矩阵课件-第5章-5.2.4hermite与分段低次2017春

ixoxPnxi

f

xi

Pnxi

f

xi

L

L

L

Li

若有相同的切线若弯曲方向相同近似程度越来越好Pn

xi

f

xi

,

i

0

,

1

,

L

,

nyf

(

x)

Pn

(

x)Pi

y

f

(

x)i在x

处相交Lagrange插值多项满in次多项式pn(x)，使其满足插值条件：p

(

i

)

(x

)

f(i

)

(x

)

y(i

)

,其中1

,

2

,L

,

s(5-18)5.2.4

Hermite插值理论和应用中

某些插值问题，要求插值函数p(x)具有一定的光滑度，即在插值节点处满足一定的导数条件，这类插值问题称为Hermite插值问题。Hermite插值问题的一般提法是：设已知函数

f(x)在s

个互异点

x1,x2

,…,xs

处的函数值和导数值：为正整数，记1

2

L

s

n

1,

构造一个i

1,

2,

L

,

s

;i

0,1,L,i

1。1

1f

x

,

f

x

,

L

,f

(1

1)

x

;2

2

f

x

,

f

x

,

L

,

fx

1;22(

1)

ss

sf

x

,

f

x

,

L

,

fsx

,(

1)L

LL这样将得到如下形式的n次插值多项可以采用类似于构造Lagrange插值基函数li(x)的方法来解Hermite插值问

构造一批

n

次多项式作为插值基函数，Li,k

(x),

i

1,2,

L,

s

;

k

0,1,L,i

1,li

xixi

1

,

2

,

L

,

sif

x

iif

x

i

1sx

f

xis

lip

x

i1if

x

f

x

Li

1

,

2

,

L

,

six回p

xn？si1LLi

i,0

i

i,1y

x

y

xyiii,1

L

x

1

L

i

1

,

2

,

L,

ssk

x

yinp

x

i1

k

0且满足插值条件（5-18）L

i,ki

1

yi

i

1

,

2

,

L,

s

,i

pi

i

0,1,L,i

1。满问二点三次Hermite插值多项设已知函数f(x)在2

个互异点x1,x2

处的函数值和导数值：f

x1

,

f

x1

;

f

x2

,

f

x2

;构造一个三次多项式H3

x

ax

bx32

cx

d使其满足插值条件H3

x1

f

x1

,

H3

x1

f

x1

;H3

x2

f

x2

,

H3

x2

f

x2

;1

1,0

2

12,0

1,12(x)

f(x

)

L

(x)

f

(x

)

L

(x)

f

(x

)

L2,1(x)L1,0

(x1

)

1L1,1(x1

)

1L1,0

(x2

)

L1,0(x1

)

L1,0(x2

)

0L1,1(x1

)

L1,1(x2

)

L1,1(x2

)

0L2,0

(x2)

1

L2,0

(x1

)

L2,0

(x1

)

L2,0

(x2

)

0L2,1(x2

)

1

L2,1(x1

)

L2,1(x1

)

L2,1(x2

)

0以L1,0(x)为例计算之,L2,0(x),L1,1(x),L2,1(x)同例1用基函数法来构造三次多项式H3(x)。H3

(x)

f

(x

)

L其中L1,0(x),L2,0(x),L1,1(x),L2,1(x),为插值基函它们满足设21,0

2x

ax

bL

(x)

x

21,0

22L

(x)

2

x

xax

b

a

x

x由于L1,0(x)为三次多项式,又L1,0

(x2

)L1,0(x2

)

0,

故应有又由L1,0

(x1

)

1,L1,0(x1

)0,

进一步21

2

1x

x

ax

b

12121

ax

b

1

2112

ax

b

a

x

x

0

31

2x

x

2x

x

a

231x1

x2

3x

xb

1,0L2

1 2

1

2

(x)

2

1

1

x

x

2x

x

x

xx

x

代入上式那么，有

x

x

2L1,1(x)

2

x

x1

,2,0Lx2

x1

(x)

1

1

2

2

x2

x1

x

x x

x2

x2

x1

x1

x2

x

x

2L2,1

(x)

1

x

x2

1212x

x

x

xx

xx

x1 2

1 2

2

x2

x1

x

x

f

(x1

)(x

x1

)22122x

x

x

x

x

x

x

x

f

(x

2

)1

2

1

2 1

12

2

x

x

2

f

(x

)(x

x

)

x

x

2 1

从而得3次插值多项式:3H

(x)

f

(x

)

1

2这就是二点三次Hermite插值多项式,其满足插值条H3

xk

f

xk

H3

xk

f

xk

k

1,

24 2

x

,

,构造三次Hermite多项式练习已知f(x)=sinx,2

,2f

sin

4

4

2

,2f

cos

4

4

f

sin

1

,

2

2f

cos

0

,

2

2

则

2

x

x

4

2

f1

2

2

x

f

x

2

4

4

4 2

4

4 2

4 2

2x

x

2

4

f

21

2

解

已知3H

x

2228x

4x

2

3

22

2 4

2 4

2

x

4x

2

2

4

2

3

4x

4x

32

3f

(x)

p

(x)

min(x1

,x2

)

max(x1

,x2

)。其中设f(x)∈C3[a,b]，在（a,b）内4阶可

22124!(4)f

()x

x x

x

,

x

[a,

b]定理5.3’又设a≤x1＜x2≤b则两点三次Hermite插值多项式p3(x)有如下的误差估计

3f

x

p

x

2x

,

x

K对上述给定的

x

,引进辅助函数:

2212x

xx

x

K

x

3

t

f

t

p

t

2212K

x t

xt

x

,证

若x为

x1,x2中的某一个,

则误差估计式显然成以下假设

x≠xi

(i=1,2),

由插值条件,可3f

(x)

p

(x)

min(x1

,x2

)

max(x1

,x2

)。其中设f(x)∈C3[a,b]，在（a,b）内4阶可

221

24!(4)f

()x

x x

x,

x

[a,

b]定理5.3’又设a≤x1＜x2≤b则两点三次Hermite插值多项式p3(x)有如下的误差估计4!f

(4)

K

x

于是，代入估计式即知结论成立。显然

xi

xi

0,

(x)

0

。i

1,

2

,使得(

4

)

()

f

(4)

()

0

K

x

4!

0

,2231

2(t)

f

(t)

p

(t)

K

(x)(t

x

) (t

x

)

t

有2个二重零点

x1,x2

和一个单重零点x

。反复运用Rolle定理可证，至少有一个ξ,且min

x,

x1,

x2

max

x,

x1,

x2

5.2.5

分段低次插值利用插值法构造近似函数时，为了提高近精度，经常需要增加插值节点，加密插值节点会使插值函数与

值函数在

节点上的取值相同，那么误差是否会随之减小呢？答案是否定的。原因在于插值节点增多导致插值多项式的次数增高，而高次多项式的振荡次数增多有可能使插值多项式在非节点处的误差变得很大。51

x2nkx

5

10

k在[-5,5]上构造等距节k

0,1,L

,n。例如，对于函数

f

x

分别取

n=6、n=8

和

n=10作出插值多项式pn(x)

近

5

4

3

2

10

5

1

x2f

x

p8

xp6

x等距节点高次插值多项式的Rung现象yp10

xaxben

max

In

f

,

x

In

f

,

xni0nni0,

I

f

,

xli

x

fi

。nnil

x

,

I

maxa

xb

i0

插值函数的稳定性的分析，得到插值函数的舍入误差项为：其显然，对等距节点的高次的Largrange多项式插值ηn是随着n增长Runge现象对等距节点的高次插值多项式的是典型nmaxaxb

i0

1in

li

xmax

fi

fini1in

max

f

fi故得出结论h(5-26)为了克服高次插值多项式的上述弊端，通常采用分段低次

插值的方法，即以插值节点为分点，将[a,b]分成若干个小区间，并在每个小区间上进行低次的多项式插值。一、分段线性Lagrange插设插值节点

x0,x1,…,xn满足a≤x0<x1<…<xn≤b,在每一个间[xk,xk+1](k=0,1,…,n-1)上做线性插值多项式x

[xk

,xk

1]。Lh

(x)

hL(0)

(x),hL(1)

(x),x

[x0

,

x1],x

[x1

,

x2

],Mx

[xn1

,

xn

],hML(n1)

(x),令(5-27)L(k

)

(x)

ykkk

1x

xk

yk

1

xk

1x

xk

1

x

xk

x

,y=Lh(x)的图形是平面上连接点1(x)(k

)hR

(x)

f

(x)

L2k

1k (x

x

)(x

x

),212Mk

k1axbmax

|

R

(x)

|M

2

max

|

f

(x)

|,

h

max

hk

,a

xb

0k

n1从而其中显然

Lh(xi)=yi

(i=0,1,…,n),

Lh(x)称为

f(x)在[a,b]上的分线性插值多项式(5-29)(5-28)8hk

xk

1

xk|

(x

x

)(x

x

)

|

M

2

h2

,

5

4

3

2

10(x1,y1)、…、(xn,yn)的一条折线（如图）。y由插值余项定理，当f(x)在[a,b]上二次可微时，对任意x∈[xk

,xk+1]，余项

f

()

5

1

x2f

x

hL(k

)

(x)hL(n1)

(x)h0n作为f(x)的近似值。k

k+1对x∈[a,b],若x∈[x

,x

],则h0易证,当f(x)∈C[a,b]时,lim

Lh

(x)

f

(x)

在[a,b]上一致成立L(k

)(x)

作为f(x)的近似值h,则以

L(0)

(x)

作为f(x)的近似值

若x≥x

,则若x≤x二、分段二次Lagrange插值1当给定的函数表

点的个数远多于3的时候,为了提高计精度,或根据实际问题需要,有时采取分段二次插值法对于x∈[a,b],应选择靠近x的三个节点做二次插值多项式当x∈[xk,xk+1],且x偏向xk时,选择xk-1,xk,xk+1作为插值节点；当x∈[xk,xk+1],且x偏向xk+1时,选择xk,xk+1,xk+2作为插值节点；234当x∈[x0,x1),或x＜x0时,选择x0,x1,x2作为插值节点当x∈(xn-1,xn],或x＞xn时,选择xn-2,xn-1,xn作为插值节点根据实际问题的需要,还可采用分段