二次根式 优质课获奖课件

二次根式本章内容第5章二次根式本章内容第5章二次根式本课内容本节内容5.1二次根式本课内容本节内容5.1说一说正实数a的平方根是.运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.而第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：，其中重力加速度常数若已知地球半径R，则第一宇宙速度v是多少？（2）（1）

5的平方根是，0的平方根是，正实数a的平方根是.（1）

5的平方根是，0的平方根是，正实数a的平方根是.0的平方根是，说一说正实数a的平方根是.运用运载火箭发射航天5的平方根是，0的平方根是0，正实数a的平方根是．

因为速度一定大于0，所以第一宇宙速度5的平方根是，0的平方根是0，正实数a的平方根是

由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义．

我们把形如的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.

我们已经知道：每一个正实数a有且只有两个平方根，一个记作，称为a的算术平方根；另一个是由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当我举例例1当x是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义？

解由x-1≥0，解得x≥1.因此，当x≥1时，

在实数范围内有意义.举例1当x是怎样的实数时，二次根式解由

在本套教材中，我们都是在实数范围内讨论二次根式有没有意义，今后不再每次写出“在实数范围内”这几个字.注意在本套教材中，我们都是在实数范围内讨论二次根结论

对于非负实数a，由于

是a的一个平方根，因此结论对于非负实数a，由于是a的一个平方根，举例例2计算：

解举例2计算：解填空：做一做…=

；=

；=

；21.2

根据上述结果猜想，当a≥0时，.填空：做一做…=；结论由于a的平方等于a2

，因此a是a2的一个平方根.

当a≥0时，根据算术平方根的意义，有，由此得出：结论由于a的平方等于a2，因此a是a2的一个平方根.当a举例例3计算：

解举例3计算：解议一议议一议议一议议一议议一议议一议一般地，当a<0时，因此，我们可以得到：

当a<0时，是否仍然成立？为什么？议一议议一议议一议议一议议一议议一议一般地，当a<0时，1.当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？

练习答案：x≤1答案：x≥1.当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？练习答2.计算：

答案：3答案：2.计算：答案：3答案：3.计算：

答案：7答案：3答案：0.013.计算：答案：7答案：3答案：0.01动脑筋

计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？

动脑筋计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？一般地，当a≥0，b≥0时，由于一般地，当a≥0，b≥0时，由于结论由此得出：

上述公式从左到右看，是积的算术平方根的性质.

利用这一性质，可以化简二次根式．结论由此得出：上述公式从左到右看，是积的算术平方例4化简下列二次根式．举例例4化简下列二次根式．举解

化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.解化简二次根式

今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一举例例5化简下列二次根式．举例5化简下列二次根式．解

化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.解解化简二次根式时，解

从例4、例5可以看出，这些式子的最后结果，具有以下特点：（1）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；（2）被开方数不含分母.

在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.结论从例4、例5可以看出，这些式子的最后结果，练习

化简下列二次根式．练习化简下列二次根式．解解解解

化简下列二次根式．化简下列二次根式．解解结束结束二次根式本章内容第5章二次根式本章内容第5章二次根式本课内容本节内容5.1二次根式本课内容本节内容5.1说一说正实数a的平方根是.运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.而第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：，其中重力加速度常数若已知地球半径R，则第一宇宙速度v是多少？（2）（1）

5的平方根是，0的平方根是，正实数a的平方根是.（1）

5的平方根是，0的平方根是，正实数a的平方根是.0的平方根是，说一说正实数a的平方根是.运用运载火箭发射航天5的平方根是，0的平方根是0，正实数a的平方根是．

因为速度一定大于0，所以第一宇宙速度5的平方根是，0的平方根是0，正实数a的平方根是

由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义．

我们把形如的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.

我们已经知道：每一个正实数a有且只有两个平方根，一个记作，称为a的算术平方根；另一个是由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当我举例例1当x是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义？

解由x-1≥0，解得x≥1.因此，当x≥1时，

在实数范围内有意义.举例1当x是怎样的实数时，二次根式解由

在本套教材中，我们都是在实数范围内讨论二次根式有没有意义，今后不再每次写出“在实数范围内”这几个字.注意在本套教材中，我们都是在实数范围内讨论二次根结论

对于非负实数a，由于

是a的一个平方根，因此结论对于非负实数a，由于是a的一个平方根，举例例2计算：

解举例2计算：解填空：做一做…=

；=

；=

；21.2

根据上述结果猜想，当a≥0时，.填空：做一做…=；结论由于a的平方等于a2

，因此a是a2的一个平方根.

当a≥0时，根据算术平方根的意义，有，由此得出：结论由于a的平方等于a2，因此a是a2的一个平方根.当a举例例3计算：

解举例3计算：解议一议议一议议一议议一议议一议议一议一般地，当a<0时，因此，我们可以得到：

当a<0时，是否仍然成立？为什么？议一议议一议议一议议一议议一议议一议一般地，当a<0时，1.当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？

练习答案：x≤1答案：x≥1.当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？练习答2.计算：

答案：3答案：2.计算：答案：3答案：3.计算：

答案：7答案：3答案：0.013.计算：答案：7答案：3答案：0.01动脑筋

计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？

动脑筋计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？一般地，当a≥0，b≥0时，由于一般地，当a≥0，b≥0时，由于结论由此得出：

上述公式从左到右看，是积的算术平方根的性质.

利用这一性质，可以化简二次根式．结论由此得出：上述公式从左到右看，是积的算术平方例4化简下列二次根式．举例例4化简下列二次根式．举解

化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.解化简二次根式

今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一举例例5化简下列二次根式．举例5化简下列二次根式．解

化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.解解化简二次根式时，解

从例4、例5可以看出，这些式子的最后结果，具有以下特点：（1）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；（2）被开方数不含分母.

在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.结论从例4、例5可以看出，这些式子的最后结果，练习

化简下列二次根式．练习化简下列二次根式．解解解解

化简下列二次根式．化简下列二次根式．解解结束结束二次根式本章内容第5章二次根式本章内容第5章二次根式本课内容本节内容5.1二次根式本课内容本节内容5.1说一说正实数a的平方根是.运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.而第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：，其中重力加速度常数若已知地球半径R，则第一宇宙速度v是多少？（2）（1）

5的平方根是，0的平方根是，正实数a的平方根是.（1）

5的平方根是，0的平方根是，正实数a的平方根是.0的平方根是，说一说正实数a的平方根是.运用运载火箭发射航天5的平方根是，0的平方根是0，正实数a的平方根是．

因为速度一定大于0，所以第一宇宙速度5的平方根是，0的平方根是0，正实数a的平方根是

由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义．

我们把形如的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.

我们已经知道：每一个正实数a有且只有两个平方根，一个记作，称为a的算术平方根；另一个是由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当我举例例1当x是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义？

解由x-1≥0，解得x≥1.因此，当x≥1时，

在实数范围内有意义.举例1当x是怎样的实数时，二次根式解由

在本套教材中，我们都是在实数范围内讨论二次根式有没有意义，今后不再每次写出“在实数范围内”这几个字.注意在本套教材中，我们都是在实数范围内讨论二次根结论

对于非负实数a，由于

是a的一个平方根，因此结论对于非负实数a，由于是a的一个平方根，举例例2计算：

解举例2计算：解填空：做一做…=

；=

；=

；21.2

根据上述结果猜想，当a≥0时，.填空：做一做…=；结论由于a的平方等于a2

，因此a是a2的一个平方根.

当a≥0时，根据算术平方根的意义，有，由此得出：结论由于a的平方等于a2，因此a是a2的一个平方根.当a举例例3计算：

解举例3计算：解议一议议一议议一议议一议议一议议一议一般地，当a<0时，因此，我们可以得到：

当a<0时，是否仍然成立？为什么？议一议议一议议一议议一议议一议议一议一般地，当a<0时，1.当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？

练习答案：x≤1答案：x≥1.当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？练习答2.计算：

答案：3答案：2.计算：答案：3答案：3.计算：

答案：7答案：3答案：0.013.计算：答案：7答案：3答案：0.01动脑筋

计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？

动脑筋计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？一般地，当a≥0，b≥0时，由于一般地，当a≥0，b≥0时，由于结论由此得出：

上述公式从左到右看，是积的算术平方根的性质.

利用这一性质，可以化简二次根式．结论由此得出：上述公式从左到右看，是积的算术平方例4化简下列二次根式．举例例4化简下列二次根式．举解

化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.解化简二次根式

今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一举例例5化简下列二次根式．举例5化简下列二次根式．解

化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.解解化简二次根式时，解

从例4、例5可以看出，这些式子的最后结果，具有以下特点：（1）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；（2）被开方数不含分母.

在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.结论从例4、例5可以看出，这些式子的最后结果，练习

化简下列二次根式．练习化简下列二次根式．解解解解

化简下列二次根式．化简下列二次根式．解解结束结束二次根式本章内容第5章二次根式本章内容第5章二次根式本课内容本节内容5.1二次根式本课内容本节内容5.1说一说正实数a的平方根是.运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.而第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：，其中重力加速度常数若已知地球半径R，则第一宇宙速度v是多少？（2）（1）

5的平方根是，0的平方根是，正实数a的平方根是.（1）

5的平方根是，0的平方根是，正实数a的平方根是.0的平方根是，说一说正实数a的平方根是.运用运载火箭发射航天5的平方根是，0的平方根是0，正实数a的平方根是．

因为速度一定大于0，所以第一宇宙速度5的平方根是，0的平方根是0，正实数a的平方根是

由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义．

我们把形如的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.

我们已经知道：每一个正实数a有且只有两个平方根，一个记作，称为a的算术平方根；另一个是由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当我举例例1当x是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义？

解由x-1≥0，解得x≥1.因此，当x≥1时，

在实数范围内有意义.举例1当x是怎样的实数时，二次根式解由

在本套教材中，我们都是在实数范围内讨论二次根式有没有意义，今后不再每次写出“在实数范围内”这几个字.注意在本套教材中，我们都是在实数范围内讨论二次根结论

对于非负实数a，由于

是a的一个平方根，因此结论对于非负实数a，由于是a的一个平方根，举例例2计算：

解举例2计算：解填空：做一做…=

；=

；=

；21.2

根据上述结果猜想，当a≥0时，.填空：做一做…=；结论由于a的平方等于a2

，因此a是a2的一个平方根.

当a≥0时，根据算术平方根的意义，有，由此得出：结论由于a的平方等于a2，因此a是a2的一个平方根.当a举例例3计算：

解举例3计算：解议一议议一议议一议议一议议一议议一议一般地，当a<0时，因此，我们可以得到：

当a<0时，是否仍然成立？为什么？议一议议一议议一议议一议议一议议一议一般地，当a<0时，1.当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？

练习答案：x≤1答案：x≥1.当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？练习答2.计算：

答案：3答案：2.计算：答案：3答案：3.计算：

答案：7答案：3答案：0.013.计算：答案：7答案：3答案：0.01动脑筋

计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？

动脑筋计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？一般地，当a≥0，b≥0时，由于一般地，当a≥0，b≥0时，由于结论由此得出：

上述公式从左到右看，是积的算术平方根的性质.

利用这一性质，可以化简二次根式．结论由此得出：上述公式从左到右看，是积的算术平方例4化简下列二次根式．举例例4化简下列二次根式．举解

化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.解化简二次根式

今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一举例例5化简下列二次根式．举例5化简下列二次根式．解

化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.解解化简二次根式时，解

从例4、例5可以看出，这些式子的最后结果，具有以下特点：（1）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；（2）被开方数不含分母.

在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.结论从例4、例5可以看出，这些式子的最后结果，练习

化简下列二次根式．练习化简下列二次根式．解解解解

化简下列二次根式．化简下列二次根式．解解结束结束二次根式本章内容第5章二次根式本章内容第5章二次根式本课内容本节内容5.1二次根式本课内容本节内容5.1说一说正实数a的平方根是.运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.而第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：，其中重力加速度常数若已知地球半径R，则第一宇宙速度v是多少？（2）（1）

5的平方根是，0的平方根是，正实数a的平方根是.（1）

5的平方根是，0的平方根是，正实数a的平方根是.0的平方根是，说一说正实数a的平方根是.运用运载火箭发射航天5的平方根是，0的平方根是0，正实数a的平方根是．

因为速度一定大于0，所以第一宇宙速度5的平方根是，0的平方根是0，正实数a的平方根是

由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义．

我们把形如的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.

我们已经知道：每一个正实数a有且只有两个平方根，一个记作，称为a的算术平方根；另一个是由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当我举例例1当x是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义？

解由x-1≥0，解得x≥1.因此，当x≥1时，

在实数范围内有意义.举例1当x是怎样的实数时，二次根式解由

在本套教材中，我们都是在实数范围内讨论二次根式有没有意义，今后不再每次写出“在实数范围内”这几个字.注意在本套教材中，我们都是在实数范围内讨论二次根结论

对于非负实数a，由于

是a的一个平方根，因此结论对于非负实数a，由于是a的一个平方根，举例例2计算：

解举例2计算：解填空：做一做…=

；=

；=

；21.2

根据上述结果猜想，当a≥0时，.填空：做一做…=；结论由于a的平方等于a2

，因此a是a2的一个平方根.

当a≥0时，根据算术平方根的意义，有，由此得出：结论由于a的平方等于a2，因此a是a2的一个平方根.当a举例例3计算：

解举例3计算：解议一议议一议议一议议一议议一议议一议一般地，当a<0时，因此，我们可以得到：

当a<0时，是否仍然成立？为什么？议一议议一议议一议议一议议一议议一议一般地，当a<0时，1.当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？

练习答案：x≤1答案：x≥1.当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？练习答2.计算：

答案：3答案：2.计算：答案：3答案：3.计算：

答案：7答案：3答案：0.013.计算：答案：7答案：3答案：0.01动脑筋

计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？

动脑筋计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？一般地，当a≥0，b≥0时，由于一般地，当a≥0，b≥0时，由于结论由此得出：

上述公式从左到右看，是积的算术平方根的性质.

利用这一性质，可以化简二次根式．结论由此得出：上述公式从左到右看，是积的算术平方例4化简下列二次根式．举例例4化简下列二次根式．举解

化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.解化简二次根式

今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一举例例5化简下列二次根式．举例5化简下列二次根式．解

化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.解解化简二次根式时，解

从例4、例5可以看出，这些式子的最后结果，具有以下特点：（1）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；（2）被开方数不含分母.

在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.结论从例4、例5可以看出，这些式子的最后结果，练习

化简下列二次根式．练习化简下列二次根式．解解解解

化简下列二次根式．化简下列二次根式．解解结束结束二次根式本章内容第5章二次根式本章内容第5章二次根式本课内容本节内容5.1二次根式本课内容本节内容5.1说一说正实数a的平方根是.运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.而第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：，其中重力加速度常数若已知地球半径R，则第一宇宙速度v是多少？（2）（1）

5的平方根是，0的平方根是，正实数a的平方根是.（1）

5的平方根是，0的平方根是，正实数a的平方根是.0的平方根是，说一说正实数a的平方根是.运用运载火箭发射航天5的平方根是，0的平方根是0，正实数a的平方根是．

因为速度一定大于0，所以第一宇宙速度5的平方根是，0的平方根是0，正实数a的平方根是

由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义．

我们把形如的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.

我们已经知道：每一个正实数a有且只有两个平方根，一个记作，称为a的算术平方根；另一个是由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当我举例例1当x是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义？

解由x-1≥0，解得x≥1.因此，当x≥1时，

在实数范围内有意义.举例1当x是怎样的实数时，二次根式解由

在本套教材中，我们都是在实数范围内讨论二次根式有没有意义，今后不再每次写出“在实数范围内”这几个字.注意在本套教材中，我们都是在实数范围内讨论二次根结论

对于非负实数a，由于

是a的一个平方根，因此结论对于非负实数a，由于是a的一个平方根，举例例2计算：

解举例2计算：解填空：做一做…=

；=

；=

；21.2

根据上述结果猜想，当a≥0时，.填空：做一做…=；结论由于a的平方等于a2

，因此a是a2的一个平方根.

当a≥0时，根据算术平方根的意义，有，由此得出：结论由于a的平方等于a2，因此a是a2的一个平方根.当a举例例3计算：

解举例3计算：解议一议议一议议一议议一议议一议议一议一般地，当a<0时，因此，我们可以得到：

当a<0时，是否仍然成立？为什么？议一议议一议议一议议一议议一议议一议一般地，当a<0时，1.当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？

练习答案：x≤1答案：x≥1.当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？练习答2.计算：

答案：3答案：2.计算：答案：3答案：3.计算：

答案：7答案：3答案：0.013.计算：答案：7答案：3答案：0.01动脑筋

计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？

动脑筋计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？一般地，当a≥0，b≥0时，由于一般地，当a≥0，b≥0时，由于结论由此得出：

上述公式从左到右看，是积的算术平方根的性质.

利用这一性质，可以化简二次根式．结论由此得出：上述公式从左到右看，是积的算术平方例4化简下列二次根式．举例例4化简下列二次根式．举解

化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.解化简二次根式

今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一举例例5化简下列二次根式．举例5化简下列二次根式．解

化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.解解化简二次根式时，解

从例4、例5可以看出，这些式子的最后结果，具有以下特点：（1）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；（2）被开方数不含分母.

在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.结论从例4、例5可以看出，这些式子的最后结果，练习

化简下列二次根式．练习化简下列二次根式．解解解解

化简下列二次根式．化简下列二次根式．解解结束结束二次根式本章内容第5章二次根式本章内容第5章二次根式本课内容本节内容5.1二次根式本课内容本节内容5.1说一说正实数a的平方根是.运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.而第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：，其中重力加速度常数若已知地球半径R，则第一宇宙速度v是多少？（2）（1）

5的平方根是，0的平方根是，正实数a的平方根是.（1）

5的平方根是，0的平方根是，正实数a的平方根是.0的平方根是，说一说正实数a的平方根是.运用运载火箭发射航天5的平方根是，0的平方根是0，正实数a的平方根是．

因为速度一定大于0，所以第一宇宙速度5的平方根是，0的平方根是0，正实数a的平方根是

由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义．

我们把形如的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.

我们已经知道：每一个正实数a有且只有两个平方根，一个记作，称为a的算术平方根；另一个是由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当我举例例1当x是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义？

解由x-1≥0，解得x≥1.因此，当x≥1时，

在实数范围内有意义.举例1当x是怎样的实数时，二次根式解由

在本套教材中，我们都是在实数范围内讨论二次根式有没有意义，今后不再每次写出“在实数范围内”这几个字.注意在本套教材中，我们都是在实数范围内讨论二次根结论

对于非负实数a，由于

是a的一个平方根，因此结论对于非负实数a，由于是a的一个平方根，举例例2计算：

解举例2计算：解填空：做一做…=

；=

；=

；21.2

根据上述结果猜想，当a≥0时，.填空：做一做…=；结论由于a的平方等于a2

，因此a是a2的一个平方根.

当a≥0时，根据算术平方根的意义，有，由此得出：结论由于a的平方等于a2，因此a是a2的一个平方根.当a举例例3计算：

解举例3计算：解议一议议一议议一议议一议议一议议一议一般地，当a<0时，因此，我们可以得到：

当a<0时，是否仍然成立？为什么？议一议议一议议一议议一议议一议议一议一般地，当a<0时，1.当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？

练习答案：x≤1答案：x≥1.当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？练习答2.计算：

答案：3答案：2.计算：答案：3答案：3.计算：

答案：7答案：3答案：0.013.计算：答案：7答案：3答案：0.01动脑筋

计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？

动脑筋计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？一般地，当a≥0，b≥0时，由于一般地，当a≥0，b≥0时，由于结论由此得出：

上述公式从左到右看，是积的算术平方根的性质.

利用这一性质，可以化简二次根式．结论由此得出：上述公式从左到右看，是积的算术平方例4化简下列二次根式．举例例4化简下列二次根式．举解

化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.解化简二次根式

今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一举例例5化简下列二次根式．举例5化简下列二次根式．解

化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.解解化简二次根式时，解

从例4、例5可以看出，这些式子的最后结果，具有以下特点：（1）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；（2）被开方数不含分母.

在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.结论从例4、例5可以看出，这些式子的最后结果，练习

化简下列二次根式．练习化简下列二次根式．解解解解

化简下列二次根式．化简下列二次根式．解解结束结束二次根式本章内容第5章二次根式本章内容第5章二次根式本课内容本节内容5.1二次根式本课内容本节内容5.1说一说正实数a的平方根是.运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.而第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：，其中重力加速度常数若已知地球半径R，则第一宇宙速度v是多少？（2）（1）

5的平方根是，0的平方根是，正实数a的平方根是.（1）

5的平方根是，0的平方根是，正实数a的平方根是.0的平方根是，说一说正实数a的平方根是.运用运载火箭发射航天5的平方根是，0的平方根是0，正实数a的平方根是．

因为速度一定大于0，所以第一宇宙速度5的平方根