专题09 计数原理与概率统计解析版-山东省2022届高三数学一模考试分类汇编

试卷第=page2929页，共=sectionpages3030页试卷第=page3030页，共=sectionpages3030页高三数学一模考试分类汇编专题09计数原理与概率统计一、单选题1．（2022·山东枣庄·一模）下图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的25%分位数为（

）A．66.5 B．67 C．67.5 D．68【答案】C【分析】直接按照频率分布直方图的百分位数求解即可.【详解】第一组的频率为，前两组的频率之和为，知25%分位数在第二组内，故25%分位数为.故选：C.2．（2022·山东青岛·一模）甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为（

）A．0.36 B．0.352 C．0.288 D．0.648【答案】D【分析】由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，然后由独立事件和互斥事件的概率公式求解即可【详解】由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，则获胜的概率为二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，则获胜的概率为，而这两种情况是互斥的，所以甲最终获胜的概率为，故选：D3．（2022·山东聊城·一模）根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（

）A．变量与不独立B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过C．变量与独立D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过【答案】C【分析】直接利用独立性检验的知识求解.【详解】按照独立性检验的知识及比对的参数值，当，我们可以下结论变量与独立.故排除选项A,B;依据的独立性检验，6.147<6.635,所以我们不能得到“变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过”这个结论.故C正确，D错误.故选：C4．（2022·山东济南·一模）某学校于3月12日组织师生举行植树活动，购买垂柳、银杏、侧柏、海桐四种树苗共计1200棵，比例如图所示.高一、高二、高三报名参加植树活动的人数分别为600，400，200，若每种树苗均按各年级报名人数的比例进行分配，则高三年级应分得侧柏的数量为（

）A．34 B．46 C．50 D．70【答案】C【分析】根据给定的扇形统计图求出购买的侧柏数量，再按各年级报名人数比求解作答.【详解】由扇形统计图知，购买的1200棵树苗中，侧柏的数量为，依题意，高一、高二、高三分到的侧柏的棵数比为：，所以高三年级应分得侧柏的数量为.故选：C5．（2022·山东济南·一模）我们通常所说的ABO血型系统是由A，B，O三个等位基因决定的，每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自父亲和母亲，其中AA，AO为A型血，BB，BO为B型血，AB为AB型血，OO为O型血.比如：父亲和母亲的基因型分别为AO，AB，则孩子的基因型等可能的出现AA，AB，AO，BO四种结果，已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型，不考虑基因突变，则小明是A型血的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件求出父亲所有可能血型的概率，再分情况求解小明是A型血的概率作答.【详解】因小明的爷爷、奶奶的血型均为AB型，则小明父亲的血型可能是AA，AB，BB，它们对应的概率分别为，当小明父亲的血型是AA时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型可能是AA，AB，它们的概率均为，此时小明是A型血的概率为，当小明父亲的血型是AB时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型是AA的概率为，此时小明是A型血的概率为，当小明父亲的血型是BB时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型不可能是AA，所以小明是A型血的概率为，即C正确.故选：C6．（2022·山东烟台·一模）“碳中和”是指企业、团体或个人等测算在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某“碳中和”研究中心计划派5名专家分别到A，B，C三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派驻1名专家，则分派方法的种数为（

）A．90 B．150 C．180 D．300【答案】B【分析】根据题意，运用分类讨论思想，结合排列和组合的性质进行求解即可.【详解】根据题意有两种方式：第一种方式，有一个地方去3个专家，剩下的2个专家各去一个地方，共有种方法，第二种方式，有一个地方去1个专家，另二个地方各去2个专家，共有，所以分派方法的种数为，故选：B7．（2022·山东菏泽·一模）的展开式中的系数是12，则实数a的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】利用二项式定理将式子展开即可求解.【详解】利用二项式定理展开得则的系数为.故选：C.8．（2022·山东济宁·一模）甲､乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据全概率公式进行求解即可.【详解】设事件表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中，事件表示从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中，设事件表示：从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球，则有：，所以，故选：B9．（2022·山东潍坊·一模）第十三届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行.现从4名男生，2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有1名女生被选中，则不同的选择方案共有（

）.A．72种 B．84种 C．96种 D．124种【答案】C【分析】先分有一名女生和没有女生两种情况选出自愿者，然后再排列.【详解】第一步，选出的自愿者中没有女生共种，只有一名女生共种；第二步，将三名志愿者分配到三项比赛中共有.所以，不同的选择方案共有种.故选：C10．（2022·山东淄博·一模）若，则（

）A．-448 B．-112 C．112 D．448【答案】C【分析】，然后根据二项式展开式项的系数计算即可.【详解】，.故选：C.11．（2022·山东临沂·一模）二项式的展开式中系数为无理数的项的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】写出二项展开式通项公式，由的指数不为整数可得无理项的个数．【详解】展开式通项公式为，，当时，是整数，时，是不是整数，系数是无理数，共有3项．故选：B．12．（2022·山东临沂·一模）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字的个数为（

）A．720 B．1440 C．2280 D．4080【答案】C【分析】以间接法去求解这个排列问题简单快捷.【详解】一共有7个数字，且其中有两个相同的数字1.这7个数字按题意随机排列，可以得到个不同的数字.当前两位数字为11或12时，得到的数字不大于3.14当前两位数字为11或12时，共可以得到个不同的数字，则大于3.14的不同数字的个数为故选：C二、多选题13．（2022·山东枣庄·一模）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两个球中有红球”，则（

）A．B．C．D．【答案】AD【分析】依次计算出4个事件对应的概率，再依次判断4个选项即可.【详解】由题意知：“第一次摸到红球”，第一次从2个红球摸1个，第二次从剩下的3个里摸1个，故；“第二次摸到红球”，若第一次从2个红球摸1个，第二次直接摸剩下的1个红球，若第一次从2个绿球摸1个，第二次从2个红球里摸1个，故；“两次都摸到绿球”，第一次从2个绿球摸1个，第二次直接摸剩下的1个绿球，故；“两个球中有红球”和“两次都摸到绿球”互为对立事件，故，故，A正确；，B错误；，C错误；“两次都摸到绿球”和“第二次摸到红球”为互斥事件，D正确.故选：AD.14．（2022·山东青岛·一模）某市为了更好的支持小微企业的发展，对全市小微企业的年税收进行适当的减免，为了解该地小微企业年收入的变化情况，对该地小微企业减免前和减免后的年收入进行了抽样调查，将调查数据整理，得到如下所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（

）A．推行减免政策后，某市小微企业的年收入都有了明显的提高B．推行减免政策后，某市小微企业的平均年收入有了明显的提高C．推行减免政策后，某市小微企业的年收入更加均衡D．推行减免政策后，某市小微企业的年收入没有变化【答案】BC【分析】根据减免前，减免后的频率分布直方图，逐个分析选项即可【详解】对于A，从图中无法确定推行减免政策后，某市小微企业的年收入是否都有了明显的提高，故A错误；对于B，从图中可以看出，减免前占比最多的平均年收入为万元，其次是万元及万元，减免后占比最多的为万元，其次是万元及万元，明显增多，所以平均年收入也有明显提高，所以B正确.对C，从图中看出，推行减免政策后，年收入更加集中，所以减免后年收入更加均衡，所以C正确；对于D，从图中看出，某市小微企业的年收入有明显变化，所以D错误.故选:BC15．（2022·山东济南·一模）的展开式中，下列结论正确的是（

）A．展开式共6项 B．常数项为64C．所有项的系数之和为729 D．所有项的二项式系数之和为64【答案】CD【分析】利用二项展开式的特点判断A；求出指定项判断B；利用赋值法求出展开式系数和判断C；利用二项式系数的性质判断D作答.【详解】展开式的总项数是7，A不正确；展开式的常数项为，B不正确；取得展开式的所有项的系数之和为，C正确；由二项式系数的性质得展开式的所有项的二项式系数之和为，D正确.故选：CD16．（2022·山东泰安·一模）某工厂研究某种产品的产量x（单位：吨）与需求某种材料y（单位：吨）之间的相关关系，在生产过程中收集了4组数据如表所示x3467y2.5345.9根据表中的数据可得回归直线方程，则以下正确的是（

）A．变量x与y正相关 B．y与x的相关系数C． D．产量为8吨时预测所需材料约为5.95吨【答案】ACD【分析】先求得，然后根据回归直线方程的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】，，所以，所以变量x与y正相关，y与x的相关系数，，产量为8吨时预测所需材料约为吨.所以ACD选项正确，B选项错误.故选：ACD17．（2022·山东烟台·一模）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据古典概型的计算公式，结合条件概率的计算公式逐一判断即可.【详解】因为甲罐中有3个红球、2个黑球，所以，故选项A正确；因为，所以选项C正确；因为，所以，因此选项D正确；因为，所以选项B不正确，故选：ACD18．（2022·山东日照·一模）经研究，变量y与变量x具有线性相关关系，数据统计如下表，并且根据表中数据，求得y关于x的线性回归方程为，下列正确的是（

）x247101522y8.19.41214.418.524A．变量y与x呈正相关 B．样本点的中心为（10，14.4）C． D．当时，y的估计值为13【答案】AB【分析】先根据回归方程可判断选项A，求出样本中心，结合回归方程可判断B,C,D，得出答案.【详解】由线性回归方程为可得变量y与x呈正相关，故选项A正确.由表中数据可得，故样本点的中心为（10，14.4），所以选项B正确.将样本点的中心为（10，14.4）代入，可得，解得，故选项C不正确.将代入回归方程可得，故选项D不正确.故选：AB19．（2022·山东淄博·一模）某人投掷骰子5次，由于记录遗失，只有数据平均数为3和方差不超过1，则这5次点数中（

）A．众数可为3 B．中位数可为2 C．极差可为2 D．最大点数可为5【答案】AC【分析】根据方差、平均数、众数、中位数的定义进行逐项判断.【详解】解：对于选项A：如果五次都为，满足题意，众数为，符合题意，故A正确；对于选项B：若中位数，则出现这组情况方差最小，但此时方差大于，故不符合题意，故B错误；对于选项C：这种情况下方差小于，故C正确；对于选项D：若最大点数为，当方差最小，该组数为，该组数的方差大于，故D错误；故选：AC20．（2022·山东临沂·一模）给出下列说法，其中正确的是（

）A．若数据，，…，的方差为0，则此组数据的众数唯一B．已知一组数据2，3，5，7，8，9，9，11，则该组数据的第40百分位数为6C．一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数应该大体上差不多D．经验回归直线恒过样本点的中心，且在回归直线上的样本点越多，拟合效果越好【答案】AC【分析】依据方差定义及众数定义去判断选项A；求得第40百分位数去判断选项B；依据中位数定义和平均数定义去判断选项C；依据回归直线拟合效果判断标准去判断选项D.【详解】选项A：由方差可得，即此组数据众数唯一.判断正确；选项B：数据2，3，5，7，8，9，9，11.共有8个数，由可知，该组数据的第40百分位数为第4个数为7.判断错误；选项C：依据中位数定义和平均数定义，一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数应该大体上差不多.判断正确；选项D：回归直线的拟合效果看残差平方和，残差平方和越小，拟合效果越好，不是看回归直线上的样本点多，拟合效果越好.判断错误.故选：AC三、填空题21．（2022·山东枣庄·一模）已知随机变量，若最大，则______．【答案】24【分析】先根据解出，再根据二项分布的方差公式求出，再计算即可.【详解】由题意知：，要使最大，有，化简得，解得，故，又，故.故答案为：24.22．（2022·山东青岛·一模）的展开式中的系数是______．（用数字作答）【答案】【分析】由二项式定理可得的展开式的通项公式，由通项公式结合条件可得答案.【详解】的展开式的通项公式为，令可得所以的展开式中的系数是故答案为：23．（2022·山东聊城·一模）第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”“飞跃”“冰墩墩”"雪容融”等，小明现有“冬梦”"飞跃”“冰墩墩”"雪容融”邮票各2张，他打算从这8张邮票中任选3张赠送给同学小红，则在选中的3张邮票中既有“冰墩墩”邮票又有“雪容融”邮票的概率为___________.【答案】【分析】既有“冰墩墩”邮票又有“雪容融”邮票包括1张“冰墩墩”和2张“雪容融”、2张“冰墩墩”和1张“雪容融”、1张“冰墩墩”和1张“雪容融”和1张其他，再按照古典概型求解即可.【详解】3张邮票中有1张“冰墩墩”邮票和2张“雪容融”邮票的情况有种，有2张“冰墩墩”邮票和1张“雪容融”邮票的情况有种，有1张“冰墩墩”邮票和1张“雪容融”邮票和1张其他邮票的情况有种，3张邮票中既有“冰墩墩”邮票又有“雪容融”邮票的概率为.故答案为：.24．（2022·山东泰安·一模）在的展开式中，含的项的系数是___________.【答案】6【分析】分别求出和展开式的通项公式，根据的组合形式分别求解即可.【详解】的展开式的通项公式为，的展开式的通项公式为，所以展开式中，含的项为：，所以含的项的系数为6．故答案为：6.25．（2022·山东烟台·一模）若的展开式中项的系数为－160，则正整数n的值为______．【答案】6【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式的通项公式为：，令，所以，令，所以，，或，因为，所以方程无实数根，故，即，故答案为：26．（2022·山东日照·一模）展开式中的常数项为__________．【答案】【详解】，令，得，∴常数项为．27．（2022·山东济宁·一模）的二项展开式中的常数项为___________.（用数字作答）【答案】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为零，求出，从而可求出常数项【详解】二项式展开式的通项公式为，令，得，所以的二项展开式中的常数项为，故答案为：28．（2022·山东淄博·一模）甲、乙、丙家公司承包了项工程，每家公司承包项，则不同的承包方案有______种．【答案】【分析】利用组合计数原理可得结果.【详解】甲、乙、丙家公司承包了项工程，每家公司承包项，则不同的承包方案种数为.故答案为：.四、解答题29．（2022·山东枣庄·一模）已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．(1)如果小明不知道单项选择题的正确答案，就作随机猜测．已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是，在他做完单项选择题后，从卷面上看，在题答对的情况下，求他知道单项选择题正确答案的概率．(2)假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求：（i）；（ii）的分布列及数学期望．【答案】(1)；(2)（i）；（ii）分布列见解析，数学期望.【分析】（1）先通过全概率公式求出题目答对了的概率，再通过条件概率计算答对的情况下，知道单项选择题正确答案的概率即可；（2）依次计算的概率，列出分布列计算期望即可.（1）记事件A为“题目答对了”，事件B为“知道正确答案”，则由全概率公式：，所求概率为.（2）设事件表示小明选择了个选项，，表示选到的选项都是正确的.则，，.（i）；（ii）随机变量的分布列为025.30．（2022·山东青岛·一模）规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望；(2)为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下：1234523298604020求关于的回归方程，并预测成功的总人数（精确到1）；(3)证明：．附：经验回归方程系数：，；参考数据：，，（其中，）．【答案】(1)分布列见解析，数学期望为(2)回归方程为，预测成功的总人数为465(3)证明见解析【分析】（1）结合相互独立、独立重复试验的概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.（2）利用换元法，结合回归直线方程的计算公式，计算出关于的回归方程，并由求得预测值.（3）通过求“在前轮没有成功的概率”大于，来求得“前轮就成功的概率”小于，从而证得不等式成立.（1）由题知，的取值可能为1，2，3所以；；；所以的分布列为：123所以数学期望为.（2）令，则，由题知：，，所以，所以，，故所求的回归方程为：，所以，估计时，；估计时，；估计时，；预测成功的总人数为.（3）由题知，在前轮就成功的概率为又因为在前轮没有成功的概率为，故.31．（2022·山东聊城·一模）为了解某车间生产的产品质量，质检员从该车间一天生产的100件产品中，随机不放回地抽取了20件产品作为样本，并一一进行检测.假设这100件产品中有40件次品，60件正品，用表示样本中次品的件数.(1)求的分布列（用式子表示）和均值；(2)用样本的次品率估计总体的次品率，求误差不超过的概率.参考数据：设，则，.【答案】(1)的分布列为，的均值为；(2)【分析】（1）由题意随机变量服从超几何分布，从而即可求解；（2）样本中次品率是一个随机变量，由题意，，根据参考数据即可求解.(1)解：由于质检员是随机不放回的抽取20件产品，各次试验之间的结果不相互独立，所以由题意随机变量服从超几何分布，所以的分布列为，的均值为；(2)解：样本中次品率是一个随机变量，所以.所以误差不超过的概率为.32．（2022·山东济南·一模）第56届世界乒乓球锦标赛将于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮.现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得1分.(1)已知某局比赛中双方比分为8：8，此时甲先连续发球2次，然后乙连续发球2次，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛甲以11：9获胜的概率；(2)已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立.两人又进行了X局后比赛结束，求X的分布列与数学期望.【答案】(1)(2)见解析，【分析】（1）利用相互独立事件同时发生的概率公式、互斥事件的概率公式公式进行求解即可；（2）写出随机变量的所有可能取值，利用相互独立事件同时发生的概率公式求出各自概率，列表得到分布列，再利用期望公式进行求解..（1）解：设事件“在比分为8：8的条件下甲以11：9获胜”，则.（2）解：随机变量X的所有可能取值为：2，3，4，5，，，，，所以随机变量X的分布列为：X2345P所以.33．（2022·山东泰安·一模）某工厂“对一批零件进行质量检测.具体检测方案为：从这批零件中任取10件逐一进行检测，当检测到有2件不合格零件时，停止检测，此批零件检测未通过，否则检测通过.假设每件零件为不合格零件的概率为0.1，且每件零件是否为不合格零件之间相互独立.(1)若此批零件检测未通过，求恰好检测5次的概率；(2)已知每件零件的生产成本为80元，合格零件的售价为150元/件，现对不合格零件进行修复，修复后合格的零件正常销售，修复后不合格的零件以10元/件按废品处理，若每件零件的修复费用为20元，每件不合格零件修复后为合格零件的概率为0.8，记X为生产一件零件获得的利润，求X的分布列和数学期望.【答案】(1)0.02916(2)分布列见解析；（元）【分析】（1）若此批零件检测未通过，恰好检测5次，则第五次检验不合格，前四次有一次检验不合格，再根据独立重复实验的概率公式即可得解；（2）可取，求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式计算即可.(1)解：若此批零件检测未通过，恰好检测5次，则第五次检验不合格，前四次有一次检验不合格，故恰好检测5次的概率；(2)解：由题意，合格产品利润为70元，不合格产品修复合格后利润为50元，不合格产品修复后不合格的利润为元，则可取，，，，故分布列为：70500.90.080.02所以（元）.34．（2022·山东烟台·一模）2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京成功举办．这场冰雪盛会是运动健儿奋力拼搏的舞台，也是中外文明交流互鉴的舞台，折射出我国更加坚实的文化自信，诠释着新时代中国的从容姿态，传递出中华儿女与世界人民“一起向未来”的共同心声．某学校统计了全校学生观看北京冬奥会开幕式和闭幕式的时长情况（单位：分钟），并根据样本数据绘制得到下图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a的值，并估计样本数据的85%分位数；(2)采用样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在[200，280]的学生中抽取6人．若从这6人中随机抽取3人在全校交流观看体会，设抽取的3人中观费时长在[200，240）的人数为X，求X的分布列和数学期望．【答案】(1)a＝0.004，85%分位数为；(2)分布列见解析，.【分析】（1）由频率直方图的频率和为1列方程求参数a，应用百分数的求法求85%分位数；（2）利用分层抽样确定[200,240)、[240,280]中分别抽取的人数，进而可得X可能取值为1、2、3，并求出对应值的概率即可得分布列，根据分布列求期望即可.（1）由题意，40×(0.0005＋0.002×2＋2a＋0.006＋0.0065)＝1，解得a＝0.004．由频率分布直方图知，观看时长在200分钟以下占比为40×(0.0005＋0.002＋0.004＋0.006＋0.0065)＝0.76．观看时长在240分钟以下占比为0.76＋40×0.004＝0.92．所以85%分位数位于[200,240)内，85%分位数为．（2）由题意，观看时长[200,240)、[240,280]对应的频率分别为0.16和0.08，所以采用分层随机抽样的方式在两个区间中应分别抽取4人和2人．于是抽取的3人中现看时长在[200,240)中的人数X的所有可能取值为1，2，3．所以，，，．X的分布列为X123P所以，．35．（2022·山东日照·一模）春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”.某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20~10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图.其中时间段9：20~9：40记作区间，9：40~10：00记作，10：00~10：20记作，10：20~10：40记作，例如：10点04分，记作时刻64.(1)估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记X为9：20~10：00之间通过的车辆数，求X的分布列与数学期望；(3)由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T服从正态分布，其中可用这600辆车在9：20~10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46~10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.参考数据：若，则，，.【答案】(1)(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）将直方图中每个小长方形的中点横坐标作为该组数据的代表值，频率作为权重，加权平均即可．（2）抽样比为，计算出各区间抽取的车辆数，找到随机变量的所有可能的取值，计算出每个对应的概率，列分布列，求期望即可．（3）根据频率分布直方图估计出方差，再结合（1）求出的期望，得到，再根据其对称性处理即可．（1）解：这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值为，即（2）解：结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在前通过的车辆数就是位于时间分组中在，这一区间内的车辆数，即，所以的可能的取值为0，1，2，3，4．所以，，，，，所以的分布列为：01234所以．（3）由（1）得，，所以，估计在之间通过的车辆数也就是在，通过的车辆数，由，，得，所以估计在在之间通过的车辆数为辆．36．（2022·山东菏泽·一模）新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取n人，每人一份血样，共份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：方案甲：逐份检验，需要检验n次；方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有份，分别从k份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人全部为阴性，因而这k个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k个人的血样再逐份检验，因此这k个人的总检验次数就为．假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为．(1)若，，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率；(2)记为用方案乙对k个人的血样总共需要检验的次数．①当，时，求；②从统计学的角度分析，p在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据：）【答案】(1)(2)①②【分析】（1）利用每个人的血样检验结果的独立性解题.（2）分别计算出总检验次数为1与时的概率，即可列出分布列，进而求得；如果用方案乙能减少总检验次数，则，化简后即可求解.（1）对5个人的血样进行检验，且每个人的血样是相互独立的，设事件A为“5个人的血样中恰有2个人的检验结果为阳性”，则（2）①当，时，5个人的血样分别取样再混合检验，结果为阴性的概率为，总共需要检验的次数为1次；结果为阳性的概率为，总共需要检验的次数为6次；所以的分布列为：16P所以．②当采用混合检验的方案时，根据题意，要使混合检验的总次数减少，则必须满足，即，化简得，所以当P满足，用混合检验的方案能减少检验次数．37．（2022·山东济宁·一模）血液检测是诊断是否患某疾病的重要依据，通过提取病人的血液样本进行检测，样本的某一指标会呈现阳性或阴性.若样本指标呈阳性，说明该样本携带病毒；若样本指标呈阴性，说明该样本不携带病毒.根据统计发现，每个疑似病例的样本呈阳性（即样本携带病毒）的概率均为.现有4例疑似病例，分别对其进行血液样本检测.多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要携带病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性.若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.现有以下两种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验.在该疾病爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.(1)若，求这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X的分布列；(2)若将该4例疑似病例样本进行化验，且方案二比方案一更“优”，求p的取值范围，【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）由题意知，，利用二项分布的概率计算公式即可求解；（2）方案一中，期望为4；方案二中，设化验次数为Y，则Y的所以可能取值为2，4，6，计算出Y的取值对应的概率，然后根据期望公式求出，从而即可求解.(1)解：由题意知，，则；；；；.则这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X的分布列为：X01234P(2)解：方案一中，逐个化验，化验次数为4，期望为4；方案二中，设化验次数为Y，则Y的所以可能取值为2，4，6，每组两个样本化验呈阴性的概率为，设，则；；.所以，若方案二比方案一更“优”，则，解得，即，解得.所以当时，方案二比方案一更“优”.38．（2022·山东潍坊·一模）根据国家部署，2022年中国空间站“天宫”将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程3D模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为，每位选手每次编程都互不影响.(1)求乙闯关成功的概率；(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和数学期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.【答案】(1)(2)分布列见解析，，甲比乙闯关成功的可能性大【分析】（1）可分析出“乙闯关”属于独立重复实验，直接求概率；（2）直接求出甲编写程序正确的个数X的分布列和数学期望，再求出甲闯关成功的概率，比较甲、乙闯关成功的概率，即可下结论.(1)记乙闯关成功为事件A，所以.(2)由题意知随机变量X是所有可能取值为0，1，2，3，，，，，故X的分布列为X0123P所以.所以甲闯关成功的概率为，因为，所以甲比乙闯关成功的可能性大.39．（2022·山东淄博·一模）某选手参加射击比赛，共有3次机会，满足“假设第k次射中的概率为p．当第k次射中时，第次也射中的概率仍为p；当第k次未射中时，第次射中的概率为．”已知该选手第1次射中的概率为．(1)求该选手参加比赛至少射中1次的概率；(2)求本次比赛选手平均射中多少次？【答案】(1)(2)【分析】（1）利用事件的对立性求解即可；（2）先取可能的取值有，然后分别求出概率，再求数学期望即可.(1)由题意，第1次射中的概率为，则不中的概率为，当第1次不中时，第2次射中的概率为，所以第2次不中的概率为；当第2次不中时，第3次射中的概率为，所以第3次不中的概率为.所以3次都不中的概率为.所以(该选手参加比赛至少射中1次).(2)令该选手射中的次数为，则可能的取值有.由（1）可知；；；.所以本次比赛选手平均射中次数为