第十二周笔记及题目解析

已知平面上不重合的四点P，A，B，C满足PAPBPC0且ABACmAP，那么实数m的值为 已知平面向量,,

1,

2,22a

若非零向量ab

bab，则a与ab的夹角 2，3，B（3，2）a

1bxy2

y{xy40，求（1）x2y,(2) ,(3)x2y210y25的最小x2xy5圆关于直线对称的圆的方程C：(x1)2y2)225，直线l2m1)xm1)y7m4交点，经过这三个交点的圆记为C（1）求实数b的取值范围（2）求圆C的方程；fxx22xb0b≠0Δ＞0b＜1且（Ⅱ）设所求圆为一般方程，x2y2DxEyF0 x2y22xb1)yb0已知直线l当直线lx2y2有两个交点时，其斜率k的取值范围是．已知圆(x1)2y21P(0,2P已知P是直线3x4y80上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为 若直线l与圆x2(y1)24相交于A,B两点,且线段AB的中点坐标是(1,2),则直线l的方程为 已知圆C：(x1)2y28，过点A(1,0)的直线l将圆C分成弧长之比为1:2的两段圆弧，则直线l的方程为 Cy=x2+a到直线l:y=x的距离等于Cx2+(y+4)2=2到直l:y=x的距离,则实 222202解析：C：x2＋(y＋4)2＝2，圆心(0，—4)，圆心到直线l：y＝x的距离为：d 2 故曲线C2到直线l：y＝x的距离为ddr222202 2＝x的距离的点为

1，

a)，d

111(24 a11(242 22已知椭圆C：x2y21(ab0)的离心率e 2

4 求椭圆C的方程5c ca

a2b2c2323

a2b 4因为原点到直线AB：1的距离d ,解得a4,b2a2a2 y故所求椭圆C的方程 已知椭圆C：x2y21(ab0)的右焦点为F(1,0)且点 2)在椭圆C上

椭圆C的标准方程

所以 1．所以椭圆C的标准方程

x(1(1 222222

2

1(0m

A 如图,椭圆C:

是椭圆上异于

PAM对称.若椭圆CM,使得OPOMm的取值

x001,且1x0 m因为MAP的中点,所以P(2x01,2y0因为OPOM,所以x(2x1)2y20 2x2由①,②消去y0,整理得m 02x2034 34所以m1 2 2(x02)

23当且仅当x02 3所以m的取值范围是(0,1 3 22a

y

1(ab0)6设过椭圆的右焦点且倾斜角为4533直线l和椭圆交于A，B两点.当|AB 3ca

a23b2.x23y2636 4x262bx3b2 33设A(x1,y1),B(x2,y2)，由③有：x1x2 ,x1x2

(x2(x2x1)2(y2y1x2y2

a

3b∴b2272b2213 b

1，短轴长为 （3 4ac32（Ⅰ） b2a2b2解得a 3,c1 即：椭圆方程为x2y2 34（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，AB 343此时SAOB 3ABxAByk(x1)，代入消去y(23k2x26k2x3k26)0.A(x1y1B(x2y2)，则

6k23k，2x

3k1

k1kk1k所以AB

43(k243(k2

1212 1kk43(k1212 1kk43(k223k34由S k22k23422所以直线lAB:2xy 0或lAB:2xy 022 1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B,D两点 P．求四边形ABCD的面积的最小值BD的斜率k存在且k0BDyk(x1) 1，并化简得

2)x26k2x3k2606k 3k2B(x1，y1D(x2，y2x1x23k22x1x23k2243(k43(k21kk)2(xx)4x2 12BD x1x21

3k2 k43143(k243(k2

31 k

2k2 24(k2 (k2 S BD2

(3k22)(2k2

(3k22)(2k23)

综上，四边形ABCD的面积的最小值 已知双曲线x 1已知直线xym0与双曲线C交于不同的两点A、B，且2ABx2y25上，求m ∵ 在 上 已知椭圆C:x2y21(ab0)的离心率e 3,原点到过

.(Ⅰ)求椭圆C44ykx1k0)交椭圆CEFEFB为圆心的圆上,求k的值.解Ⅰ)ca

a2b2c2323

a2ba2因为原点到直线AB：xy1的距离da2 ．故所求椭圆Cx2y2．

，解得a4b244 y0y12x(Ⅱ)因为点Px0,y0关于直线y2x的对称点为P1x1,y1，所以 y0y12x0x1 解得x4y0

3y04x0x2y2x2y2 ， y

因为点Px,y在椭圆C: 1上，所以x2y2x2y24 0 因为4x4，所以4x2y216x2y2的取值范围为4,16 ykx2(Ⅲ)由题意x22

y

(14k2)x28kx120 可知0E(x2y2F(x3y3EFM(xMyM．则xx2x34k，y 1 ．所以 yM2．xkM 14k 14k xkM所以xky2k0． 4k 2k0 14k 14k又因为k0，所以k21．所以k x 已知椭圆C: 1(ab0)的右焦点为

，且点(1, 54A、B证明QAQB为定 1(1 22222(1 22222所以

1

C

x222

证明：当直线l0A(2,0B(2,0)5则QAQB(2 ,0)

2 ,0) 2 当直线l的斜率不为0设直线l的方程为x22

1，Ax1,y1,Bx2,y2 由

0显然 0yy

t2

因为

1， 1yy t2 所以(x14y1x24y2(ty14)(ty24y1(t(t1)y 1t(141y21121 421x2xa

y

.2,62(t21 即QA2,62(t21 即QAQB 3

0)?若存在,求出k的值;若不解析：(Ⅰ)由e

623c,c ,a2b2 得a ,b623 x2 2 3 y1),Q(x2 y2 则y1kx12,y2kx22ykx223

y

1,整理得(3k21)x212kx90则xx12k xx 3k2 1 3k2以PQ为直径的圆过 0),则PDQD,即PDQDPDQD(x1 y1)(x2 y2)(x11)(x21)y1xx(xx)yy1(k21)xx(2k1)(xx)1 112k1403k217

1 7解得k

,此时(*)方程0,所以存在k

,使得以PQ为直径的圆过点 1有相同的焦点,且离心率 2AP2PB,求AOB y解:(Ia2b21ab02由c ,可得a2,b2a2c22

2 2 (IIA(x1,y1B(x2,y2由AP2PB有 x11y12(y2ykx1,代入椭圆方程整理,得(2k21)x24kx22k8k2 2k2若x12k8k2

2k2

,x22k8k2k8k2

2k22k 8k2k 8k2 2k2 2k2解得k2 又AOBS2|OP||x1x2|2答:AOB的面积是 8

28k228k2 已知椭圆C:

(ab0)M(1),其离心率为 (|k|1与椭圆CA、B求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线l:ykx2

a2

，所以

又点M(1,)在椭圆C上，所

由①②解之，得a4,b3.故椭圆C的方程 (Ⅱ)当k0P(0,2m在椭圆C上，解得mykx

，所以|OP 3323当k0时，则由 4

64k2m24(34k24m212)48(34k2m20 ABP点的坐标分别为(x1,y1)(x2y2(x0y0，则 x0x1x234k2,y0y1y2k(x1x2)2m34k2xy xy由于点P在椭圆C上，所 0

16k

而 1，化简得4m234k2，经检验满足(34k

(34k2x2 64x2 64k(34k2 (34k24m2(16k24m2(16k2(34k216k24k2434k2因为0k1，得34k234，有3 4k23 OP3

.综上，所求OP的取值范围是[3, ] 2直线AP，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．解：（Ⅰ）依题意椭圆的焦点在x轴上，且c1，2a2 2∴a 2 b2a2c2x22

y（Ⅱ）证明：设A(x1,y1B(x2y2P(2,x22y2y

y整理得(2k21)x2222k222k222k222k2∴x1 ，x2 ；y1

2k21，y2

x1x2x1x2x1x22x1x2) 2k21

2k

∴ 为定值12 2k2

24k2 已知椭圆的中心在原点O，离心率e

，短轴的一个端点为 2)，点M为直323y1x与该椭圆在第一象限内的交点，平行于OM的直线lAB2x2y2 （Ⅰ） 1 0) 则b

,3 解得a223

x2y2 y1x

1xm2由

x22mx2m240设直线MAMB的斜率分别为k1k212A(xyB(xy，则ky11ky2112

x1

x2x22mx2m240可得xx2mxx2m24 1 2 k y y (y1)(x 2 x x (x2)(x (2x1m1)(x22)(2x2m1)(x1 (x12)(x2x1x2(m2)(x1x2)4(m(x12)(x22m24(m2)(2m)4(m(x12)(x22m242m24m4m4(x12)(x22)0．即k1k20x3

y41上一点P作x轴的平行线交两渐线于Q，R则PQ 4x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若AB10，则AB的中点到 y24x上，且直线AP与BP的斜率之积等于2，则x0 F1(c0)F2c0)分别是双曲线C1a2b21a0,b0)曲线C和圆Cx2y2c2P，且2PFFPFF，求双曲线C 1 2 心 某三棱椎的三视图，最大的是．已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为等腰三角形的腰长为5，则该几何体的体积 11 111主视 左视1对于直线mn和平面，使mA．mn，n B．m∥，C．m，n，n D．mn，n，FD如图四边形ABCD与BDEF均为菱形 FDDABDBF60FAC 所以AD//BCDE//BF，PNQDMBPNQDMBCA且满足AE FCCP1.将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角EFEF

EF EF图 图AECF1DE1所以AFAD2，而A60，即△ADF是正三角形.又因为AEED1,所以EFAD 2分所以在图2中有A1EEF，BE 3A1EFB为直二面角，所以A1EBE.又因为 EFE ABCD中，AB//CD设平面 平面PCDm求证：CD//m证明：因为AB//CD，CD平面PAB，AB平面PAB ACAC因为CDPCDPABPCDm，所以CDm.DB求异面直线BE，SF所称角度SESEPCFBSESECQFBA如图l1l2是互相垂直的异面直线，MN是他们公垂线段，点A，Bl1上，Cl2求证ACNB略（2）解法一：（等体积换底求高比正弦法 A B BC2BN42三棱锥体积VNABC3SABChVCNAB3SNABBC2BN4233 1ACBCsin6012 33 2 2SNAB2BNAN22 1 所以代入VN