1.3　等式的性质与不等式的性质、基本不等式

1.3等式的性质与不等式的性质、基本不等式第一章课标要求1.梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质.2.掌握基本不等式

(a,b>0).3.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.备考指导不等式的性质贯穿于整个高中数学,是解不等式、研究不等式问题的根本.复习时要理清各条性质的应用条件,准确使用.以提升逻辑推理和数学运算素养.基本不等式是高考的重点,有时单独考查,有时与其他知识综合求最值.应用时要注意检验等号成立的条件,根据已知条件适当变形.内容索引010203第一环节必备知识落实第二环节关键能力形成第三环节学科素养提升第一环节必备知识落实【知识筛查】

1.两个实数比较大小的法则

2.等式的基本性质3.不等式的基本性质问题思考若a>b,且a与b都不为0,则

的大小关系确定吗?温馨提示1.不等式还有以下几条常用性质(1)移项法则:a+b>c⇔a>c-b.即不等式的任何一项移到不等号的另一边时一定要改变符号.2.两个重要不等式

4.基本不等式

注意:(1)基本不等式应用的条件是“一正二定三相等”.一正:一般要求a,b同为正数;二定:a+b或ab为定值;三相等:当且仅当a=b时,不等式取得等号.(2)基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.5.利用基本不等式求最值已知x>0,y>0,则【知识巩固】

1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种.(

)(2)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数,不等号方向不变.(

)(3)一个非零实数越大,其倒数就越小.(

)√×××××2.已知a,b∈R,下列结论正确的是(

)A.若a>b,则|a|>|b| B.若a>b,则C.若|a|>b,则a2>b2 D.若a>|b|,则a2>b2D当a=1,b=-2时,A不正确,B不正确,C不正确;对于D,a>|b|≥0,则a2>b2.故选D.3.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式恒成立的是(

)D∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A错误;对于B,C,当a<0,b<0时,明显错误;对于D,∵ab>0,4.若x>0,y>0,且2(x+y)=36,则

的最大值为(

)A.9 B.18 C.36 D.81A由2(x+y)=36,得x+y=18,所以

,当且仅当x=y=9时,等号成立.5.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是

.

30第二环节关键能力形成能力形成点1比较两个数(式)的大小例1

(1)已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是(

)A.M<N B.M>NC.M=N D.不确定BM-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1).∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0.∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0.∴M>N.A.a<b<c

B.c<b<aC.c<a<b

D.b<a<cB解题心得比较两个数(式)大小的常用方法

作差法步骤:作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论常用配方、因式分解、有理化等变形作商法步骤:作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论适用于分式、指数式、对数式构造函数法构造函数,利用函数的单调性比较大小将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值赋值法可以多次取特殊值,根据特殊值比较大小,从而得出结论适用于选择题或填空题提示:当两个代数式正负不确定且为多项式形式时,常用作差法比较大小;当两个代数式均为正且均为幂的乘积式时,常用作商法比较大小.对点训练1(1)若x∈R,y∈R,则(

)A.x2+y2>2xy-1 B.x2+y2=2xy-1C.x2+y2<2xy-1 D.x2+y2≤2xy-1A因为x2+y2-(2xy-1)=x2-2xy+y2+1=(x-y)2+1>0,所以x2+y2>2xy-1,故选A.(2)已知a>0,b>0,试比较aabb与abba的大小.能力形成点2不等式的性质及应用例2

(1)如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是(

)A.a2>a>-a2>-a

B.a2>-a>a>-a2C.-a>a2>a>-a2

D.-a>a2>-a2>aD由a2+a<0,即a(a+1)<0,解得-1<a<0.由不等式的性质,可知-a>a2>0,而a<-a2<0,所以a<-a2<0<a2<-a.故选D.D(方法一)由c<d<0,得cd>0.(方法二)依题意取a=2,b=1,c=-2,d=-1,代入验证知A,B,C错误,只有D正确.解题心得判断多个不等式是否成立的常用方法:方法一是直接使用不等式性质,逐个验证;方法二是用特殊值法,即举反例排除.而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考:(1)不等式两边都乘一个代数式时,要注意所乘的代数式是正数、负数还是0;(2)不等式左边是正数,右边是负数,两边同时平方后不等号方向不一定保持不变;(3)不等式左边是正数,右边是负数,两边同时取倒数后不等号方向不变等.对点训练2(1)若a>1>b>-1,则下列不等式恒成立的是(

)A(2)下列说法正确的是(

)A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若ac>bc,则a>bD.若a>b,c>d,则a-c>b-dC取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A错误;当c<0时,ac>bc⇒a<b,故B错误;因为

,且c≠0,所以c2>0,即a<b,C正确;取a=c=2,b=d=1,可知D错误.能力形成点3利用基本不等式证明不等式解题心得利用基本不等式证明不等式是证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项,并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.能力形成点4利用基本不等式求最值命题角度1求不含等式条件的函数最值例4

下列说法正确的是(

)C命题角度2求含有等式条件的代数式的最值

A10命题角度3已知不等式恒成立求参数取值范围

A.[-2,0)∪(0,4] B.[-4,0)∪(0,2]

C.[-4,2] D.[-2,4]D解题心得1.利用基本不等式求解不含等式条件的函数最值的关注点:(1)依据:利用基本不等式求最值的依据是“积定和小”与“和定积大”.(2)定值:即和(或积)为定值,必要时需配凑、拆分出定值.如果求乘积的最值,那么就提出合适的系数,使两项之和为定值;如果求和的最值,那么就添加相同的常数,使两项之积是定值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键.(3)验证:即验证等号成立时的自变量的值是否在所给范围内.2.求解条件最值问题的两种方法(1)常数代换法求最值,其基本步骤为:①定“值”:即根据已知条件或其变形确定定值(常数);②变“1”:即把确定的定值(常数)变形为1;③“1”代:即把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式;④求最:即利用基本不等式求解最值.(2)消元法求最值消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解.3.已知不等式恒成立求参数取值范围的一般方法是分离常数,利用基本不等式求最值.若不能利用基本不等式,可考虑利用函数的单调性.B4能力形成点5基本不等式的实际应用例7

(2021广东广州执信中学月考)某车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一面高为3m,底面积为12m2,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于保管员室的后背靠墙,无需建造费用,因此,甲工程队给出的报价如下:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体的报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7200元,设屋子的左右两面墙的长度均为xm(2≤x≤6).(1)当左右两面墙的长度为多少米时,甲工程队的整体报价最低?(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为

元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,求a的取值范围.解题心得利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数解析式,再用基本不等式求解.对点训练5某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:吨)之间的函数关系可近似地表示为

,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?(2)该单位每月能否获利?如果获利,那么求出最大利润;如果不获利,那么需要国家每月至少补贴多少元才能使该单位不亏损?解

(1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为

因为x∈[400,600],所以该单位月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低平均处理成本为200元.(2)不获利.设该单位每月获利为S元,因为x∈[400,600],所以S∈[-80

000,-40

000].故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴40

000元才能使该单位不亏损.第三环节学科素养提升应用不等式的性质求代数式的取值范围

典例

设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.思路分析f(-1)=a-b,f(1)=a+b.思路1:由条件知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,因此可确定字母a,