高数第一部分导数与微分应用

第三课：导数与微分的应用一、内容概要切线问题单调性与极值、最值问题凹凸函数的性质与判断函数的渐近线与函数变化的整体分析考试内容:微分中值定理

法则函数单调性的判别函数的极值

函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘

函数的最大值和最小值

弧微分

曲率的概念

曲率圆与曲率半径二、数学一考研大纲考试要求:掌握用法则求未定式极限的方法．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．二、数学一考研大纲注意:该部分内容数学二的大纲和数学一完全一样，数学三的大纲不要求掌握和计算曲率、曲率圆和曲率半径，其他和数学一二相同。三、概念与基本方法总结考题精讲1、切线问题xyTo

x0若f

(x)在x0处可导，0在点M

(x0

,f

(x0

))处的切线的斜率,即f

(x0

)

tan

,

(为倾角)切线方程为f

(

x

)表示曲线

y

f

(

x)法线方程为y

f

(

x0

)(

x

x0

).0001(

x

x

).f

(

x

)y

y

0

x

x(t

)y

y(t

)参数曲线在t

t

对应切线方程为x

x(t0

)

y

y(t0

)x

'(t0

)

y

'(t0

)极坐标曲线

(

)，相当于给定直角坐标系

x

(

)cos,在点((

),

)处的y

(

)sin

y

'x

'下参数方程x切线斜率为：

k

y

'(11年数三，4分)4曲线tan(x

y

)

ey在点(0,0)处的切线方程为

方程两边同时求导，

y

'(0)

2

切线方程为y

2x(04年数一，4分)

曲线y

ln

x上与直线x

y

1垂直的切线方程为

即求斜率为1的切线方程

y

'

(ln

x)

'

1

1

x

1,

y

0x

切线方程为y

x

1(08年数一，4分)

曲线sin(xy)

ln(

y

x)

xcos(xy)(

y

xy

')

y

'1

1在点(0,1)处的切线方程为(0,1)在曲线上，先求y

'(0)，方程两边对x求导y

x代入x

0,y

1，得y

'(0)

1曲线在点(0,1)处的切线方程为y

x

1x

cos

t

cos2

ty

1

sin

t4于t

点处的法线斜率为(07年数二，4分)曲线上对应cos

t1x

't

sin

t

2

sin

t

cos

t1

2k

y

't

==先求切线斜率

t

点处的法线斜率为1

24

2(97年数一，3分)

对数螺线

e

在点(e

,)2处的切线的直角坐标方程为

x

x

e

cosy

e

sin

y

'

sin

cos

1,x

'

cos

sin对数螺线

e

的参数方程为

斜率k

y

'同时可知

x

0,

y

e

2

切线的直角坐标方程为y

e

2

x202)

tn写出此切线方程，并求lim

nf

(y

n(02年数一，7分)arctan

x已知两曲线y

f

(

x)与e

dt在点(0,

0)处的切线相同，220arctan

x

arctan

x

t

x

0f

'(0)

1e

1

x2

x

0由已知条件：f

(0)

0,e

dt

'

切线方程为y

x

f

(

x)

x

o(

x)

f

(

2

)

2

o(

1

)n

n

n由f

(0)

0,

f

'(0)

1nnnn

n

n

lim

2

no(

1

))

2n

因此：lim

nf

(2

)

lim

n

2

o(1

)00(95年数二，8分) 如图，设曲线L的方程为y

f(x)，且y

'

0，又MT，MP分别为该曲线在点M

(x0

,

y0

)处的切线和法线，已知线段MP的长度为y

''（1

y

'2

）3

2 0

(其中y

' f

'(x0

),y

'0

f

'(x0

))，试推导出点P(

,)的坐标表达式oxyTL本题为推导曲率中心P的公式0 000y

''y

''2MP

0

(

x

)2

(

y

)2

0 （1

y

'2

）3

2（1

y

'2

）30MT

MP

y

'0

y2

22

0

000y

''y

''

1

y

'2

2

1

y

'2

2两式联立

(

x

)

y

'，(

y

)

00

0

2000000y

'y

''y

''1

y

'1

y

'2y

"

0

x

，

y

0

P101例25平面曲线r

(x,y(x))的曲率公式3/

2

y

"1

(

y

')2

曲率半径：R

1曲率圆：以R为半径，与曲线凹向相切的圆曲率中心：曲率圆的圆心(00年数二，7分)已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x

0的某个邻域内满足关系式f

(1

sin

x)

3

f

(1

sin其中

()，高阶的无穷小，且f

(x)在x

1处可导，求曲线y

f

(x)在点(6,f

(6))处的切线方程。f

(x)的周期为5，则f

(6)xx0在

f

( in

x)

3

f

(1

sin

x)

8x

(x)中取x

0

f

(1)

3

f

(1)

0

f

(1)

0lim

f

(1

sin

x)

3

f

(1

sin

x)

8！注意：由于只知道f

(x)在x

1处可导，因此不能对该式使用x于是：lim

f

(1

sin

x)

3

f

(1

sin

x)

4

f

'(1)x0

f

'(1)

2

f

'(6)

2,

f

(6)

f

(1)

0xx

0f

(1

sin

x)f

'(1)

lim

f

(1

x)

f

(1

sin

x)

同理：lim

f

(1

sin

x)

f

'(1)

切线方程为y

2(x

6)2、单调性与极值、最值问题定理

设函数

y

f

(

x)在[a,

b]上连续，在(a,

b)内可导，则：y

f

(x)在[a,b]单调增加当且仅当在(a,b)内f

(x)

0；y

f

(x)在[a,b]单调减少当且仅当在(a,b)内f

(x)

0如果在(a,

b)内f

(

x)

0，那末函数

y

f

(

x)

在[a,

b]上严格单调增加；(4)

如果在(a,

b)内

f

(

x)

0，那末函数

y

f

(

x)

在[a,

b]上严格单调减少.注意：关于导数的符号与单调——导数在一个区间内的符号决定了该区间单调性；

导数在一点的符号不能决定在该点附近的单调性！

(注：导数连续时，可由一点符号确定局部单调性)1

如果'0

),

有f

(

0

,

x0有f

'(x)

0，则f

(x)在x

处取得极大值.02

如果'0

),

有f

(0

,

x0

)

)时,f

'(x)0有f

'(x)

0，则f

(x)在x

处取得极小值.03

如果当0

)及符号相同,则f

(x)在x0处无极值.

),000f

(x)在x

可导

f

'(x

)

0f

(x

)极值反之：f

'(x0

)

0

x0不是极值点满足f

'(x0

)

0的x0称为驻点，未必是极值点！定理(第一充分条件)定理(第二充分条件)设f

(x)在x0处具有二阶导数,且f

'

(

x

)

0,

f

''

(

x

)

0,

那末0

01当f

''

(

x

)

0时,函数f

(

x)在x

处取得极大值;0

02当f

''

(

x

)

0时,函数f

(

x)在x

处取得极小值.0

00f

'(由负变正：极小值点是极值点由正变负：极大值点000f

'(x0

)

0

x

是极值点

f

"(x0

)

0：极小值点f

"(x

)

0

f

"(x

)

0：极大值点

注意：函数的不可导点,也可能是函数的极值点.求函数最值步骤:求驻点和不可导点;求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)实际问题求最值应注意:建立目标函数;求最值;若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最大(或最小)值．(11年数ln

(

x

1)(

x

2)(

x

3)的驻点个（A）

0

（B）1

（C）2

（D）

3(96年数一，3分)设f

(x)有二阶连续导数，xx0且f

'(0)

0,

lim

f

''(

x)

1，则f

(0)是f

(x)的极大值f

(0)是f

(x)的极小值（C）（0,f

(0)）是曲线y

f

(

x)的拐点（D）

f

(0)不是f

(x)的极值点，(0,f

(0))也不是曲线y

f

(

x)的拐点根据极限的局部保号性，在0的局部空心邻域内lim

f

'

0x0

f

'(x)单调递增(即f

'(x)由负变正)

f

(0)为极小值(03年数一，4分)

设函数f

(

x)在(,

)内连续，其导函数的图形

，则f

(

x)有x一个极小值点和两个极大值点两个极小值点和一个极大值点两个极小值点和两个极大值点三个极小值点和一个极大值点y有可能的极值点：导函数的零点(3个)

不可导点(1个，x

0)0f由负变正：极小值点是极值点由正变负：极大值点由负变正：2个极小值点

(C)由正变负：2个极大值点x

)是恒大于零的

g(

x)

联想f

'(

x)g(

x)

f

(

x)g

'(

x)与

f

(

x)

'的联系g(

x)g(a)f

'(

x)g(

x)

f

(

x)g

'(

x)

0

f

(

x)

'

0

g(

x)

g(

x)

g(b)

(A)

f

(

x)

单调减少

f

(b)

f

(

x)

f

(a)(01年数一，3分)设函数f

(x)在定义域内可导，y

f

(x)的图形

，则导函数

y

f

'(x)的图形为xyxy(A)xy(B)xy(C)xy(D)x

0时，f

(

x)单调增加

f

'(

x)

0

(A)(C)错误x

0时，f

(x)变化趋势为增加、减少、增加

f

'(x)的符号为,,

(D)(95年数一，3分)设在[0,1]上f

''(x)

0，则f

'(0)，f

'(1)，f

(1)

f

(0)或f

(0)

f

(1)的大小顺序是（A）

f

'(1)

f

'(0)

f

(1)

f

(0)（B）

f

'(1)

f

(1)

f

(0)

f

'(0)（C）

f

(1)

f

(0)

f

'(1)

f

'(0)（D）

f

'(1)

f

(0)

f

(1)

f

'(0)f

"(x)

0

f

'(x)单调增加

f

'(1)

f

'(

)

f

(1)

f

(0)

f

'(0),11,

000,111，+f

'(

x)0+00+f

(

x)极小值点极大值点极小值点2x2

t

2(10年数一，10分)

求函数f

(

x)

1

(

x

t

)e

dt的单调区间与极值x2x2

t

2

2

x42

x4

t

2te

dt

2x

x

ef

(

x)

1

(

x t

)e

dt

x

1

e

dt1f

'(

x)

2x1

e

dt

x

e

2x

2x1

e

dtf

'(

x)

0

x

0,

101(t

)函数f函数f

(x)的单调增函数f

(x)的极大值为f

(0)函数f

(x)的极小值为f

(1)

0(04年数二，11分)x

2

sin

t

dt，则x设f

(x)

22xxsin

t

dtx

+x

3x

x

2

sin

t

dt

f

(

x)f

(

x+

)

sin

udu

(I)

证明f

(x)是以

为周期的周期函数；（II）求f

(x)的值域。第I问只需验证f

(

x

)

f(

x)，用定积分的换元法(令u

t

-

)

第II问只论f

(x)在0,

上的值域，即最大值和最小值2f

)

sin(

x

)

sin

x

cos

x

sinx

0044444f

(

32554

343f

(0)

f

(

)

sin

tdt

2;)

sin

tdt

1;

f

( )

4sin

t

dt

3

sin

tdt

sin

tdt

2

2;在0,

上

x

,34

4比较f

(x)在x

0,

,3

,的函数值：4

4

最小值为2

2，最大值为2，值域为2

2，2

(90年数象限部分上求一点椭圆及两坐标轴所围图形面（其中a

0,

b

0)b2a2

y(

X

x)

yY

1a2

b2首先计算椭圆上点(x,y)处的切线方程：2斜率k

b xa2

y切线方程为Y

y

xX

yYa2

b22

2

1

a

b2

x y 4

1

ab其次计算所围图形的面积：切线2

2

1的两个截距为a

和bx y所围图形的面积

三角形面积四分之一椭圆面积22a2

b21

a

2b2

12

xy

4

y最后求面积

ab的最小值

求xy的最大值(x,y满足x

1)2

22x2

y2ba2a2

b2aa2abbx2b(a2a2aa2x2

1

y

x2

x2

2

x2

)

f

'(

x)

x2

0a

x2a

a22

b

2方法一：令f

(x)

xy

b

x

x

2

a

y

2

b

P点为

2

a,x2

y2方法二：令f

(

x,

y)

xy，约束条件为

1a2

b2利用多元函数的条件极值方法（Lagrange乘数法）2、凹凸函数的性质与判断定义（凸函数与凹函数）设f

:

I

R，若x1

,

x2

I，

[0,1]有f

x1

(1

)

x2

f

(

x1

)

(1

)

f

(

x2

)则称f

为I上的凹函数；若x1

x2

I，

(0,1)有f

x1

(1

)

x2

f

(

x1

)

(1

)

f

(

x2

)则称f

为I上的严格凹函数；上述不等号反向时，分别称f

为凸（严格凸）函数.f

(

x1

)

f

(

x2

)

,设f

(x)在(a,b)内连续,如果对(a,b)内任意2

2两点定义那末称f

(x)在(a,b)内的图形是凹的;如果对(a,b)内任意两点x1

,x2

,恒有

f

(x1

x2

)

f

(x1

)

f

(x2

),2

2那末称f

(x)在(a,b)内的图形是凸的;如果f

(x)在[a,b]内连续,且在(a,b)内的图形是凹(或凸)的,那末称f

(x)在[a,b]内的图形是凹(或凸)的;对于连续函数凹凸性，有如下等价的定义：设函数f

在区间I上一阶可导,若f

'在I上严格单调增(单调减),则f

是I上的严格凹(凸)函数.推论 如果

f

(

x)

在[a,

b]

上连续,

在(a,

b)内具有二阶导数

,

若在

(a,

b)内f

(x)

()0,则f

(x)在[a,b]上的图形是严格凹(凹)的;f

(x)

()0,则f

(x)在[a,b]上的图形是严格凸(凸)的.定理几何意义：f

(x)

0(凹)

切线在函数下方，弦(割线)在函数上方f

(x)

0(凸)

切线在函数上方，弦(割线)在函数下方连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.0(

k

)f

(

x)在x0处的第一个非零导数为f

(

x0

)(k

2)

k为奇数，则

x0

,

f

(

x0

)是曲线y

f

(

x)的拐点k为偶数，则x

是函数f

(x)的极值点0

f

"(

f

'(若x0为f

(x)的不可导点(二阶不可导点)0

,

f

(

x0

)是曲线y

f

(

x)的拐点是函数f

(x)的极值点P102例26(00年数二，3分)

设函数f

(

x)满足关系式

f

''(

x)

[

f

'(

x)]2

x，且f

'(0)

0，则f

(0)是f

(x)的极大值f

(0)是f

(x)的极小值（C）（0,f

(0)）是曲线y

f

(

x)的拐点（D）

f

(0)不是f

(x)的极值点，(0,f

(0))也不是曲线y

f

(

x)的拐点22f

'(0)

0

f

''(

x)

x

[

f

'(

x)]2f

''(

x)

[

f

'(

x)]

x

f

''(0)

0

f

'''(

x)

1

2

f

'(

x)

f

''(

x)f

"(0)

0f

''(

x)

x

[

f

'(

x)]

f

'''(0)

1第一个使得f

(k

)(0)

0的k是奇数

(C)2曲线y

(x

5)x

3(08年数二，4分)223109y

"

1y

xx

3

y

"在x

1两侧

拐点为1,(11年数一，4分)曲线y x

1)(

x

2)2

(

x

3)3

(

x

4)4的拐点是

（A）

(1,

0)（C）

(3,

0)（B）

(2,

0)（D）

(4,

0)y

"在x

3处为0，y

'''在x

3处不为0

拐点为3,0直接计算y

"与y

'"麻烦考虑它们在x

1,2,

3,

4时的符号：y

"(3)

y

"(4)

0,

y

"'(4)

0,

y

'"(3)

0(06年数一，4分)设函数f

(x)具有二阶导数，且f

'(x)在点x0处的增量，y与dy分别为f

(x)在点x0处的增量与微分，若x

0，则（A）

0

dy

y（C）

y

dy

0（B）

0

y

dy（D）

dy

y

0y：函数的增量，dy：切线的增量f

'(

x)

0

y

0，f

''(x)

0

切线在函数下方

y

dyf

''(

x)

0

f

(

x0

x)

f

(

x0

)

f

'(

x0

)x(07年数一，4分)设函数f

(x)在(0,

)上具有二阶导数，且f

''(x)

0，令un

=f

(n)(n

1,2,

)，则下列结论正确的是（A）若u1u2，则un

必收敛（B）若u1u2，则un

必发散（C）若u1

u2，则un

必收敛（D）若u1

u2，则un

必发散这是根据f

"(x)

0判断函数整体性质的典型题目f

"(x)

0

f

'(x)单调增加，三种典型函数图像xxxy

y

y先减小，再增大一直减小可能使un

收敛一直增大un

un

u1

u2，即f

(1)

f

(2)，函数存在减小的过程

函数图像有前两种可能（A）（B）错误u1

u2，即f

(1)

f

(2)，函数在x

2后只会增加

函数图像只有第三种可能（C）错误（D）正确3、函数的渐近线与函数变化的整体分析那么

x

x0

就是

y

f

(

x)

的一条铅直渐近线.(2).水平渐近线(平行于x

轴的渐近线)如果

lim

f

(

x)

b

或

lim

f

(

x)

b

(b

为常数)x

x那么

y

b

就是

y

f

(

x)

的一条水平渐近线.0(1).铅直渐近线(垂直于x

轴的渐近线)如果

lim

f

(

x)

或

lim

f

(

x)

3.斜渐近线那么

y

ax

b

就是

y

f

(

x)

的一条斜渐近线.斜渐近线求法:(a,b

为常数)或lim[f

(x)

(ax

b)]

0如果

lim

[

f

(

x)

(ax

b)]

0xxxlim

f

(

x)

a,xlim[

f

(

x)

ax]

b.x那么

y

ax

b

就是曲线

y

f

(

x)

的一条斜渐近线.注意:如果x(1)lim

f

(x)不存在;x