国赛初创意平板折叠桌数学建模与优化设计

木条的宽度等加工参数，并给出了三种形状的创新平板折叠桌设计实现。𝑦=0.037𝑧2−0.94𝑧+{𝑦=3.84×105𝑥4−0.014𝑥2+q𝑦+d(𝑧−

+

=其中rdXOZ94.62%，充分说明仿真模型的正确性。最后本文利用仿真得到了平板变成折叠桌的过程示意图。钢筋位置和开槽长度。分别采用的fgoalattain函数和遗传算法对该规fgoalattain函数的利用中，本文克服了该函数只能得到一个两种求解方法，桌高70cm，桌面直径80cm时以稳定性作为优先因子时的最优关键一、问题重铰链的活动从而完成创意平板折叠桌的实现，各组桌腿（除最外侧的桌腿）均有空槽存在各组桌腿形成的曲线为直纹曲面造型美观请你观察资料，120cm×50cm×53cm3、此公司计划开发一种折叠桌设计。这个可以根据客户任意设定的折接近客户所期望的形状。请你帮助给出这一设计的数学模型，并根据所8张以上动态变化过程的示意图。二、问题分2可以得到题目所0的限制等。对于该规划问题的求解，可以考虑用优化工具箱相应函求解或遗传算法去搜索最优解。三、符号定义说𝑎,𝑏,W𝐴𝑖(𝑥𝑎𝑖,𝑦𝑎𝑖,𝑀𝑖(𝑥𝑚𝑖,𝑦𝑚𝑖,𝐵𝑖(𝑥𝑏𝑖,𝑦𝑏𝑖,θαP最长木条上的钢筋到顶端距离与最长e,P(X,Y,Z),qdxoz四、模型假1234五、模型建立与求为方便，本文首先将长方形平板的长、宽、高分别记为𝑎,𝑏,𝑑，每条桌ZaYZaYOXRWb图5-1长方形平板的切割示意 图5-2空间直角坐标b桌面圆形中心的直线为z5-2所示。由于长方形平板存在一定的厚度𝑑（0.3ℎ′=ℎ− 由桌腿木条的切割方式得到𝐴𝑖 𝑎𝑖=2−𝑖−122 =√ 22

()−(− {其中，i=1,2,3𝑏

𝑧𝑎=ℎ′=ℎ−𝐿𝑖=2− 将钢筋在各木条中的位置记为𝑀𝑖，其x,y,z坐标分别记为𝑥𝑚𝑖𝑦𝑚𝑖𝑧𝑚𝑖上任意一点的𝑥轴坐标处处相等。结合公式（3）可知𝑥𝑚𝑖 =

𝑎𝑖=2

𝑖−1（4，得到 𝑚1=𝑦𝑎1−(2−𝑦𝑎1)𝑃cos ′𝑧𝑚1=′

−(2−𝑦𝑎1)𝑃sin 基于之前的分析，本文得知钢筋所在直线1和长方形宽所在的直线记2构成一个平面。因此，对于不同木条上的钢筋位置𝑖，其对应的𝑚𝑖与𝑖保持不变，结合公式（4（5（6，得到𝑖的坐标表达式： =

𝑎𝑖=2

𝑖−1 =

=

−(−

)𝑃cos

=

𝑚1=

−(2−𝑦𝑎1)𝑃sin本文将木条的底端所在点记为𝐵𝑖，其x,y,z坐标分别记为𝑥𝑏𝑖,𝑦𝑏𝑖,𝑧𝑏𝑖。下面本

=

=

由公式（8）可知𝑥𝑚𝑖=𝑥𝑎𝑖𝑥= 利用公式（9）𝑧=𝑦𝑚

)+

=𝑧𝑚𝑖−𝑧𝑎𝑖𝑦𝑚

𝑧=k𝑖(𝑦−𝑦𝑎𝑖)+

𝑥={𝑧=k𝑖(𝑦−𝑦𝑎𝑖)+

𝐴𝑖(𝑥𝑎𝑖,𝑦𝑎𝑖,𝑧𝑎𝑖)和木条长度𝐿𝑖𝑧𝑎𝑖=𝑘(𝑦𝑎𝑖−𝑦𝑎𝑖)+ 𝑧𝑏𝑖=𝑘(𝑦𝑏𝑖−𝑦𝑎𝑖)+

𝐿𝐿𝑖=(𝑦𝑏𝑖−𝑦𝑎𝑖)+(𝑧𝑏𝑖−求解上述方程组，得到𝑦𝑏𝑖,𝑧𝑏𝑖 =± +

=±𝑘𝐿𝑖+

结合之前的有关分析，最终本文得到𝐵𝑖𝑥𝑏𝑖= =± +𝑦

√1+

=±𝑘𝐿𝑖+{

√1+

（4𝐿𝑖（3（10（11|𝑀𝐴|′=

−

（3

𝑖

长方形平板折叠之后，本文将钢筋所在点𝑀𝑖到各木条顶端𝐴𝑖的距离记为2|𝑀𝑖𝐴𝑖|。根据木条顶端𝐴𝑖坐标和钢筋在各木条中的位置𝑀𝑖坐标，得到|𝑀𝑖𝐴𝑖|的表2|𝑀𝐴|=

−

𝑖

（7，𝑎𝑖（2𝐶=|𝑀𝐴|−|𝑀𝐴|′=

𝑖

𝑖

+(𝑧𝑚𝑖−

−𝐿𝑖−其中

,

,

（3𝐿（4，

𝑗=2,3,4⋯

]−根据问题一所给的长方形平板尺寸𝑎=120,𝑏=50,𝑑=3，以及每条木条的的长度𝐿1，𝐿149.10。桌底面到地面的高度ℎ′=50。1。故本文对公式（4）进行修正，得到如下公式：𝑥′=(𝑏−(𝑊(𝑖−𝑦′=

2𝑏

()−(−𝑊𝑖)− 𝑧′=ℎ′=ℎ−槽长度。由于折叠桌前后左右对称，故本文取第2条到第10条桌腿木条的开槽长度进行分析（为从两边到中间。结果如下：5-1210j123456789开槽长度0531789621基于上述分析，本文根据公式（16）20根桌腿木条底端的坐标。坐标5086-

05-3通过分析桌角边缘线到YOZ平面和XOY平面的曲线形状本文猜想y的函数可能为二次函数，xyzy的二次函数，xyyy987图5- z关于y的二次函数拟合yy8 x关于y的四次函数拟合 y1=𝑎1𝑧2+𝑏1𝑧+𝑏1=-y2=𝑎2𝑥4+𝑏2𝑥2+𝑎2=3.843e-𝑏2=-𝑦=0.037𝑧2−0.94𝑧+ 5

𝑦=3.84×10𝑥−

+𝑦=𝑎1𝑧2+𝑏1𝑧+{𝑦=

+

+

得到的前三个底端坐标𝐵1(𝑥𝑏1𝑦𝑏1𝑧𝑏1)𝐵1(𝑥𝑏1𝑦𝑏1𝑧𝑏1𝐵1(𝑥𝑏1𝑦𝑏1𝑧𝑏1)代入两𝑦𝑏=𝑎1𝑧𝑏2+

+ {𝑦𝑏=𝑎1𝑧𝑏2+

+

𝑦𝑏=𝑎1𝑧𝑏2+

+ 𝑦𝑏=𝑎2𝑥𝑏4+𝑏2𝑥𝑏2+ {𝑦𝑏=𝑎2𝑥𝑏4+𝑏2𝑥𝑏2+

𝑦𝑏=𝑎2𝑥𝑏4+𝑏2𝑥𝑏2+ 设有动点P（X,Y,Z),其运动方程为：X=X(t),Y=(t),Z= 另有动点Q(ξ,η,ρ)ξ=ξ(t),η=η(t),ρ=ρ(t); 其中t为参数，当t取一切允许值时，PQx=X(t)+λξ(t)y=Y(t)+λη(t) {x=Z(t)+λρ(t){，根据折叠桌的空间分布建立满足以下条件的空间直角坐标系，将折叠桌变形最大角度时候的钢筋位置平移到XOY平面，桌面平行于XOY平面，z轴穿，，本文设P点在第一卦限和第二卦限中，二分之一的椭圆边缘线上运动。其P点的X=ecost,Y=fsint,Z= 第一象限和第二象限中，并且在钢筋所在直线上运动。Qξ=ecost,η=d,ρ= 其中，dxoz平面的垂直距离x=ecost,y=bsint+d𝜆,z=

(32)PQ(4)式最后一项得𝜆=q−1(32)

𝑠𝑖𝑛t

−𝑑𝜆

q𝑦+𝑑(𝑧−结合（32）q𝑦+𝑑(𝑧−q) x(

)+()=由公式（13）和公式（30）20个点的坐标，本文利用拟合上述方程，拟合示意图如下：Yvs.X,YY5

X

5-6q𝑦+d(𝑧−

+

=94.62%，5.1.5动态过程中α的取值都会发生变化，且θ=𝛼𝑚𝑎𝑥。综上所述，本文分别取八个不同的α，然后利用进行模型真得到八个不同的α下的动态变化图并录制了（见附件,程序见附录二00

0

00

0

00

0

00

0a=0

a=11.25

a=22.5

a=33.7500

0

00

0

00

0

00

0a=45

a=56.25

a=67.5

a=78.75 本文以折叠桌的稳固性、加工方便、用材最少为目标建立多目标规划模型。折叠桌的稳固性主要影响因素为桌子重心位置和最外侧木条与地面构成的S=2b|𝑦𝑏1 由公式（21）可以得到桌腿木条的开槽长度𝐶𝑗C=2×

V= 1。选取的偏差变量为{𝑑−,𝑑+,𝑑+}。 ③折叠桌前后左右对称且每条木条完整。折叠桌每一侧的桌腿木条数i是正b一定为木板宽度W的整数倍，且该倍数是偶数；坐标都大于0，右边木条底端y轴坐标都小于0。由公式（18）可以得到左边木𝑦𝑏𝑖> 𝑍𝑏1={𝑍𝑏𝑖≠i=2,3,4

ahWb（5（19）𝑀𝑖𝐴𝑖=2−𝑦𝑎𝑖

2−𝑦𝑎1≥ ⑨折叠桌完全变形后，钢筋出所有的桌脚木条𝑧𝑏𝑖< 由上述参数的绝对约束，本文建立以下多目标规划模型min{𝑑−+𝑑++ P<s.

𝑦bi>𝑍𝑏1=𝑍𝑏𝑖≠𝑎≥𝑊<𝑝,𝑏,𝑑−,𝑑+,𝑑+≥

𝑀𝑖𝐴𝑖=2−𝑦𝑎𝑖 ≥ 𝑧𝑏𝑖< i=2,3,4其中，2𝑊|b代表2𝑊能被b由于上述多目标规划问题很难找到最优解，本文分别采用的优化fgoalattain函数和遗传算法对该规划问题进行求解。fgoalattainfgoalattain解供客户。fgoalattain满意满意解个数50 初始解个5-8fgoalattain10050个满意解和对应的 槽支撑面材料体长钢筋位木条槽长最1-面积最-用材最-进行多目标规划问题的求解多目标遗传算法的就是协调各目标函数之间的得 群开代数加开代数加 选前N 产生父代群Pt-否达到规定的最代数是结选择运算：轮赛制选 根据目标函数值进行速非支配排对Rt中的元素进行潮计算，求各目标函数随机产生初始群体输入网络参数、NSGA- 本文通过遗传算法工具箱的gamultiobj函数来实现上述算法，具当木条相交时，即左边各桌腿木条的𝑦bi<0时，使得目标槽长C=99999，支撑面积S=0，所用材料的体积V=99999，这样该样本的适应度很低，会马支撑面支撑面积的相反数00

0支撑面支撑面积的相反数

支撑面支撑面积的相反数

5-10500559-0-10000-10000区域.600综上所述，本文将600作为遗传算法的种群繁衍代数，利用 得到遗传算法的求解结果由于结果数据的庞大具体数据见附录四具体如下 槽支撑面材料体长钢筋位木条槽长最2面积最1用材最12cmgoalattain函39.99cm，显然与实际脱离。由上述两种求解方法得到了不同用户偏好的最优方案（表5-4和表5-6。对表5- 槽支撑面材料体长钢筋位木条槽长最1-面积最用材最1

050

-500

50

-500

50

-500

50

-500

050

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-500

50

-500

x，y轴坐标的改变。故本文先对问题一中桌腿木条顶端x，y轴坐标进行修正。为方便，本文将椭圆的长短半轴记为δ和μ。xoy空间直角坐标系。因此，椭圆的短半轴与长方形平板宽度的1相等，即μ=2

1𝑏2

𝑎𝑖=2

𝑖−1由于椭圆方程为𝑥2+𝑦2=1，得到𝑦′′

𝑥′′𝑦′′=𝑏√1−

（41（42 𝑥𝑎𝑖=2−𝑖−1𝑏 𝑦′′=𝑏√1−(2−𝑖−1

{

δ𝑧′′=ℎ′=ℎ−为方便，本文将菱形的两条对角线长度记为m和nxoy空间直角坐标系。因此菱形一条对角线长度与长方形平板的宽相等，即m=b。基于问题一的分析本文得到𝑥′′′

𝑎𝑖=2

𝑖−1由于菱形方程为𝑥+𝑦=1，得到𝑦′′′

𝑦′′′=𝑏−(1−𝑎𝑖 （45

𝑎𝑖=2

𝑖−1𝑏 𝑦′′′=𝑏×(1−2−𝑖−1

{

𝑧′′′=ℎ′=ℎ−客户给客户给出折叠判断桌面形状为椭圆菱得到折叠桌菱客户选择满意的桌脚边缘得到满足用仿真出解集边缘线形状变化动态图5- a=0

a=6

a=12

a=18 00

-50

050

0

-50

050

0

-50

050

0

-50a=24

a=30

a=36

a=42 00

-50

50

0

-50

50

0

-50

50

0

-505-13 （对角线长边度椭圆一（短半轴为桌面宽）0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

5-14表5- （短半轴度轴椭圆二（长半轴为桌面宽）六、模型评模型优为折叠桌生成提供了程序支持。可以根据客户需求通过程序输出折叠桌模型缺对折叠桌稳固性的缺乏力学理论分析，需要根据实际的木工理论进行下七、参考文曾君莲，直纹面及其应用，通讯，1910（3：胡运权，运筹学，：，2012的应用，电工技术学报，22（12：147-150，2007年。Pareto多目标遗传算法，系统工程，21（5：24-28，2003年。张晶，翟鹏程等，惩罚函数法在遗传算法处理约束问题中的应用，理工大学学报，24（2：57-29，2002年。史洁玉，，R2012a超级学习手册，：人民邮电孟晓刚 函数库查询辞典中国铁 智能算法30个案例分析（第一版： 姜启源等，数学模型（第四版，：高等教育，2011八、附空间直角坐标系xaW为方便，将钢筋所在的直线记为𝑙1，将长方形宽所在的直线记为𝑙2，将长方aW 钢M₁钢AbZZYOX𝑙1𝑙2x𝑙1𝑙2x1𝑥轴与𝐴1𝐴′′1{𝑥轴与𝐵′′𝐴′′相互垂

由上述位置关系以及直线垂直平面的判定定理可知𝑥轴垂直于平面𝐵′′𝐵1𝐴1𝐴′′，即空间直角坐标系x 端𝐴𝑖的xy𝑥𝑎𝑖𝑦𝑎𝑖𝑥𝑎𝑖

=(𝑏−(𝑊(𝑖−222 =√ 22

()−(− i=1,2,3⋯高度ℎ。桌面离地的真实高度ℎ′就是桌腿木条各个顶端𝐴𝑖的z坐标，记为𝑧𝑎。其满𝑧𝑎=ℎ′=ℎ− 综上所述，本文得到桌腿木条各个顶端𝐴𝑖 𝐴𝑖(𝑥𝑎𝑖,𝑦𝑎𝑖,

=(𝑏−(𝑊×(𝑖−222 =√ 22

()−(−𝑊× 𝑧𝑎=ℎ′=ℎ− i=1,2,3⋯𝐿𝑖=2− 本文将钢筋在各木条中的位置记为𝑀𝑖，其x,y,z坐标分别记为𝑥𝑚𝑖,𝑦𝑚𝑖,𝑧𝑚𝑖由之前的分析本文已经知道𝑥轴垂直于平面𝐵′′𝐵1𝐴1𝐴′′ 坐标处处相等。结合公式（6）可知𝑀𝑖的𝑥

=(𝑏−(𝑊(𝑖− 2（5 𝑚1=𝑦𝑎1−(2−𝑦𝑎1)cosθ×{

′𝑧𝑚1=′

−(2−𝑦𝑎1)sinθ×（2𝑦𝑚1=𝑦𝑚2=𝑦𝑚3=⋯=11

=

=

=⋯=

（7（8（9 𝑀𝑖(𝑥𝑚𝑖,𝑦𝑚𝑖, =

=(𝑏−(𝑊(𝑖−2

𝑚1=𝑦𝑎1−(2−𝑦𝑎1)cosθ×

=𝑧𝑚1=

′−(2−𝑦𝑎1)sinθ×′{

𝑖=1,2,3⋯本文将木条的底端所在点记为𝐵𝑖，其x,y,z坐标分别记为𝑥𝑏𝑖,𝑦𝑏𝑖,𝑧𝑏𝑖。下面本根据上述分析本文得到各木条顶端坐标𝐴𝑖(𝑥𝑎𝑖,𝑦𝑎𝑖,𝑧𝑎𝑖)

=

=

由公式（7）可知𝑥𝑚𝑖=𝑥𝑎𝑖𝑥= 𝑧=𝑦𝑚

)+

=𝑧𝑚𝑖−𝑧𝑎𝑖𝑦𝑚 𝑧=k𝑖×(𝑦−𝑦𝑎𝑖)+ 𝑥={𝑧=k𝑖×(𝑦−𝑦𝑎𝑖)+

表达式时，本文可以仅𝑦𝑏𝑖,𝑧𝑏𝑖。利用已知的条件和求解结果：木条顶端和𝑧𝑎𝑖=𝑘×(𝑦𝑎𝑖−𝑦𝑎𝑖)+

𝐿𝐿𝑖=(𝑦𝑏𝑖−𝑦𝑎𝑖)+(𝑧𝑏𝑖−求解上述方程组，本文得到𝐵𝑖的𝑦,𝑧𝑦𝑏𝑖,𝑧𝑏𝑖 =±𝐿𝑖+{

=±𝑘𝐿𝑖+

结合之前的有关分析，最终本文得到𝐵𝑖 𝐵𝑖(𝑥𝑏𝑖,𝑦𝑏𝑖,𝑥𝑏𝑖= =± +𝑦

√1+

=±𝑘𝐿𝑖+{

√1+

,（5；𝐿𝑖（6（13（14当折叠桌处于平面状态时时，本文将钢筋所在点𝑀𝑖到各木条顶端𝐴𝑖|𝑀𝐴|′=

−

（6

𝑖

2为|𝑀𝑖𝐴𝑖|。根据木条顶端𝐴𝑖坐标和钢筋在各木条中的位置𝑀𝑖坐标，本文可以得2|𝑀𝐴|=

−

𝑖

（10，𝑎𝑖（5𝐶=|𝑀𝐴|−|𝑀𝐴|′=

𝑖

𝑖

+(𝑧𝑚𝑖−

−𝐿𝑖−

（10𝑎

（5𝐿𝑖

。𝑗=2,3,4 −。forfori=1:klcao1=[lcao1(a-2*c(i))/2forj=1:101xlim([-80ylim([-80zlim([080]);holdonyg=c(1)+p*cos(theta)*(a-2*c(1))/2;%计算最木条钢筋固定点的坐forifzd>h ydd=[yddyd];zdd=[zddzd];xkk=[xkklong=[longsqrt((zd-h)^2-(yd-yk)^2)];%计算木条长度ifj==101lcao2=[lcao2sqrt((zg-h)^2+(yg-yk)^2)];%计算桌子变形最大后槽的位置xkk=[xkk-fliplr(xkk)];ydd=[yddfliplr(ydd)];zdd=[zddfliplr(zdd)];holdoff%%fgoalattainfori=1:nx=[x;x1];fal=[fal;fal1];functionlb=[2.1*h0.4ub=[10*h0.7 fgoalattain8-8-9-9-9---------------------------------8-8-8----4-------1--1-1-2-1---2-1-1-1-2-2--2-1-1-1-1---1--2-2-2-2--loadtga031000.matforif(h/((a/2)-c(1)))>1fori=1:klcao1=[lcao1(a-2*c(i))/4forj=1:8%xlim([-a/2-10ylim([-a/2-10zlim([0a/2+10]);holdonyg=c(1)+p*cos(theta)*(a-2*c(1))/2;%计算最木条钢筋固定点的坐forifzd>h ydd=[yddyd];zdd=[zddzd];xkk=[xkklong=[longsqrt((zd-h)^2-(yd-yk)^2)];%计算木条长度ifj==101lcao2=[lcao2sqrt((zg-h)^2+(yg-yk)^2)];%计算桌子变形最大后槽的位置xkk=[xkk-fliplr(xkk)];ydd=[yddfliplr(ydd)];zdd=[zddfliplr(zdd)];gridonholdofffor%%load2tga031000.matforif(h/((a/2)-c(1)))>1fori=1:klcao1=[lcao1(a-2*c(i))/4for%xlim([-a/2-10ylim([-a/2-10zlim([0a/2+10]);holdonyg=c(1)+p*cos(theta)*(a-2*c(1))/2;%计算最木条钢筋固定点的坐forifzd>h ydd=[yddyd];zdd=[zddz