历年平面向量高考试题汇集学习资料

历年平面向量高考试

题汇集

高考数学选择题分类汇编【2011课标文数广东卷】已知向量a=(l,2),b=(l,0),c=(3,4).若九为实数，(a+九b)〃c,则九=()1A・4B.2c.1D.2【2011・课标理数广东卷】若向量a,b,c满足a〃b且a丄c,则c・(a+2b)=()A.4B.3c.2D.03.(【2011大纲理数四川卷】如图1—1,正六边形ABCDEF3.()B.BEc.B.BEc.Add.Cf【2011大纲文数全国卷】设向量a,b满足lal=lbl=1,a・b=—*,则la+2bl=()__A.\QBa.'3Ca.;'5Da.''7【2011课标文数湖北卷】若向量a=(1,2),b=(1,—1)，贝V2a+b与a—b的TOC\o"1-5"\h\z夹角等于()nnn3nA.—4B・6C.4D.才【2011课标理数辽宁卷】若a,b,c均为单位向量，且a・b=0,(a—c)・(b—c)W0,贝Vla+b—cI的最大值为()Aa；2—1B.1Ca-'2D.2【解析】la+b—cl=(a+b—c)2=Ja2+b2+c2+2a・b—2a・c—2b・c，由于a・b=0,所以上式=、J3—2c・(a+b)，又由于(a—c)・(b—c)W0,得(a+b)・c三c2=1,所以la+b—cl=3—2c・(a+b)W1,故选B.【2011课标文数辽宁卷】已知向量a=(2,1),b=(—1,k),a・(2a—b)=0,则k=()A.—12B.—6C.6D.12

【2011大纲理数1全国卷】设向量a,b,c满足lal=lbl=l,a・b=—2，〈a—c,b—c〉=60°,TOC\o"1-5"\h\z贝Olcl的最大值等于()A.2Ba；3Ca.'2D.1【2011课标理数北京卷】已知向量a=(叮3,1),b=(0,-1),c=(k,寸3).若a-2b与c共线，则k=.【2011.课标文数湖南卷】设向量a,b满足lal=2远，b=(2,1),且a与b的方向相反，则a的坐标为.【解析】因为a+入b=(1,2)+入(1,0)=(1+入，2),又因为(a+入b)〃c,(1+入)x4—2x3=0,解得入=£•【解析】因为a〃b且a丄c,所以b丄c,所以c•(a+2b)=c・a+2b・c=0.【解析】BA+CD+EF=BA+AF—BC=BF—BC=CF，所以选D.【解析】a+2b2=(a+2b)2=a2+4a•b+4b2=3，贝Va+2b=故选B【解析】因为2a+b=(2,4)+(1,—1)=(3,3),a—b=(0,3),所以2a+b=3寸2,a—b=3.设2a+b与a—b的夹角为0,贝Ucos0=(2a+b(2a+b)i；(a—b)(3,3)•(0,3)、J212a+ba—b—3寸2x3—2又0G[0,n]，所以0=4.【解析】a・(2a—b)=2a2—a・b=0,即10—(k—2)=0,所以k=12，故选D.【解析】设向量a,b,c的起点为O,终点分别为A,B,C,由已知条件得，ZAOB=120°,ZACB=60。，则点C在AAOB的外接圆上，当OC经过圆心时，Icl最大，在△AOB中，求得AB=\/3，由正弦定理得厶AOB外接圆的直径是sin120°=2，同的最大值是2,故选A.【解析】因为a—2b=(\/3,3),由a—2b与c共线，有上3=^，可得k=1.【解析】因为a与b的方向相反，根据共线向量定义有：a=Zb(九<0)，所以a=(2九，九).由lal=2\：5,得冷(2九)2+M—2\；5X——2或九=2(舍去),故a—(—4,—2).11.【2011.课标理数天津卷】已知直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZADC—90°,AD—2,BC—1,P是腰DC上的动点，则iPA+3PBI的最小值为【2011・课标理数浙江卷】若平面向量a,卩满足|a|—1,|P|<1，且以向量a,卩为邻边的平行四边形的面积为1，则a与卩的夹角0的取值范围是【2011.新课标理数安徽卷】已知向量a,b满足(a+2b)・(a—b)=—6，且IaITOC\o"1-5"\h\z—1,IbI—2,则a与b的夹角为.14.【2011・课标文数福建卷】若向量a—(1,1),b—(—1,2),贝Va・b等于【2011.课标理数湖南卷】在边长为1的正三角形ABC中，设BC—2BD,CA—3Ce，则AD・BE=.【2011课标理数江西卷】已知IaI—IbI—2,(a+2b)・(a—b)——2,贝Va与b的夹角为.n【2011・课标文数江西卷】已知两个单位向量e1，e2的夹角为3,若向量b1—e1—2e2，b2—3e1+4e2，贝Ub1^b2—.【2011课标文数全国卷】已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka—b垂直，则k—.【10安徽文数】设向量a=(1,0),b=(丄丄)，则下列结论中正确的是(A)|a|=b(B)a•b二二(C)a//b(D)a-b与b垂直【10重庆文数】若向量a=(3,m),b=(2,-1),agb二0，则实数m的值为33(A)-3(B)3(C)2(D)62【解析】建立如图1—6所示的坐标系，设DC—h，则A(2,0),B(1,h).设|P(0，y)，|(0WyWh)则PA—(2,—y),PB—(1,h—y),•:PA+3PB—'25+(3h—4y)2^,'25—5.==1.==1.【解析】由题意得：bUmsineh+’Ja—l，—「n5n~又VQE(0,n),A0^6，石.【解析】设a与b的夹角为Q,依题意有(a+2b)・(a—b)=a2+a・b—2b2=—7+1n2cosQ=—6，所以cosQ=2・因为OWQWn，故6=3.【解析】由已知a=(1,1),b=(—1,2),得a・b=1X(—1)+1X2=1.【解析】由题知，D为BC中点，E为CE三等分点，以BC所在的直线为x轴,以AD所在的直线为y以AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，可得A0，B[-2,",X—.，故AD=[°，—弓，BE=[5B[-2,",X—.【解析】设a与b的夹角为6,由(a+2b)(a—b)=—2得1nlal2+a・b—2lbl2=4+2X2Xcos6—2X4=—2,解得cos6=2，・：6=3.【解析】|e1|=|e2|=1且e1^e2=|,所以b1/b2=(e1—2e2)^(3e1+4e2)=3e2—2e1^e2—18e2=3_2X2_8=_6.【解析】由题意，得(a+b)・(ka—bj—kbb—a・b+ka・b—bb—k+Ck—1)a・b—1=(k—1)(1+a・b)=0,a与b不共线，所以a・bH—1,所以k—1=0,解得k212212212212【解析】a-b=（丄，一）,（a-b）gb=0，所以a-b与b垂直.22【解析】D21.【10重庆理数】已知向量a,b满足a•b=0,\a\=1,\b\=2,,则\2a-b|A.0B.2迈C.4D.8解析：12a—b=、：(2a—b)2=(4a2—4a-b+b2=*8=2\：2【10湖南文数】若非零向量a，b满足Ia1=1b1,(2a+b)-b=0，则a与b的夹角为CA.300B.600C.1200D.1500uur【10全国卷理数】VABC中，点D在AB上,CD平方ZACB.若CB=a,uurCA=b，34a+—b55IADCA2uur=1，bl=2，则CD=43(D)—a+—b5512(A)-a+—b3321(B)2a+1b(C)33【解析】因为CD平分ZACB，由角平分线定理得一=——=2，所以D为AB|DB||CB|1uuur2uuur2uuuruuur的三等分点，且AD=-AB=-(CB—CA)，所以33uuuruuuruuur2uuur1uuur2r1rCD=CA+AD=—CB+—CA=—a+b，选B.3333uurruuurr【10辽宁文数】平面上O,A,B三点不共线，设OA=a,OB=b，则^OAB的面积等于Irrrr（A）Ja—b2-(a-b)2B)~r~rTa2b2+(a・b)21pt~rrr-(C)a2b2—(a-b)2rrrr2b2+(a-b)2(D)-rr1r1rrS=IaIIbIsin<a,b>=二IaIIbIAOAB22—-皿<a,b>=21a11bf-肽a2b2-(a-b)2uuuruuur25.【10全国卷】△ABC中，点D在边AB上,CD平分ZACB，若CB=a,CA=lbuur12=2lbuur12=2,则CD=(A)3a+ib(B)2a+1b33344(C)-a+—b(D)-a555+3b5•・•CD为角平分线，•・•CD为角平分线，・•・BD=BC=1~AD=AC=2,uuurrruuuruuurAB=CB—CA=a—b，・uuur2uuuruuur2uuur2r2rAD=—AB=—a——b333，r2r2r2r1ra+—b333uuuruuuruuurCD=CA+AD=b+二a一二b=二a+二b对任意的26.【10山东理数】定义平面向量之间的一种运算“e”如下，对任意的rrrra=（m,n），b=（p,q），令aeb=mq-np，下面说法错误的是（rrrrB.aerrrrB.aeb=beaA.若a与b共线，则aeb=0rrC.对任意的九eRrrC.对任意的九eR，有（九a）eb=九（raerb)rrrrrrD.(aeb)2+(ab)2=|a|2|b|2rrearrea=pn-qm，而【解析】若a与b共线，则有aeb=mq-np=0，故A正确；因为brrrrrraeb=mq-np，所以有aeb丰bea，故选项B错误，故选B。27.【10四川理数】设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外,uuuruuuruuuruuuruuuruuuurBC2=16,|AB+AC|=|AB—AC|,则|AM|=(A)8(B)—(C)2(D)1w_ww.k#s5_u.co*muuruuruur,uuruuruuir解析：由BC2=16，得|BC|=4|AB+AC|=|AB—AC|=|BC|=4uuuuruuuruuuruuuuruuuuruuuur而|AB+AC|=2|AM|故|AM|=228.【10天津文数】如图,uuruurBC=、3BD,uurAD=28.【10天津文数】如图,uuruurBC=、3BD,uurAD=1,，在AABC中,

uuruur则AC-AD=AD丄AB,(A)2爲(B)（応(D)朽uuuruuuruuurAC•AD=1ACI•IADIcosZDAC=1ACI•cosZDAC=1ACIsinABACuuuruuuruuuruur=BCsinB=J333(2,5),C=(3,x)满足条件(8—C.(2,5),C=(3,x)满足条件(8—C.4D.330.【10四川文数】设点M是线段BC的中点,uuruurAB+AC=AB-AC，贝VAM=点A在直线BC外,iiirBC2=16,uuruuruuuirA)8B)4(C)2D)129.【10广东文数)w若向量S=(1,1),b=bb)・C=30,则X=CA.6B.5uur解析：由BC2=16，得|BC|=4w_ww.k#s5_u.co*miiiriiiriiiriiiriiiriiiriiiriiiiriiiirIAB+AC|=|AB-AC|=|BC|=4而\AB+AC\=1\AM\故|AM|=2计算题其中【09广东卷文】已知向量a=(sin0,-2)与b=(1,cos0)互相垂直,其中0e(0,|)(1)求sin0和cos0的值兀(2)若5cos(0-q)=3^5cosq,0<q<，求cosq的值2vvvv解(1)Qa丄b，二agb=sin0-2cos0=0，即sin0=2cos0又°・°sin20+cos0=1,4cos20+cos20=1，即cos2=—，•:sin205又0e(0扫).sin0=等,cos0=音⑵\*5cos(e-申)=5(cos0cos申+sin9sin申)=、；5cos+2j5sinq=3J5cos0cosq=sin申，.•.cos2q=sin2q=1一cos2q，即cos2q=—2又0<<兀・=J)又0<q<—，••cosq—22rrr【09江苏卷】设向量a—(4cosa,sina),b—(sinP,4cosP),c—(cosP,-4sinP)rrr若a与b-2c垂直，求tan(a+P)的值；rr求Ib+cI的最大值；rr(3)若tanatanP=16，求证：a〃b.解析本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分14分。CI)由“与l>-2r垂直，a=ab-lar=0?即4sin(ct+/?)-8cos(of+/?)=0,tai(tz+/?)=2；⑵b+r=(sin/?+cos4cds/?-4sinp)\|&+c|2=sin2戸十2sin/?cos/?+tos2/?+16fl-32cwpsinp+16sin2p=l--30sm/Jco<；/?=l--i5siii2/?,最兀值为32,所闊lt+c\的最尢值为4Q⑶曰tanatail/?=1<>sintzsinp=16coscos；,即4costz4cos；/?-sina.sm/?=0,宙以a//brr【09湖南卷文】已知向量a二(sin6,cos6-2sin6),b二(1,2).rr若a//b，求tan6