数学七年级上：一元一次方程的应用 专项训练

一元一次方程的应用专项训练【例题精选】：例1某工厂去年的总产值是543.24万元，这比十年前的总产值的12倍还多1.8万元，那么十年前这个工厂的年总值是多少元？ 分析：此题中要求该工厂的十年前的总产值，于是可设它为未知数，即设该工厂的十年前的总产值为万元，所以，十年前的总产值的12倍，可写为代数式12，去年的总产值比十年前的12倍还多1.8万元，写为代数式就是12+1.8。又知去年的总产值为543.24万元，由于去年的总产值是一个不变量，所以可根据它来列方程。 解：设十年前的总产值为万元，根据题意得， 解得 答：这个工厂十年前的总产值为45.12万元。 小结：从这个例题中可以体会到列方程解应用题与小学的方法相比具有的灵活性与复杂性。下面再通过一个例子的讲解来总结列方程解应用题的步骤，方法。例2现有面值为5元和2元的人民币共32张，币值共计100元，问两种人民币各有多少张？ 分析：题中给出了两种不同的数量关系：1）币值不同的人民币的总张数；2）币值，由1）、2）能有下式成立： 2元的总币值+5元的总币值=总币值（100元） 而2元的总币值=2元×2元币值的人民币的张数 5元的总币值=5元×5元的人民币的总张数 且2元人民币的张数+5元人民币的张数=32，因此，上面的问题只要把上面所出现的2元的人民币张数或5元的人民币的张数之中的一个作为未知数，另一个量可由未知数表示出来，这个问题就不难进行求解。 解：设5元的人民币有 32－12=20 答：2元的人民币有20张，5元的人民币有12张。 小结：根据上面两个例题，可以总结出列方程解应用题的步骤如下： 1）审题。这一步要求弄清题意，找到题目中所含的数量关系，从中建立等量关系。 2）设出未知数，用这个未知数与已知数一起来表示出各数量的关系的代数式。 3）利用上述的代数式根据等量关系列方程。 4）求解方程。 5）检验方程的解，并判明其是否符合真实状况，例如，人数不能是半个或几分之几等。 6）答题要注意叙述完整，包括必备的单位不应有歧义或语句不通顺。 在上面的各步中，1）是基础，也是关键，读不懂题，就不知题目要做什么，给出了哪些关系；找不到等量关系，也无法依据各数量之间的关系的代数式来列方程。所以在解题中务必仔细读题，弄清其所隐含的各个量之间的关系。例3要锻造直径为0.5米，长为3米的圆柱形机轴8根，要用直径为0.8米的钢索多长？ 分析：此问题为等积问题，解决这类问题必须首先熟悉各种常见规则几何体的体积、面积公式，这些几何体一般为圆柱、正方体、长方体，几何图形一般为圆、正方形、长方形、三角形，要知道关于这些几何体和几何图形的体积、面积（或表面积）的公式，然后再找不变量，这类问题中不变的量一般是体积或面积，所以把该类问题称为等积问题。 本题中不变的为体积，8根机轴是由钢索锻造的，8根机轴的体积=所用钢索的体积，又知则本题不难列出方程 解：设要用直径为0.8米的钢索米，根据题意得， 答：要用直径为0.8米的钢索米。例4（数字问题）一个两位数，十位上的数比个位上的数小1，十位上与个位上的数字之和为这个数的，求这个两位数？ 分析：解决这类问题首先要能够区分数与数字的不同，数字仅指0至9这十个数，而数呢？是把相应的数字放到数位上才能够构成数。认识到数与数字的不同之后，还要求会用一个数的相应数位上的数字来表示这个数。这个表示规律就是，各个数位上的数字乘以相应的进制，再求和，即十位乘以10、百位乘以100，…举例来说，395应表示为3×100+9×10+5。知道了这些知识，把它应用于本例即可。因此，要求这个两位数，就要用其相应的数字来表示它，∵该两位数=十位上数字×10+个位数字，又由于十位上的数字=个位上的数字－1，十位上的数字+个位上的数字=×该两位数，基于上面量的分析，我们只要设出个位或十位上的数字，其他均可迎刃而解。 解：设个位上的数字为 答：这个两位数为45。例5（劳力调配问题）在甲处劳动有27人，在乙处劳动有19人，（1）如果现调20人去支援，使在甲处的人数为在乙处人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？（2）如果从甲处抽调一部分人给乙，则从甲抽调多少人才能使甲、乙两处劳动的人数相同？ 分析：劳力调配问题涉及的为人或物等的调入或调出。在原有的基础上调入了新的力量，表明原有的量增加了，若在原有的基础上调出了，则说明原有的量减少了。要解决这类问题，关键要搞清楚：是调入还是调出？从哪里向哪里调入（出）？对于本例是从外面调入，且甲、乙两方均要调入，因此双方的劳动人数均要增加，且双方增加的人数之和为总支援人数20人，而（2）是从甲方向乙方调入，说明甲方减少，乙方增加，但甲乙双方的劳动总人数并不变，基于上面分析，对于本例中（1）的问题，只要设出调往甲处（或乙处）的人数，则可相应表示出调往另一方的人数，在甲处，乙处的工作人数，再根据甲、乙二处人数的比较（甲处人数是乙处人数的2倍）可列方程；而对本例中（2）的问题，可设从甲处调往乙处的人数为乙总人数，可以列出方程。 解：（1）设调往甲处人，根据题意得， 答：应调往甲处17人，调往乙处3人。 （2）设从甲处调往乙处 答：应从甲处调往乙处4人。 小结：题（2）也可以列出如下方程求解： （1） （2） 所得答案与上面完全相同。例6（比例分配问题）配制一种黑色火药，硫磺、硝、木炭的比为1∶2∶3，要配火药1218千克，问各需多少？ 分析：题中的1∶2∶3表明硫磺占1份，硝占2份，木炭占3份，如果把1218千克看成一个整体的话，它就要被分成6份（其中1份的硫磺，2份的硝和3份的木炭）因此，要求各成分在成品中所占的量就首先要知道每一份是多少，然后根据各成分所占的比例再进行调整。 解：设每份为根据题意得， 答：需硫磺203千克，需硝406千克，需木炭609千克。例7（工程问题）一件工作，甲独做15天完成，乙独做30天完成，甲先做5天之后乙又做了10天，剩余工作由甲、乙二人合作完成，需几天？ 分析：若设剩余工作需天完成，可以列出下表：工作效率工作时间工作量甲5天乙10天甲乙合作x天 而且，甲、乙所完成的工作量之和为全部的总工作量1，所以又有如下等量关系 甲独做的工作量+乙独作的工作量+甲、乙合作的工作量=1 或者：甲的工作量+乙的工作量=1，则根据上面可以列方程。 解：设甲乙二人合作 答：还需天，甲、乙可以合作完成全部工作。 小结：此题也可根据分析中的第2个等式关系列方程：仍设甲、乙合作需天完成，则有 例8要用含氨0.12%的氨水进行菜田追肥，现有含氨18%的氨水40千克，配制时需加水多少千克？ 分析：要解决浓度问题，必须明确浓度问题中的几个量的关系： 溶质+溶剂=溶液 溶液的浓度= 然后找到其中的不变量，在不同的形式下表示出不变量，以不变量作为等式关系，列出方程，本题中，溶剂（水）、溶液（氨水）、浓度均在变化中，仅有溶质（氨）在加水前，后均不变，在加水前的氨水中含氨（如设加水千克的话）应为18%×40千克，在加水后的氨水中含氨则应为0.12%(40+x)千克，因此又由： 加水前的氨=加水后的氨可列方程。 解：设加水千克，则根据题意得， 0.12%(40+x)=18%×40 解得， 0.048+0.12%x=7.2 0.12%x=7.125 x=5960 答：应加水5960千克。例9有含铁分别为15%、30%、60%的矿石，如果分别取出一部分配成含铁30%的矿石粉400千克，若30%的矿石粉需占总量的一半，则其他两种各取多少千克？ 分析：这属于浓度问题中的配比问题，仍考虑根据各量之间关系，找出其中的不变量，根据不变量来列方程，本题中矿石粉中的含铁量在配成30%的矿石粉之前、之后是不变的，因此若设取15%的矿石粉x千克，则因30%的矿石粉占总量的一半为千克，所以，60%的矿石粉应为400即在配成30%的矿石粉之前含铁，在配成30%的矿石粉之后含铁=30%×400，所以本问题即可解决。 解：设取15%的矿石粉的矿石粉需取＄千克，根据题意得， 解得， 答：需取15%的矿石粉例10（行程问题）甲、乙两个火车站之间的距离为390千米，慢车从甲站开出，每小时行驶52千米，快车从乙站开出，每小时行驶78千米。 1）两车同时开出，相向而行，出发后多少小时相遇？ 2）两车相向而行，慢车先于快车30分钟开出，快车行驶多少时间两车相遇？ 3）两车同时开出，同向而行，若慢车在前，快车在后，出发后多少小时快车追上慢车。 分析：以 要解决行程问题，画示意图是帮助思考的重要方法； （1） 从上图有 （2） 由上图有： （3） 由上图有： 解：1） 答：两车开出后，3小时后相遇。 2）设快车开车后小时相遇，根据题意得 答：快车开出后2.8小时两车相遇。 3）设两车开出后小时快车追上慢车，根据题意得 答：两车开出后15小时快车追上慢车。 小结：从本例可以获得解决行程问题中的相遇问题的公式为，解决行程问题中的追及问题的公式为，以后在解决行程问题时，根据不同情况，选用适当公式可以达到事半功倍之目的。例11已知船在静水中的速度为10米/秒， （1）若水速为2米/秒，求顺水、逆水速度？ （2）若船顺水行驶了5小时之后，又沿原路返回行驶了7小时30分，问水速是多少？ 分析：解决这个问题，只要明确：顺水速度（或顺风速度）=静水速度（或无风速度）+水速（或风速），逆水速度（逆风速度）=静水速度（无风速度）－水速（风速），再由行程问题的基本公式就可以进行求解。这类问题，对本例中（1）直接根据上述公式可求对本例中（2），由于去与回的路程相同，只是速度与所用时间不同，则根据不同情况也可列方程。 解：（1）设顺水速度为 设逆水速度为 答：顺水速度12米/秒，逆水速度8米/秒。 （2）设水速根 据题意得， 答：水速为2米/秒。 小结：在解决应用题中，所用单位一定要统一，否则将导致不应有的错误。如本例中时间的单位有小时，有分钟，统一为同一单位，后进行列方程才不会导致错误。【专项训练】：90分钟 1、长方体甲的长、宽、高分别为260mm，150mm，325mm，长方体乙的底面积为130×130mm2，又知甲的体积是乙的体积的2.5倍，求乙的高？ 2、两个仓库装粮食，第一个仓库是第二个仓库存粮的3倍，如果从第一个仓库中取出20吨放入第二个仓库中，第二个仓库中的粮食是第一个中的问每个仓库各有多少粮食？ 3、甲、乙、丙三个乡合修水利工程，按照受益土地的面积比3∶2∶4分担费用1440元，三个乡各分配多少元？ 4、一个两位数，十位数与个位上的数字之和为11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么得到的数比原来的数大63，求原来的两位数？ 5、一项工程甲单独做需要10天，乙需要12天，丙单独做需要15天，甲、丙先做3天后，甲因事离去，乙参与工作，问还需几天完成？ 6、有含盐8%的盐水40kg，要使盐水含盐20%，问有几种方法得到？如果加盐，需加盐多少千克？如果蒸发掉水份，需蒸发掉多少千克的水？ 7、现有含酒精70%及含酒精98%的两种酒精，问各取多少可配成含酒精84%的酒精100千克？ 8/r/