9.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

9.1

分类加法计数原理与分步乘法计数原理第九章课标要求通过实例,了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.备考指导两个计数原理在高考中偶有单独命题,更多是与排列、组合知识结合进行考查,以选择题、填空题的形式出现,有时也在解答题中作为工具使用,难度中等.主要考查逻辑推理和数学运算的素养.复习时要重视与实际问题和数学文化题的综合.内容索引010203第一环节必备知识落实第二环节关键能力形成第三环节学科素养提升第一环节必备知识落实【知识筛查】

1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.名师点拨分类加法计数原理和分步乘法计数原理的异同

问题思考用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解题有哪些策略?(1)分清要完成的事情是什么;(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成,注意“类”间互相独立,“步”间互相联系;(3)注意有无特殊条件的限制;(4)检验是否有重复或遗漏.1.分类加法计数原理的推广如果完成一件事有n类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,……在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.2.分步乘法计数原理的推广如果完成一件事需要n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.【知识巩固】

1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.(

)(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能完成这件事.(

)(3)在分步乘法计数原理中,事情是分步完成的,其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事情,只有每个步骤都完成后,这件事情才算完成.(

)(4)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(

)×√√√2.从A地到B地,可乘汽车、火车、轮船三种交通工具.如果一天内从A地到B地汽车发3次,火车发4次,轮船发2次,那么一天内从A地到B地的不同走法种数为(

)A.3 B.9

C.24

D.18B分三类:第一类乘汽车,从3次中选1次,有3种走法;第二类乘火车,从4次中选1次,有4种走法;第三类乘轮船,从2次中选1次,有2种走法,故一天内从A地到B地的不同走法种数为3+4+2=9.3.将2封信随意投入3个邮箱,不同的投法有(

)A.3种

B.6种

C.8种

D.9种4.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为(

)A.24 B.18

C.12

D.6D根据题意,2封信随意投入3个邮箱,每封信都有3种投法,故共有3×3=9(种)不同的投法.B分两类:第1类,个位上为奇数,有3种选择,十位上为偶数,有2种选择,百位上为奇数,有2种选择,共有3×2×2=12(个)奇数;第2类,个位上为奇数,有3种选择,十位上为奇数,有2种选择,百位上为偶数,有1种选择,共有3×2×1=6(个)奇数.根据分类加法计数原理知,共有12+6=18(个)奇数.5.如图,现用4种不同颜色对A,B,C,D四块区域进行涂色,要求有公共边界的两块区域不能用同一种颜色,则不同的涂色方法共有(

)A.24种

B.30种

C.36种

D.48种D首先给C块区域涂色,有4种方法;然后给A块区域涂色,有3种方法;再给B块区域涂色,有2种方法;最后给D块区域涂色,有2种方法.由分步乘法计数原理知,共有4×3×2×2=48(种)不同的涂色方法.第二环节关键能力形成能力形成点1分类加法计数原理例1

(1)满足a,b∈{-1,0,1,2},且使关于x的方程ax2+2x+b=0有实根的有序数对(a,b)的个数为(

)A.14 B.13

C.12

D.9B由于a,b∈{-1,0,1,2},则①当a=0时,有

为方程的实根,则b=-1,0,1,2,有4种;②当a≠0时,∵方程有实根,∴Δ=4-4ab≥0.∴ab≤1.(*)当a=-1时,满足(*)式的b=-1,0,1,2,有4种;当a=1时,满足(*)式的b=-1,0,1,有3种;当a=2时,满足(*)式的b=-1,0,有2种.故由分类加法计数原理,满足条件的有序数对(a,b)共有4+4+3+2=13(个).(2)甲、乙、丙三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被传递给甲,则不同的传递方法共有

种.6甲第一次传递给乙时,满足条件的传递方法有3种,如图.

同理,甲第一次传递给丙时,满足条件的传递方法也有3种.由分类加法计数原理,共有3+3=6(种)不同的传递方法.解题心得利用分类加法计数原理计数时的解题流程

对点训练1(1)把甲、乙、丙三名志愿者安排在周一至周五参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两名志愿者前面,则不同的安排方案共有(

)A.20种 B.30种C.40种 D.60种A将甲安排在周一,则在周二至周五中任选两天安排乙、丙,共有4×3=12(种)安排方案.将甲安排在周二,则在周三至周五中任选两天安排乙、丙,共有3×2=6(种)安排方案.将甲安排在周三,则乙、丙只能安排在周四和周五两天,共有2种安排方案.根据分类加法计数原理,共有12+6+2=20(种)不同的安排方案.(2)小王同学在书店发现三本想买的书,若他决定至少买一本,则购买方式有

种.

7只买一本,购买方式有3种;只买两本,购买方式有3种;三本全买,购买方式有1种.故购买方式共有3+3+1=7(种).能力形成点2分步乘法计数原理例2

(1)从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数,则可以组成不同对数值的个数为(

)A.56 B.54

C.53 D.52D从8个数中任取2个不同的数共组成8×7=56(个)对数值,但在这56个对数值中,log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,故满足条件的对数值共有56-4=52(个).(2)从集合{1,2,3,4,…,10}中,选出5个数组成子集,使得这5个数中任意两个数的和都不等于11,则这样的子集个数为(

)A.32 B.34

C.36 D.38A把集合中的数分成5组:{1,10},{2,9},{3,8},{4,7},{5,6}.因为选出的5个数中任意两个数的和都不等于11,所以从每组中任选一个数即可,故共可组成2×2×2×2×2=32(个)这样的子集.解题心得1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.2.分步必须满足的两个条件:一是各步骤相互独立,互不干扰;二是步与步之间确保连续,逐步完成.对点训练2(1)有5盆菊花,其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆,现把它们摆放成一排,要求2盆黄菊花必须相邻,2盆白菊花不能相邻,则这5盆花不同的摆放种数是(

)A.12 B.24

C.36

D.48B第一步,摆放2盆黄菊花和1盆红菊花,因为2盆黄菊花必须相邻,所以将2盆黄菊花看成一个整体,与1盆红菊花摆放成一排,有2×2=4(种)摆放方法.第二步,摆放2盆白菊花,因为2盆白菊花不能相邻,所以将2盆白菊花插空摆入,有3×2=6(种)摆放方法.根据分步乘法计数原理,这5盆花不同的摆放种数为4×6=24.(2)在运动会比赛中,8名男运动员参加100m决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有

种.

2880第一步,安排甲、乙、丙三人,因为甲、乙、丙三人必须在奇数号跑道上,奇数号跑道有4条,所以有4×3×2=24(种)安排方式.第二步,安排另外五人,有5×4×3×2×1=120(种)安排方式.根据分步乘法计数原理,不同的安排方式共有24×120=2

880(种).能力形成点3两个计数原理的综合应用例3

(1)某校在暑假组织社会实践活动,将8名高一年级学生平均分配给甲、乙两家公司,其中2名英语成绩优秀的学生不能分给同一个公司;另3名有电脑特长的学生也不能分给同一个公司,则不同的分配方案有(

)A.36种 B.38种

C.108种

D.114种A由题意可得,有2类分配方案.第1类方案:甲公司要2名电脑特长学生,有3种情况;要1名英语成绩优秀的学生,有2种情况;再从剩下的3人中选一人,有3种情况,故共有3×2×3=18(种)分配方案.第2类方案:甲公司要1名电脑特长学生,有3种情况;要1名英语成绩优秀的学生,有2种情况;再从剩下的3人中选2人,有3种情况,故共有3×2×3=18(种)分配方案.由分类加法计数原理,可得不同的分配方案共有18+18=36(种).故选A.(2)如图,用5种不同颜色的染料给A,B,C,D四个区域进行涂色,要求相邻的两个区域不能使用同一种颜色,则不同的涂色方法的种数是(

)A.120

B.140

C.240

D.260D依题意,第一步,涂A区域,有5种涂色方法.第二步,涂B区域,有4种涂色方法.第三步,涂C,D区域,若C区域与A区域所涂颜色相同,则C区域有1种涂色方法,D区域有4种涂色方法;若C区域与A区域所涂颜色不同,则C区域有3种涂色方法,D区域有3种涂色方法.故不同的涂色方法有5×4×(1×4+3×3)=260(种).故选D.解题心得综合应用两个计数原理解决问题时,一般是先分类再分步.分类后分别对每一类进行计数,在计算每一类时可能要分步,在分步时可能又用到分类加法计数原理.对点训练3(1)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有(

)A.144个 B.120个

C.96个 D.72个B(2)如图,将5种不同的花卉种植在A,B,C,D四个区域中,每个区域种植一种花卉,且相邻区域种植的花卉不同,则不同的种植方法种数是(

)A.420 B.180

C.64 D.25B先种植A,B,C三个区域,因为A,B,C三个区域两两相邻,所以种植方法有5×4×3=60(种);再种植D区域,因为D区域与B,C两个区域相邻,所以种植方法有3种.故不同的种植方法有60×3=180(种).第三环节学科素养提升一题多解——解决含限制条件的计数原理问题的常用方法

典例

某校高三年级的三个班级到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,每个班级只到一个工厂,且甲工厂必须有班级去,则不同的分配方案有(

)A.16种 B.18种 C.37种

D.48种思路建立(方法一

直接法)先根据去甲工厂进行社会实践的班级数分三类,再计算每一类的分配方案种数,最后根据分类加法计数原理求出不同的分配方案种数.(方法二

间接法)先求出没有限制条件时不同的分配方案种数,再求出没有班级去甲工厂进行社会实践的分配方案种数,最后相减得到满足题意的分配方案种数.答案:C解析:(方法一

直接法)以去甲工厂进行社会实践的班级数进行分类,共分为三类:第一类,三个班级都去甲工厂,此时分配方案只有1种;第二类,有两个班级去甲工厂,此时分配方案共有3×3=9(种);第三类,有一个班级去甲工厂,此时分配方案共有3×3×3=27(种).根据分类加法计数原理,不同的分配方案有1+9+27=37(种).(方法二

间接法)三个班级任选一个工厂,共有4×4×4=64(种)分配方