矩阵的特征值和特征向量

关于矩阵的特征值和特征向量第1页，共22页，2022年，5月20日，13点51分，星期五2022/11/825.1.1特征值和特征向量的基本概念

定义设A为数域F上的n阶矩阵,如果存在数lF和非零的n维列向量X,使得

AX=lX

就称l是矩阵A的特征值,X是A的属于(或对应于)特征值l的特征向量.

注意:特征向量X0;特征值问题是对方阵而言的,本章的矩阵如不加说明,都是方阵.第2页，共22页，2022年，5月20日，13点51分，星期五2022/11/83

AX=lX

根据定义,n阶矩阵A的特征值,就是齐次线性方程组

(lI-A)X=0

有非零解的l值.即满足方程

det(lI-A)=0即 的l都是矩阵A的特征值.

因此,特征值是l的多项式det(lI-A)的根.第3页，共22页，2022年，5月20日，13点51分，星期五2022/11/84

AX=lX,

det(lI-A)=0 (5.2)

定义设n阶矩阵A=(aij),则称为矩阵A的特征多项式,lI-A称为A的特征矩阵,(5.2)式称为A的特征方程.第4页，共22页，2022年，5月20日，13点51分，星期五2022/11/85

显然,n阶矩阵A的特征多项式是l的n次多项式.特征多项式的k重根也称为k重特征值.当n5时,特征多项式没有一般的求根公式,即使是三阶矩阵的特征多项式,一般也难以求根,所以求矩阵的特征值一般是三阶行列式求特征值,一般用0,1,-1,2,-2进行尝试先得到一个根,则剩下的两个根可用解一元二次方程的办法解.第5页，共22页，2022年，5月20日，13点51分，星期五2022/11/86例解验证：是否为A的特征向量第6页，共22页，2022年，5月20日，13点51分，星期五2022/11/87注1注2注3如果是A对应于特征值

的特征向量，则也是A对应于特征值

的特征向量。第7页，共22页，2022年，5月20日，13点51分，星期五2022/11/88注5矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的注4如果是A对应于特征值

的线性无关特征向量，则也是A对应于特征值

的特征向量。第8页，共22页，2022年，5月20日，13点51分，星期五2022/11/89例求下列矩阵的特征值和特征向量解A的特征多项式为A的特征值为即对应的特征向量可取为第9页，共22页，2022年，5月20日，13点51分，星期五2022/11/810对应的特征向量可取为A属于的全部特征向量：A属于的全部特征向量：第10页，共22页，2022年，5月20日，13点51分，星期五2022/11/811例求矩阵

的特征值和特征向量.解矩阵A的特征多项式为A的特征值为l1=2,l2，3=1(二重特征值).第11页，共22页，2022年，5月20日，13点51分，星期五2022/11/812当l1=2时,由(l1I-A)X=0,即得其基础解系为X1=(0,0,1)T,因此k1X1(k10为常数)是A的对应于l1=2的特征向量.第12页，共22页，2022年，5月20日，13点51分，星期五2022/11/813当l2=1时,由(l2I-A)X=0,即得其基础解系为X2=(1,2,-1)T,因此k2X2(k20为常数)是A的对应于l2=1的特征向量.第13页，共22页，2022年，5月20日，13点51分，星期五2022/11/814例求矩阵的特征值和特征向量解A的特征多项式为A的特征值为第14页，共22页，2022年，5月20日，13点51分，星期五2022/11/815得基础解系得基础解系第15页，共22页，2022年，5月20日，13点51分，星期五2022/11/816例主对角元为a11,a22,...,ann的对角阵A或上(下)三角阵B的特征多项式是

|lI-A|=|lI-B|=(l-a11)(l-a22)...(l-ann),

故A,B的n个特征值就是n个主对角元.第16页，共22页，2022年，5月20日，13点51分，星期五2022/11/817

2、n阶矩阵A=(aij)的n个特征值为l1,l2,...,ln.则5.1.2特征值和特征向量的性质

1、设n阶矩阵A可逆的充要条件是它的每一个特征值均不为0.第17页，共22页，2022年，5月20日，13点51分，星期五2022/11/818

矩阵的特征值和特征向量还有以下性质:

3、若l是矩阵A的特征值,X是A属于l的特征向量,则

(i)kl+a是kA+aI的特征值(k,a是任意常数),

(ii)lm是Am的特征值(m是正整数);

(iii)当A可逆时,l-1是A-1的特征值;

(iv)当A可逆时,detA/l是A*的特征值.

且X仍是矩阵kA+aI,Am,A-1,A*的分别对应于特征值kl+a,lm,1/l,detA/l的特征向量.第18页，共22页，2022年，5月20日，13点51分，星期五2022/11/819证已知AX=lX

(i)kl是kA的特征值(k是任意常数),

这是因为(kA)X=k(AX)=klX,即kl是kA的特征值,

X是kA的属于特征值kl的特征向量.

(ii)A(AX)=A(lX)=l(AX)=l(lX),

即

A2X=l2X

再继续上述步骤m-2次,就得AmX=lmX.

(iii)当A可逆时,l0,由AX=lX可得

A-1(AX)=A-1(lX)=lA-1X

因此

A-1X=l-1X

故l-1是A-1的特征值,且X也是A-1对应于l-1的特征向量第19页，共22页，2022年，5月20日，13点51分，星期五2022/11/8204、矩阵A和AT的特征值相同.

证因为(lI-A)T=(lI)T-AT=lI-AT

所以 det(lI-A)=det(lI-AT)

因此A和AT有完全相同的特征值.第20页，共22页，2022年，5月20日，13点51分，星期五2022/11/821定理

设阶方阵A

有互不相同的特征值，(λiI–A)x=0的基础解系为

则；；……；线性无关

推论

6、设A为n阶方阵，,若λ为A的特征值，则