2,
3,)n
Hk
f
(xk
)k
0f
(x)dxba不收敛于Newton-Cotes公式的数值稳定性设精确值为f(xj)的计算值为
f(
xi
)
，且那么这时数值计算是不稳定的.f
(
xi
)
f(xi
)
,i
0,1,
2,,
n.n
n
n
Hi
f
(xi
)
Hi
f(xi
)
Hii0
i0
i0ni0f
(xi
)
f(xi
)
Hii0若每个Hi
(i=0,1,2,,n)都为正,则n
n
n
Hi
f
(
xi
)
Hi
f(xi
)
Hi
(b
a)i0
i0
i0这时数值计算是稳定的.n若Hi
有正有负,则
Hi
b
a
且随n的增大无限放大，当n=8时，Newton-Cotes公式中求积系数出现负数.实际计算并不用高阶Newton-Cotes公式，一方面余项含高阶导数；另一方面其收敛性、稳定性都差.Newton-Cotes公式的代数精度对于n阶的Newton-Cotes公式当n为奇数时，至少具有n次代数精度；当n为偶数时，至少具有n+1次代数精度.梯形求积公式的代数精度为1.抛物线求积公式的代数精度为3Newton-Cotes公式的余项对于n阶的Newton-Cotes公式当n为奇数时，若f(x)Cn+1[a,b],则当n为偶数时，若f(x)Cn+2[a,b],则f
(n1)
()pn1
(x)dx,
(a,b)E(
f
)
(n
1)!baf
(n2)
()n1E(
f
)
xp
(x)dx,
(a,b)(n
2)!ba梯形求积公式的余项定理１
若f(x)C2[a,b]
,则梯形求积公式有余项估计(4.2.7)2
12TE
(
f
)
f
(x)dx
b
a
[
f
(a)
f
(b)]
(b
a)3baf
(
)
(a,b)证由插值余项定理等式两边积分得由于f(x)C2[a,b]，且(x-a)(x-b)在[a,b]上非正(不变号),故根据积分中值定理知,至少存在一点(a,b),使(a,b)21知f
(x)
L
(x)
1
f
()(x
a)(x
b)2TaE
(
f
)
1
b
f
()(x
a)(x
b)dx2112bTaE
(
f
)
1
f
(
)(x
a)(x
b)dx
3(b
a)
f
()抛物线求积公式的误差定理２
若f(x)
C4[a,b]
,则抛物线求积
(b
a)5(
4)62b公式有余项估计Es
(
f
)
a
f
(x)dxb
a
a
b
f
(a)
4
f
(()
(a,b))
f
(b)
(4.2.8)2880
f证抛物线求积公式的代数精度为3,为此构造三次多项式P3(x)，满足
P3(a)=f(a),则等式两边从a到b积分得由于P3(x)是三次多项式，故抛物线求积公式对它准确成立，即2233
3P
(
a
b
)
f
(
a
b
),
P
(b)
f(b),
P
(
a
b
)
f
(
a
b
)214!2(a,b)2a
b
)2
(x
b)(
4)f
()(x
a)(x
3f
(x)
P
(x)
32b
b1ba
bf
(x)dx
P
(x)dx
a
af
(4)
()(x
a)(x
)2
(x
b)dx4!
a非正(不变号),故根据积分中值定理知,至少存在一点(a,b),使
b
a
[
f
(a)
4
f
(
a
b
)
f
(b)]6
2这样6
23
33
3ab
P(x)d
x
b
a
[P(a)
4P
(
a
b
)
P
(b)]4!
2saE
(
f
)
1bf
(
4)
()(x
a)(x
a
b
)2
(x
b)dx2由于f(x)C4[a,b]
，且(x
a)(x
a
b
)2
(x
b)
在[a,b]上(4)
(b
a)5f
(4)
()14!22880sE
(
f
)
af
()
b
(x
a)(x
a
b
)2
(x
b)dx复化Newton-Cotes公式复化梯形求积公式将区间[a,
b]n等份，其分点为xi=a+ih
(i=0,1,2,…n),h=(b-a)/n.在每个小区间[xk,xk+1](k=0,1,2,…n-1),上利用梯形求积公式则(4.2.9)为复化梯形求积公式.xk
1
xk2[
f
(xk
)
f(xk
1
)]f
(x)
d
xkxxk
1
x
k
1
k
2f(x)
d
x
2kbxk
1kk1[
f
(x
)
f
(x
)]axn1n1
xk
0
k
0nk
1n1
h
[
f
(a)
f
(b)
2
f
(a
kh)
Tf
(x)
d
x
f
(a
kh)2称
nhn1T
[
f
(a)
f
(b)
2k
1将区间[a,
b]2n等份,得复化梯形求积公式其中n12nkk
11k
2[
f
(x
)
2
f
(x
)
f
(x
)]4
k
0hT
22n
nnT
1
(T
U
)n1k
Un
h
f(x
1
)k
0
2复化梯形求积公式的误差定理３
若f(x)
C2[a,b]
,则(4.2.10)证由于f(x)C2[a,b]，利用连续函数的性质知存在一点[a,b],使这样2b
a12bnE(
f
;T
)
nf
(x)dx
T
ah f
(),
(a,b)212k
03
n1
h
f
(k)kbE(
f
;Tn
)
naxxk
1n1k
0f
(x)
d
x
T
{kk k
1
(x
,
x
)hf
(x)
d
x
[
f(xk
)
f
(xk
1)]}212bnnaE(
f
;T
)
f
(x)dx
b
aT
h
f
(),
[a,b]n
k
0(
)n11
f
(k)
f即复化梯形求积公式是收敛的Tn的求积系数均为正，故是数值稳定的.bannlimT
f
(x)dx复化抛物线求积公式将区间[a,
b]n等份，其分点为xi=a+ih
(i=0,1,2,…n),h=(b-a)/n.在每个小区间[xk,xk+1](k=0,1,2,…n-1),上利用抛物线求积公式则(4.2.11)称为复化抛物线求积公式.26k k
1k
1xk1f
(x)
d
x
x
xk
1
k[
f
(x
)
4
f
(x
)
f
(x
)]xkbn112h
n1k
0f
(x)
d
x
f
(x)
d
x
66n1k
2k
0k
1n1h [
f
(a)
4
f
(x1
)
2
f
(xk
)
f
(b)]
Snkaxxk
1k
k
0[
f
(x
)
4
f
(x)
f
(xk
1)]k(4.2.12)复化抛物线求积公式的误差定理４若f(x)
C4[a,b],则(4.2.13)3
3n
nnS
1
T
2
U
4T2n
Tn4
1nS2880nf
(x)
d
x
Sn
ab(b
a)E(
f
;
S
)
h4
f
(4)
(),(a,
b)即复化梯形求积公式是收敛的Sn的求积系数均为正，故是数值稳定的.f
(x)dxbnanlim
S
(4.2.14)其余项为(4.2.15)n1k
4k
1h90Cn
复化Cotes公式n1n1k
4k
2k
1k
0n1[7
f
(a)
32
f
(xk
01
)
12
f
(x1
)
32
f
(x3
)
14
f
(xk
)
7
f
(b)]945
4nnb
2(b
a)
hE(
f
;C
)
f
(x)
d
x
C
( )6
f
(6)
(),[a,b]a42n复化Cotes公式是收敛的、数值稳定的.C
42
S2n
Sn1例用梯形求积公式和Simpson公式计算积分10e
dx
,并估计误差.
x解记a=0,b=1,f(x)=e-x
,则f
'(x)=-e-x
f''(x)=e-x
,f'''(x)=-e-x
,
f(4)(x)=e-xT
b
a
[
f
(a)
f
(b)]
1
0
(e0
e1
)
0.683
939
722f
()
1
e
,
(0,1)12
12(b
a)3TE
(
f
)
12TE
(
f
)
1
0.083
333
1
0
(e0
4e0.5
e1
)
0.632
333
762S
b
a
f
(a)
4
f
a
b
f
(b)6
(b
a)51SE
(
f
)
28801(4)e
,
(0,1)2880f
()
0.000
347
22880SE
(
f
)
推导下列矩形求积公式：(1)(2)两边在[a,b]上积分，得由于x-a在[a,b]上不变号，故有[a,b],使从而得212baf
(x)dx
(b
a)
f
(a)
f
()(b
a)32baa
b
124f
(x)dx
(b
a)
f
( )
f
()(b
a)解(1)将f(x)在a处展开，得f
(x)
f
(a)
f
()(x
a),(a,
x)b
bbaaf
(x)dx
abaf
(a)dx
f
()(x
a)dxf
(
(b
a)
f
(a)
)(x
a)dxb
baaf
(x)dx
(b
a)
f
(a)
f
() (x
a)dx21baf
(x)dx
(b
a)
f
(a)
f
(2)(b
a)
,
[a,b]将f(x)在(a+b)/2处展开，得f
(x)
f
(
a
b
)
f
(
a
b
)(x
a
b
)
1
f
()(x
a
b
)22
2
2
2
2两边积分，得b(a,
b)a
b
)2
dx212a
b)dx
bbaaa
b
a
b2
2
2a)
f
(
) (x
f
(x)dx
(b
a)
f
(f
()(x
bbaaa
b
12
2)
f
(
) (x
2)
dxa
b2(a,b)2f
(x)dx
(b
a)
f
(由于(x
a
b
)2
在[a,b]上不变号，故有(a,b),使
(b
a)
f
(
a
b
)
12
24f
()(b
a)3
,例利用Hermite插值公式推导带有导数值的求积公式解
作三次多项式H(x)满足如下插值条件：则且其中f
(
4)
(2
12
720bab
a
(b
a)2(b
a)5f
(x)dx
f
(a)
f
(b)
f
(a)
f
(b)
),
(a,b)H
(a)
f
(a),
H
(b)
f
(b),
H
(a)
f
(a),
H
(b)
f
(b)H
(x)
f
(a)h0
(x)
f
(b)h1(x)
f
(a)h0
(x)
f
(b)h1(x)f
(x)
H
(x)
(a,b)4!f
(4)
()(x
a)2
(x
b)2
,01
x
b
2
x
a
2b
a
a
b
2(x
a)
x
b
2
,h
(
x)
(x
a),
h
(x)
(x
b)a
b
b
a
h0
(
x)
1
2(x
b)
x
a
2h1(x)
1
a
bb
a
直接计算得01h
(x)dx
22b
a
,
b
h
(x)dx
b
abaa0112b
(b
a)2h
(x)dx
,12b
(b
a)2h
(x)dx
aaf
(4)
()4!f
(4)
()(x
a)2
(x
b)2
dx
4!bb(x
a)2
(x
b)2
dxaa
(b
a)5f
(4)
(),(a,b)7200104!f
(4)
()
(x
a)
(x
b)
dx2
22
12bbbbaaf
(x)dx
f
(a)
h
(x)dxaabba
a
f
(b)
h1
(x)dx
f
(b)
h
(x)dx
f
(a)
h
(x)dxb
a
[
f
(a)
f(b)]
(b
a)
2
[
f
(a)
f
(b)]
(b
a)5(4)f
(),
(a,b)720例若用复化梯形求积公式求的近似值，问要将积分区间[0,
1]分成多少等份才能保证计算结果有四位有效数字？若用复化抛物线求积公式呢？01
xe
dx解记f(x)=e-x
，则f(x)=f(4)(x)=e-x
.的真值具有零位整数，所以要求计算结果有四位有效数字，即要求复化梯形求积公式的误差满足由于b-a=1,
h=(b-a)/n=1/n
,所以要使只要，开平方得，n≥40.8,取n=41.01
xe
dx1112
12n2
12n2
2(b
a)E(
f
;Tn
)
h2e
f
()
1
104n2
1
10462nE(
f
;T
)
1
104因此，若用复化梯形公式求的近似值，必需将区间[0,1]分成41等分才能保证计算结果有四位有效数字.若用复化抛物线求积公式，则由其误差估计式知，要使只要n≥2
，因此用复化抛物线求积公式计算，只需将区间[0,1]分成2等分.01
xe
dx1
1h44E(
f
;
Sn
)
e
102880
2880
2880n4
2b
a
h4
f
(4)
()
试分别用复化梯形求积公式和复化抛物线求积公式计算下列积分，并比较结果.解
将区间[0,
1]8等分，分点为xi=ih
(i=0,1,2,…8),h=1/8.
，令f(x)=x/(4+
x2)可计算得下表xi01/81/43/81/2f(xi)00.031
128
40.061
538
50.090
566
00.117
647
1xi5/83/47/81f(xi)0.142
348
80.164
383
60.183
606
60.200
00120dx
(n
8)4
xx由复化梯形求积公式得由复化抛物线求积公式得78
1
f
(0)
2
f
(
1)
2
f
(
1
)
2
f
(
3)
2
f
(
1
)
2
f
(
5)
2
f
(
3)
2
f
(
7
)
f
(1)1
1
2f
(0)
2f
(x
)
f
(1)8T
i
1
i
0.111402
4
0.111572
44
S
1
1
f
(0)
2
f
(
)
f
(
1)
f
(
3)
4
f
(1)
f
(
3)
f
(
5)
f
(
7
)
f
(1)64
2
8
8
8
4
8
与积分的精确值比较，显然复化抛物线求积
复化梯形求法精确得多.例
P192例4.112001dx
1
ln(4
x2
)
1
ln
5
0.11157172
2
44
xx同理得同理得Romberg公式112n1E(
f
;T
)
I
(
f
)
Tn
(b
a)31
f
(
),
(a,b)T2nE(
f
;T2n
)
I
(
f
)
2f
(
2),
(a,b)12
(2n)2n2
(b
a)3
12nI
(
f
)
TnI
(
f
)
T(4.3.1)3
3
32n2n
n
2n
nn
4,
I
(
f
)
T
1
(T
T
)
4
T
1
T
SI
(
f
)
S2nI
(
f
)
Sn
16,15152n2nn2nnnI
(
f
)
S
1
(S
S
)
16
S
1
S
C
,
(4.3.2)15(4.3.3)63n
2nn
1
C63R
64
C§4.3
Romberg求积法进行下去.在变步长(半分区间)的过程中运用(4.3.1),(4.3.2),(4.3.3),就能将粗糙的近似值Tn逐步加工成精度较高的Sn
(3阶的),Cn
(5阶的),,Rn,值，提高了收敛速度，其实质起到了加速收敛的作用，也称为逐次分半加速法.Romberg方法.将区间[a,b]依次作20,21,22,…等分，记按复化梯形求积公式算得的值相应地记为由公式递推计算数表m用Tm(k)或T
(0)作为定积分的近似值.i2ih
b
a0
0
0T
(0)
,T
(1)
,T
(2)
,m4m4m
T
(
k
1)
T
(k
)T
(k)
m1
m13
21T
(0)2T
(1)T
(0)101T
(2)T
(1)T
(0)003T
(k
)2T
(k
)1T
(k
)0T
(3)T
(2)T
(1)T
(0)1k0123
0
T
(k
)若f(x)
C2m+2[a,b],则其中B2m+2是只与m有关而与k无关的常数.由此可知：(a,b)(4.3.4)(4.3.5)即T数表中第m列的元素收敛于积分真值.(b
a)2m
3
f
(2m2)
(),B2m22(m1)(m2k
)
(2m)!mabf
(x)dx
T
(k
)
mk
T数表中元素Tm(k)相应的求积公式的代数精度为2m+1，而且对固定的mblimT
(k
)
f
(x)dxa即T数表中对角线上的元素也收敛于积分真值.m若f(x)是有界可积的，不仅(4.3.5)成立,而且还有bf
(x)dxmlim
T
(0)
aT数表中的每一个元素Tm
的值都是由2
,(k)
k2k+1,…,2k+m个区间上复化梯形公式的线性组合，即Tm(k)的值是第一列元素值的线性组合.在实际计算中，当表中对角线(列)上出现两个顺序连接的数之差为允许误差时，即可停止运算.例用Romberg求积法求积分解
记1204dxI
21
x的近似值,要求误差不超过
1
104
.41
x2f
(x)
,
a
0,
b
10T
(0)44f
(0)
1
02
1
12
4,
f
(1)
2
b
a
[
f
(a)
f
(b)]
1
0
[
f
(0)
f
(1)]
32
200T
(1)
1
[T
(0)4f
(0.5)
1
0.52
3.2
f
(0.5)]
1
(3
3.2)
3.12424f
(0.25)
1
0.252
3.764
705
9,f
(0.75)
1
0.752
2.560
000
044f
(0.125)
1
0.125241
0.37524
3.506
849
3f
(0.625)
3.938
4615
f
(0.375)
2.876
404
5
f
(0.875)
1
0.6252
1
0.8752
2.265
486
7(2)0T
(3)012
4
{T
1
[
f(0.125)
f
(0.375)
f(0.625)
f(0.875)]}
3.138
988
5(4)(3)0T0
(2b
a
f
2k
1)16
3.140
9416T1
18k
180
02T
(2)
1
{T
(1)
1
[
f
(0.25)
f
(0.75)]}
3.131176
52由递推算式计算得下表kT0
(k)T1(k)T3(k)T4(k)0 3.000
0001 3.100
0003.133
3332 3.1311773.141
5693.142
1183 3.1389893.141
5933.141
5943.141
5864 3.1409423.141
5933.141
5933.141593
3.141593取T4
(0)作为的近似值,即果与准确值.这一结m4mT2(k)4(m)
T
(k
1)
T
(k
)T
(k
)
m1
m11T
(0)
T
(0)4
32
1
1041204dx
3.1415931
x120dx
4arctan
x
1
相比较已有较好的效果.041
x§4.4
Gauss求积公式问题：固定节点数目为n+1的情况下，适当选取一组节点x0,x1,…,xn
，及求积系数H0,H1,…,Hn
，使求积公式(4.4.1)具有代数精度2n+1．定义
若求积公式
(4.4.1)
具有代数精度2n+1，则称该求积公式为Gauss求积公式，相应的求积节点称为Gauss点.nbak
0f
(x)dx
Hk
f
(xk
)Gauss求积公式的构造由定义公式(4.4.1)对f(x)=1,x,x2,…,x2n+1精确成立，得求解xi
,Hi这种方法是非线性的，求解.0
1
2
nH0
H1
H20
0 1
1 2
2
n
nnaab0
12
nabH
1dxbH
x
H
x
H
x
H
x
xdxH
x2n1
H
x2n1
H
x2n1
H
x2n1
x2n1dx
定理插值型求积公式(4.4.1)是Gauss求积公式的充分必要条件是：以其节点为零点的n+1次多项式pn+1(x)=(x-x0)(x-x1)(x-xn)在[a,b]上关于权函数(x)1与一切次数≤n的多项式正交，即bann1q
(x)
p
(x)dx
0,
qn
(x)
Mn
(4.4.2)证充分性若(4.4.2)成立，f(x)M2n+1,f(x)=
sn(x)
pn+1(x)+rn(x),
sn(x)
,rn(x)Mn由公式(4.4.1)
有n
n
Hir(xi
)
Hi
f
(xi
)i0
i0从而求积公式(4.4.1)是Gauss求积公式.b
bbaa
ar
(x)dxn
n1
nf
(x)dx
s
(x)
p
(x)dx
必要性若公式(4.4.1)具有代数精度2n+1，qn(x)Mn,
qn(x)pn+1(x)M2n+1即pn+1
(x)在[a,b]上关于权函数(x)1与一切次数≤n的多项式正交.n1
iHiqn
(xi
)
p
(x
)
0,ni0bqn
(x)
pn1
(x)dx
aGauss求积公式的余项利用Gauss求积公式及积分中值定理有2以x0,x1,…,xn为节点的Hermite插值公式f
(2
n2)
()f
(x)
H
(x)
p(x)(2n
2)!n1f
(x)dx
n
nbbaai0i0H
H
(x
)
i
if
(x)dx
Hi
f
(xi
)
E(
f
)f
(2
n2)
()(2n
2)!f
(2n2)
()(2n
2)!pn12
(x)dx
pn12
(x)dxE(
f
)
bbaaGauss求积公式的收敛性ba定理若f(x)C[a,b]，则Gauss求积公式是收敛的.即n
k
kf
(x)dxH f
(x
)
limk
k
0Gauss求积公式的数值稳定性定理
Gauss求积公式的系数Hk(k=0,1,2,,n)全是正的.k基函数lk(x)Mn，l
2(x)M2n，Gauss求积公式对其精确成立，故(k=0,1,2,,n推论
Gauss求积公式是数值稳定的.20
ni0bkl
(x)dx
kH
l
2
(x
)
Hi
k
ikaab
l
(x)dx定理n+1个节点的插值型求积公式的代数精度至少为n，最高为2n+1.证Gauss求积公式是插值型求积公式，故代数精度可达到2n+1，但 过2n+1.否则,令f(x)=p2n+1(x)=(x-x0)2(x-x1)2(x-xn)2xi
(i=0,1,,n)是求积节点，求积公式对其精确成立，即又.p22n1k
n1
k(x)dx
H
p
(x
)
0nk
0ban1bp2(x)dx
0aGaussLegendre求积公式
区间[-1,1]上的Gauss求积公式
Legendre多项式序列{Pn(x)}是区间[-1,1]上的关于权函数(x)1的正交多项式序列，
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