二次函数与面积

二次函数与面积专题仔细观察下列常见图形，说出如何求出各图中阴影部分图形的面积ADAB*OT呂ISMADAB*OT呂ISM射迹—和止甌DtSwBCT^AEfTF—SiA^JD+S^KJC»SiUECiSiCDC-OD*i：卫a_[SkABC-iTr^B'CI在以上问题的分析中研究思路为（1）分析图形的成因（2）识别图形的形状（3）找出图形的计算方法注意：（1）取三角形的底边时一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边.（2）三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解.（即采用割或补的方法把它分解成易于求出面积的图形）2（12分）（2013?玉林）如图，抛物线y=-（x-1）+c与x轴交于A,B（A,B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（-1,0）・（1）求点B、C的坐标；（2）判断△CDB的形状并说明理由；（3）求四边形ABCD的面积。2解：（1）•••点A（-1，0）在抛物线y=-（x-1）+c上，20=-（-1-1）+c，得c=4，•:抛物线解析式为：y=-（x-1）+4，令x=0，得y=3，•:C（0，3）；令y=0，得x=-1或x=3，•:B（3，0）.（2）△CDB为直角三角形•理由如下：由抛物线解析式，得顶点D的坐标为（1，4）・如答图1所示，过点D作DM丄x轴于点M，则OM=1，DM=4，BM=OB-OM=2・过点C作CN丄DM于点N，则CN=1，DN=DM-MN=DM-OC=1・在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC=了丁=：•,■="；在Rt△CND中，由勾股定理得：CD=：「，汀：’=：：;在Rt△BMD中，由勾股定理得：BD=卜「II:'=■[・.]二二心222•BC+CD=BD，・•・△CDB为直角三角形（勾股定理的逆定理）（3）略

B0ACBx32.(6分)(2013•牡丹江)如囲己知二初函数ecHz过点B0ACBx32.(6分)(2013•牡丹江)如囲己知二初函数ecHz过点A(1,0),C(0?-3)(1)拠二袂函鮒倉晰式⑵在拋物线上存在一点P使/ABP的面和为10.请直接写出点P的坐标.交y轴于点c.♦y(2)■当尸0时+x^2r-3=0.j^：ii=-3»3Q=ii/A(i,0)B(-J,OL■'AB-4：设P(m,n)i-Zabp的面积为10t'^AB*n=10r㈱导：n=±5.当A时■俎—解得：时・4或2.■T(-4,5)(2,5);当U"_5nT+ia.康无解h故P(-4.5)(2・5)；(2009年牡丹江市)如图二次函数yX、bxc的图象经过A_1,0和B3,0两点，且试确定b、c的值；过点c作CD〃x轴交抛物线于点状.△MCD的形D,M点为此抛物线的顶点，试确定-12-122(2013牡丹江)如图，抛物线y=x+bx+c过点A(-4,-3)，与y轴交于点B,对称轴是x=-3，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式．(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C,D两点，点C在对称轴左侧，且CD=8，求△BCD的面积．2L注：抛物线y=ax+bx+c(aHO)的对称轴是x=-—-22•解：(1)把点A(-4，-3)代入y=x+bx+c得:16-4b+c=-3，c-4b=-19，：•对称轴是x=-3，•*•-■-=-3，2・•・b=6，c=5，・•・抛物线的解析式是y=x+6X+5；(2ITCD〃x轴，・••点C与点D关于x=-3对称，・・•点C在对称轴左侧，且CD=8，・••点C的横坐标为-7，2・••点C的纵坐标为(-7)+6X(-7)+5=12,•・•点B的坐标为(0，5)，・•・△BCD中CD边上的高为12-5=7，BCD的面积=丄X8X7=28•2

2+bx+c经过矩形ABCD的两个顶点A、B,AB平23、(2+bx+c经过矩形ABCD的两个顶点A、B,AB平求抛物线的解析式；3⑵若S△apo=_，求矩形ABCD的面积.2点A的坐标为(0,2),AB=点A的坐标为(0,2),AB=4・某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为AB(单位：米)，现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O,已知AB=8米，设抛物线解析式为y=ax2-4•求a的值；【答案】解：(1)VAB=8，由抛物线的对称性可知OB=4，•:B(4,0),0=16a-4，•:a=4.-1-1(2)过点C作CE丄AB于E，过点【答案】解：(1)VAB=8，由抛物线的对称性可知OB=4，•:B(4,0),0=16a-4，•:a=4.-1-1(2)过点C作CE丄AB于E，过点D作DF丄AB于F,Va=，•:y=x-4.令x=Tm=-1x(-才4=善4・・・CE=DF=令x=Tm=-1x(-才4=善4・・・CE=DF=15S△:sa=S△BCD=S4积为15平方米.15,・・・c(-1—)•「点C关于原点对称点为1BOD+SBOC21OB•DF+OB2151•CE=x4k+4215x4k4D,・・.D(1』)，4=15.・•・△BCD的面224.(2013?佛山)如图①，已知抛物线y=ax+bx+c经过点A(03),B(3,0),C(43).求抛物线的函数表达式；求抛物线的顶点坐标和对称轴；把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图②中阴影部分).3□3□:待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换.(1)把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax厶+bx+c利用待定系数法求解即可;2)把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；(3)根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积,列式进行计算即可得解.解答:解：(1)・••抛物线y二ax2+bx+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3),rc=3解答:fa=l解得m4,2所以抛物线的函数表达式为y=x-4x+3；(2ITy=x2-4x+3=(x-2)2-1,・•・抛物线的顶点坐标为(2,-1)，对称轴为直线x=2；(3)如图，•・•抛物线的顶点坐标为(2,-1),・•・PP'=1,阴影部分的面积等于平行四边形AAPP'的面积,平行四边形AAPP，的面积=1X2=2,・••阴影部分的面积=2.4db0p4db0p点评:(3)1如图7，把抛物线y=_2x2平移得到抛物线m，抛物线点评:(3)1如图7，把抛物线y=_2x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(-6,0)和原点O(0,0),