材料力学：第四章 弯曲内力

材料力学第四章弯曲内力2022年11月8日§4-1

基本概念及工程实例§4-4剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图§4-3

梁的剪力和弯矩§4-6

平面刚架和曲杆的内力图

§4-5

剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系第四章弯曲内力§4-2

受弯杆件的简化一.工程实例§4-1基本概念及工程实例工厂厂房的天车大梁：FF4.1

弯曲概念和实例火车的轮轴：FFFF4.1

弯曲概念和实例楼房的横梁：阳台的挑梁：4.1

弯曲概念和实例2.平面弯曲：几何特点：梁有一个纵向对称面受力特点：外力作用在对称面内变形特点：梁的轴线变形后成为对称面内的平面曲线

二、梁的基本概念1、梁以弯曲变形为主的杆件4.1

弯曲概念和实例AB对称轴纵向对称面梁变形后的轴线与外力在同一平面内梁的轴线RAF1F2RB4.1

弯曲概念和实例3.支座的简化1.梁的简化通常取梁的轴线来代替梁。2.载荷的简化集中力集中力偶分布载荷

可动铰支座FAAAAA4.2

受杆件的简化§4-2受弯杆件的简化固定铰支座固定端支座AAAFAyAFAxFyFxM4.2

受杆件的简化悬臂梁简支梁外伸梁4.静定梁的基本形式4.2

受杆件的简化一、内力计算引例已知如图，F，a，l.

求距A端x处截面上内力.解:求支座反力BAalFRAXARBABF§4-3梁的剪力和弯矩求内力——截面法弯曲构件内力剪力弯矩MRAXARBABFmmxRAFSCFRBFSCM4.3

剪力和弯矩FSdxmmFS+1、剪力符号使dx

微段有左端向上而右端向下的相对错动时,横截面m-m

上的剪力为正。或使dx微段有顺时针转动趋势的剪力为正.二、内力的符号规定使dx微段有左端向下而右端向上的相对错动时，横截面m-m上的剪力为负.或使dx微段有逆时针转动趋势的剪力为负.dxmmFSFS-4.3

剪力和弯矩

当dx

微段的弯曲下凸（即该段的下半部受拉）时，横截面m-m上的弯矩为正；2、弯矩符号mm+（受拉）MM

当dx

微段的弯曲上凸（即该段的下半部受拉压）时，横截面m-m

上的弯矩为负mm（受压）MM-4.3

剪力和弯矩解(1)求梁的支反力RA

和RB例题1图示梁的计算简图。已知F1、F2，且F2>F1

，

尺寸a、b、c和l亦均为已知.试求梁在E

点处横截面处

的剪力和弯矩.RBBEDAabclCF1F2RA4.3

剪力和弯矩记E

截面处的剪力为FSE

和弯矩

ME，且假设FSE

和弯矩ME

的指向和转向均为正值.解得RBBEDAabclCF1F2RAMEAECFSERAF1a4.3

剪力和弯矩取右段为研究对象解得RBBEDAabclCF1F2RARBb-cDl-cBEFSEF2ME4.3

剪力和弯矩左上右下剪力为正三、计算规律1、剪力左顺右逆弯矩为正。2、弯矩4.3

剪力和弯矩1.2kN/m0.8kNAB1.5m1.5m3m2m1.5m1122例2.梁1-1、2-2截面处的内力。解：确定支座反力RARB1-1截面左段右侧截面：2--2截面右段左侧截面：4.3

剪力和弯矩解例题3求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩.(1）求支座反力RA=4kNRB=-4kNC12m(2）求1-1截面的内力(3）求2-2截面的内力B1m2.5m10kN.mAC12RARB4.3

剪力和弯矩FS=FS(x)M=M(x)一、剪力方程和弯矩方程

用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程.1、剪力方程2、弯矩方程§4-4

剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图弯矩图为正值画在x轴上侧，负值画在x轴下侧二、剪力图和弯矩图剪力图为正值画在x轴上侧，负值画在x轴下侧

以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图xFs(x)Fs图的坐标系OM

图的坐标系xOM(x)4.4

剪力图和弯矩图例题4如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载F作用,试作此梁的剪力图和弯矩图.BAFlx解

坐标如图，梁的剪力方程和弯矩方程为FSxFFlxM4.4

剪力图和弯矩图4.4

剪力图和弯矩图lqRARBABx(2）列剪力方程和弯矩方程.例题5图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载用.试作此梁的的剪力图和弯矩图.解(1)求支反力+ql/2ql/2BlqRAAxRB+l/2剪力为零处弯矩值最大,受力对称，剪力图反对称，弯矩图正对称。4.4

剪力图和弯矩图解(1)求梁的支反力例题6图示的简支梁在C点处受集中荷载

P作用.试作此梁的剪力图和弯矩图.lFABCabRARB因为AC段和CB段的内力方程不同，所以必须分段写剪力方程和弯矩方程.将坐标原点取在梁的左端4.4

剪力图和弯矩图集中力作用处，剪力值(图)有突变

.突变

值等于集中力F，弯矩图形成尖角，该处弯矩值最大.xxlFABCabRARB++4.4

剪力图和弯矩图思考：移动荷载F

移动到什么位置，梁有最大弯矩？ABFlx4.4

剪力图和弯矩图解

求梁的支反力例题7图示的简支梁在C点处受矩为m的集中力偶作用.试作此梁的的剪力图和弯矩图.将坐标原点取在梁的左端，列出剪力方程和弯矩方程：RBlABCabRAm4.4

剪力图和弯矩图AC段CB段弯矩方程RBxxlABCabRAm(2)剪力方程(3)FS+M梁上集中力偶作用处的弯矩值(图)发生突变，其突变值等于集中力偶矩的数值.此处剪力图没有变化.4.4

剪力图和弯矩图ABC平面刚架是由在同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连结而组成的结构.☆平面刚架的内力图弯矩图画在各杆的受压側，不注明正，负号.剪力图及轴力图可画在刚架轴线的任一側(通常正值画在

刚架的外側).注明正，负号.2、内力图符号的规定1、平面刚架的内力剪力；弯矩；轴力。4.6

平面曲杆的弯曲内力例题8图示为下端固定的刚架.在其轴线平面内受集中力F1

和F2

作用，作此刚架的弯矩图和轴力图.alF1F2ABC解：将刚架分为CB，AB

两段CB

段FN(x)=0M(x)=-F1x(0x

a)FS(x)=F1(+)(0<x

<a)M(x)FN(x)FS(x)CxF1xalF1F2ABCFS(x)CBaF1F2FN(x)M(x)xBA

段FN(x)=F1（—）

(0x

l)M(x)=-F1a=-F2

x

(0x

l)FS(x)=F2(+)(0<x<l)CB段FN(x)=0

BA段FN(x)=F1（—）FN图F1|CalF1F2ABCB段BA段FS(x)=F2(+)FS(x)=F1(+)Fs图F1+F2+CalF1F2ABM图F1aF1aF1a+F2lCB段

M(x)=F1x(0x

a)BA段

M(x)=-F1a=-F2

x

(0x

l)水平段的画法同直梁相同，竖直段只需顺时针转过90º就与直梁相同。Ca1.5aFFABxyFaFa0.5Fa例4.9

作图示刚架的弯矩图。解：弯矩图如图所示。设梁上作用有任意分布荷载其集度一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系q=q(x)规定

q(x)向上为正.将x轴的坐标原点取在梁的左端.xyq(x)Fm§4-5

剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系xyq(x)FmFs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)假想地用坐标为x

和x+dx的两横截面m-m和n-n从梁中取出dx

一段.mmnnq(x)Cx+dx

截面处则分别为

FS(x)+dFS(x),M(x)+dM(x).由于dx很小，略去q(x)

沿dx的变化.m-m截面上内力为FS(x),M(x)xmmnn

dx4.5

q、Q、M

的关系Fs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)mmnnq(x)C写出平衡方程得到

略去二阶无穷小量即得4.5

q、Q、M

的关系讨论：1、梁上无荷载区段，即

q(x)=0剪力图为一条水平直线.弯矩图为一斜直线.xFs(x)OxOM(x)OM(x)x4.5

q、Q、M

的关系M(x)图为二次抛物线.FS(x)图为斜直线.2、q(x)=C（常数）xOM(x)q(x)<0q(x)>0xOM(x)盾对着矛4.5

q、Q、M

的关系3、梁上最大弯矩Mmax可能发生在FS(x)=0的截面上;或发生在集中力所在的截面上；或集中力偶作用处；最大剪力可能发生在集中力所在的截面上；或分布载荷发生变化的区段上.4、在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中力的值.弯矩图有转折.5、在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化.4.5

q、Q、M

的关系二、分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系若在a和b

两个横截面之间无集中力，则abq(x)4.5

q、Q、M

的关系若横截面A,B

间无集中力偶作用则得abq(x)4.5

q、Q、M

的关系三、快速作图法微分关系定性积分关系定量辅以突变规律4.5

q、Q、M

的关系例题9一简支梁受两个力F作用，如图所示。有关尺寸如图所示.试用本节所述关系作此梁的剪力图和弯矩图.解求梁的支反力画剪力图和弯矩图FFaaCDAB+F.aM+FFFS4.5

q、Q、M

的关系例题10一简支梁受均布荷载作用，其集度q=100kN/m,如图

所示。试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图。

解梁的支反力RARBEqABCD0.21.612+80kN80kNFSkN.m+161648M画剪力图和弯矩图4.5

q、Q、M

的关系FFaaCDABaRARB例题11一简支梁受力如图

所示，试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图.

解：支反力为

-+++-结构对称、受力反对称，则剪力图正对称，弯矩图反对称。

4.5

q、Q、M

的关系AB2/3qa21/3qa2CD1/3qa2++-ABqaaaaCDqa22/3qa1/3qaAB+2/3qa1/3qaCD-例12：利用微分关系画剪力弯矩图4.5

q、Q、M

的关系ABa/2--+qaCqaAB5/4qa2qa2qa2C

-例13：利用微分关系快速画剪力弯矩图qaqa22qaaACBqa4.5

q、Q、M

的关系1.41例14：外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的FS—M图。解：1、求支反力2、判断各段