相似三角形模型专题精品

关于相似三角形模型专题精品第1页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五

△ABC∽△A/B/C/,如果BC=3,B/C/=1.5,那么△A/B/C/与△ABC的相似比为_________.1.相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。2.相似比：相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。一.相似三角形知识要点第2页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例。相似三角形对应高的比,对应中线的比,对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形周长的比等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似三角形的传递性。3.相似三角形的性质：第3页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五4.相似三角形的判定：①如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．第4页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五②如果一个三角形的两条边分别与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．第5页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五③如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．第6页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五已知：在△ABC中，DE∥BC，点F是线段DE上一点，连接AF并延长与BC相交于点G.求证：DF·GC=FE·BG例1.第7页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五相似三角形判定的基本模型一A字型、反A字型（斜A字型）

（平行）（不平行）第8页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五MN

例2.

若G为BC中点,EG交AB于点F,且EF:FG=2:3,试求AF:FB的值.添平行线构造相似三角形的基本图形。DEHGFEGFMN12第9页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五

若G为BC中点,EG交AB于点F,且EF:FG=2:3,试求AF:FB的值.添平行线构造相似三角形的基本图形。EGFEGFMN第10页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五1、如图，点D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD，那么△ADE的周长︰△ABC的周长＝

。

ABCDE1:32.右图中,若D,E分别是AB,AC边上的中点,且DE=4则BC=＿＿＿＿83.右图中,DE∥BC，S△ADE:S四边形DBCE=1:8,则AE:AC=＿＿＿＿＿1:3课堂训练:第11页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五EBDC4.在△ABCAC=4,AB=5.D是AC上一动点,且∠ADE=∠B,设AD=x,AE=y,写出y与x之间的函数关系式.试确定x的取值范围.A解:∵∠A=∠A∵∠ADE=∠B∴△ADE∽△ABC()∴AD:AB=AE:AC∴x:5=y:4∴y=0.8x(0＜x≤4)第12页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五ABCDEF5.如图：DE∥BC，EF∥AB,AE：EC=2：3，

S△ABC=25，求S四边形BDEF解：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴S△ADES△ABC＝AEAC（）2＝425∵S△ABC=25∴S△ADE＝4∵AE：EC=2:3∴AE:AC=2:5第13页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五6.过∆ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E，求证：AE：ED=2AF：FB。CABFDEG第14页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五7.已知：AB∥CD,连接AD,CB相交于点E.过E点作EF平行于线段AB，与线段AC相交于点F。求：的值。第15页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五

相似三角形判定的基本模型二

（平行）（不平行）8字型反8字型（蝴蝶型）

第16页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五例1.已知▱ABCD，连结对角线BD，E.

F是边BC的三等分点，连结AE、AF，与BD分别交于点G、H，则BG:GH:HD的值为_________.

5:3:12第17页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五EFBGDCA练1.如图，ABCD中，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，与DC交于点F，则图中相似三角形共有______对。（全等除外）5第18页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五AEBFDC练2.如图在ABCD中，E是BC上一点，BE：EC=1：2，AE与BD相交于F，则BF：FD=_______，S△ADF:

S△EBF=______

1:31:99:1第19页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五练3.

如图,在▱ABCD中，AB=4,BC=6,∠ABC,∠BCD的角平分线分别交AD于E和F,BE与CF交于点G,则△EFG与△BCG面积之比是()A.

2:3B.

4:9C.

1:4D.

1:9

D第20页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五练4.如图,已知点D是AB边的中点,AF∥BC，CG:GA=3:1，BC=8，则AF=___.

4第21页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五练5.如图,直角梯形ABCD中,∠BCD=90∘,AD∥BC,BC=CD,E为梯形内一点,且∠BEC=90∘,将△BEC绕C点旋转90∘使B与D重合，得到△DCF，连EF交CD于M.已知BC=5，CF=3，则DM:MC的值为___.

4:3第22页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五相似三角形判定的基本模型一A字型、反A字型（斜A字型）

（平行）（不平行）第23页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五

相似三角形判定的基本模型二

（平行）（不平行）8字型反8字型（蝴蝶型）

第24页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五给你一个锐角△ABC和一条直线MN；

问题

你能用直线MN去截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似吗？第25页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五

相似三角形DE∥BC△ADE∽△ABC∠DAE=∠CAB△ADE∽△ABC基本图形判定方法∠AED=∠B∠DAE=∠BAC△ADE∽△ABC

三边对应成比例的两个三角形相似.第26页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五

相似三角形DE∥BC△ADE∽△ABC∠DAE=∠CAB△ADE∽△ABC基本图形判定方法∠AED=∠B∠DAE=∠BAC△ADE∽△ABC对应角相等；性质定理对应边成比例；

周长的比等于相似比；

面积的比等于相似比的平方；

三边对应成比例的两个三角形相似.第27页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五

练一练基本图形DEMNH过D作DH∥EC交BC延长线于点H(1)试找出图中的相似三角形?(2)若AE:AC=1:2,则AC:DH=_______;(3)若⊿ABC的周长为4,则⊿BDH的周长为_____.(4)若⊿ABC的面积为4,则⊿BDH的面积为_____.⊿ADE∽⊿ABC∽⊿DBH2：369DEMN第28页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五三、基本图形的形成、变化及发展过程：∽

平行型

斜交型.

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旋转平移垂直型特殊特殊平移第29页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五ABOCD1.添加一个条件，使△AOB∽△DOC

四、运用☞角：∠B=∠C或∠A=∠D边：AB∥CDAO：OD=BO：CO“X”型解：第30页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五ABCDE2.若△ABC∽△ADE，你可以得出什么结论？四、运用☞角：∠ADE=∠B∠AED=∠C边：DE∥BC面积：“A”型第31页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五3、D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似。

斜交型角：∠B=∠2或∠1=∠C边：AD：AC=AE：AB解：第32页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五4、已知CD是Rt△ACB斜边AB上的高，且CD=6，BD=12，则AD=________,AC=_________。36123垂直型第33页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五ABCDE1.如图，DE∥BC，D是AB的中点，DC、BE相交于点G。求G知识源于悟=1:2=1:2第34页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五BACO如图:写出其中的几个等积式①AC2=②BC2=③OC2=AO×ABBO×ABAO×BO若AC=3,AO=1.写出A.B.C三点的坐标.(-1,0)(8,0)(0,2)第35页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五已知,如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=900,对角线BD⊥CD求证:(1)△ABD∽△DCB;(2)BD2=AD·BCABCD证明:(1)∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC∵∠A=∠BDC=90°,∴△ABD∽△DCB(2)∵△ABD∽△DCB∴AD=BDBDBC即:BD2=AD·BC第36页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五

如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,

∠A=900,AB=2,AD=5,P是AD上一动点(不与A、D重合),ＰＥ⊥ＢＰ，ＰＥ交ＤＣ于点Ｅ．（１）△ABP与△DPE是否相似？请说明理由；（２）设ＡＰ＝xＤＥ=y，求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围；（3）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由；（4）请你探索在点P运动的过程中，△BPE能否成为等腰三角形？如果能，求出AP的长，如果不能，请说明理由。CABDPE25试一试xy5-x第37页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五学以致用3、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=12,点P从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q从B点出发向C点以2m/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B两地同时出发，几秒后△PBQ与原三角形相似？ABCQPQP第38页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五例：如图，在ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，PQ∥AB，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上。试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长。灵感智慧M1ABCPQABCPQM2第39页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五例：如图，在ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，PQ∥AB，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上。试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长。灵感智慧PQM3ABCN第40页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五ABCEF如图，在正方形ABCD中,E为BC上任意一点（与B、C不重合）∠AEF=90°.观察图形：DABCEFD（2）若E为BC的中点，连结AF,图中有哪些相似三角形？（1）△ABE与△ECF是否相似？并证明你的结论。问题发现知识整理△ABE∽△ECF∽△AEF问题1：第41页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五（1）点E为BC上任意一点，若∠B=∠C=60°,∠AEF=∠C,则△ABE与△

ECF的关系还成立吗？说明理由（2）点E为BC上任意一点若∠B=∠C=α,∠AEF=∠C,则△ABE与△

ECF的关系还成立吗？C60°60°60°ABEFαααABCEFαααABFCE60°60°60°CABEF“M”型相似问题发现知识整理△ABE∽△ECF第42页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五ABCEFαααDAFαBCEααDG（1）延长BA、CF相交于点D,且E为BC的中点，若∠B=∠C=α,∠AEF=∠C,连结AF.①找出图中的相似三角形②说出图中相等的角及边之间的关系（2）延长BA、CF相交于点D,且E为BC的中点，若∠B=∠C=α,∠AEF=∠C,当∠AEF旋转到如图位置时，上述关系还成立吗？问题发现知识整理问题2：善于运用类比、迁移的数学方法解决问题第43页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五CABEFABCEFABCEFαααABCEFαααD①②③①②①②③①②E为中点归纳：第44页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五变式：.在直角梯形ABCF中，，CB=14，CF=4,AB=6,,CF∥AB,在边CB上找一点E,使以E、A、B为顶点的三角形和以E、C、F为顶点的三角形相似，则CE=_______1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E重合，若AD=10,AB=8,则EF=______善于在复杂图形中寻找基本型5ADBCEFABCFEEE5.6或2或12注意分类讨论的数学思想实战演练知识运用第45页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五EBCDF2.已知：D为BC上一点，∠B=∠C=∠EDF=60°,BE=6,CD=3,CF=4,则AF=_______7A实战演练知识运用第46页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五EBCDFA变式：已知：△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,D为BC的中点，且∠EDF=∠C,（1）若BE·CF=48,则AB=_____（2）在（1）的条件下，若EF=m,

则S△DEF=_______利用转化的数学思想HP8实战演练知识运用第47页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五（1）连接AP、AQ、PQ，试判断△APQ的形状，并说明理由。（2）当t=1秒时，连接AC，与PQ相交于点K.求AK的长。QPABCDK善于在复杂图形中寻找基本型已知：菱形ABCD,AB=4m,∠B=60°,点P、Q分别从点B、C出发，沿线段BC、CD以1m/s的速度向终点C、D运动,运动时间为t秒.迁移拓展知识提升第48页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五EQABCDPNF（3）当t=2秒时，连接AP、PQ,将∠APQ逆时针旋转，使角的两边与AB、AD、AC分别交于点E、N、F，连接EF.若AN=1,求S△EPF.注意运用转化的数学思想迁移拓展知识提升第49页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五（4）以OS为一边在∠SOC内作∠SOT,使∠SOT=∠BDC,OT边交BC的延长线于点T,若BT=4.8,求AK的长。ASKDCBoT30°30°30°迁移拓展知识提升(P)(Q)PQ第50页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五我的收获CABEDCABEDCABEDABCEDαααABCEDFααααααOABCDP善于观察善于发现善于总结第51页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五1、已知：等边△ABC中，P为直线AC上一动点，连结BP,作∠BPQ=60°,交直线BC于点N.(1)当P在线段AC上时，证明PA·PC=AB·CN(2)若P在AC的延长线上，上述关系是否成立？(3)若P在CA的延长线上，CN=1.5,BC=2,求AP、BP的长补充练习、内化理解NBCAQNBCAQNBCAQP60°60°60°PP第52页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五2、在平面直角坐标系中，四边形OABC为等腰梯形，OA∥BC,OA=7,BC=3,∠COA=60°,点P为线段OA上的一个动点，点P不与O、A重合，连结CP.（1）求点B的坐标。（2）点D为AB上一点，且AD:BD=3:5,连结PD,在OA上是否存在这样的点P,使∠CPD=∠BAO?若存在，求出直线PB的解析式，若不存在，请说明理由。OxyABCDP补充练习、内化理解第53页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五FBCAxy(-3,0)(1,0)tan∠ABC=（1）请在x轴上找一点D，使得△BDA与△BAC相似（不包含全等），并求出点D的坐标；（2）在（1）的条件下，如果P、Q分别是BA、BD上的动点，连结PQ，设BP＝DQ＝m，问：是否存在这样的m，使得⊿BPQ与⊿BDA相似？如存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。

用一用OD（1）∵△BDA∽△BAC∴∠CAD＝∠ABC∴tan∠CAD＝∠ABC=∵BC=4∴AC=BC·tan∠ABC=3∴CD=AC·tan∠CAD=3×=∴OD=OC+CD=1+=∴D(,0)第54页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五

用一用BCAxy(-3,0)(1,0)tan∠ABC=OD第55页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五

用一用PQPQ(1)当PQ∥AD时，△BPQ∽△BAD则即：解得：(2)当PQ⊥BD时，△BPQ∽△BDA则即：解得：BCAxy(-3,0)(1,0)tan∠ABC=ODBCAxy(-3,0)(1,0)tan∠ABC=OD第56页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五例2如图，有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，加工成正方形零件的边长为多少毫米？ABCDEPQMN第57页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五②如果把正方形的零件改变为加工矩形零件,设DP=x，DE=y，写出y与x之间的函数关系式，试确定x的取值范围。

PBACDEFMN如图，△ABC是一块余料，边AB=90厘米，高CN=60厘米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在AB上，其余两个顶点分别在BC、AC上①这个正方形零件的边长是多少？③当DE是DP的1.5倍时恰好符合要求，求此时零件的面积是多少?④在问题3中，具体操作时，发现在AB线段上离B点34cm处有一蛀虫洞，请你确定一下，它是否影响余料的使用，说明理由。（量得BN=70cm）第58页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五PBACDEFMNBACDEF图一图二课外拓展:

右图中，在一直角三角形余料中截出一个面积最大的正方形零件，应如何截取？（设正方形的三边分别是3、4、5、那么最大的面积是多少？）BAC第59页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五解：设正方形DEFP的边长为x厘米。因为DE∥AB，所以△CDE∽△CBA所以CMCN=DEAB因此，得x=36（毫米）。答：-------。60–x60=x90问题解答:PBACDEFMN第60页，共71页，2022年，5月20日，13点29分，星期五演变1：如图，有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC=a，高AD=h，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上。求（1）设PN=x，矩形PQMN的面积为y，求y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围。（2）当h=6，a=8时，请你求出面积等于9的矩形PQMN的边长PN。（3）按题设要求得到的无数个矩形中，是否能找到两个不同的矩形，使它们的面积之和等于∆ABC的面积？如果能找到，请求出它们的边长，如果找不到，请你说明理由。第61页，共71