人教中考数学《平行四边形的综合》专项训练

.请.请一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.如图1,四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE.（1）①猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度a得到如图2情形你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断.4DAD圉11图2e（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4）,且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（aHb,k>0）,第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图4为例简要说明理由.4D卫°1（3）在第（2）题图4中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=〒，求BE2+DG2的值.【答案】（1）①BG丄DE,BG=DE；②BG丄DE，证明见解析；（2）BG丄DE,证明见解析；（3）16.25.【解析】分析：（1）①根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90°即可得到三角形DCE,从而判断两条直线之间的关系；②结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定ABCG^△DCE，从而证明结论；（2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到1）中的位置关系仍然成立；（3）连接BE、DG.根据勾股定理即可把BE2+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和.详解：（1）①BG丄DE,BG=DE；②T四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，BC=DC,CG=CE,ZBCD=ZECG=90°,ZBCG=ZDCE,

△BCG竺△DCE,BG=DE,ZCBG=ZCDE,又:ZCBG+ZBHC=90°,.ZCDE+ZDHG=90°,•••.BG丄DE.(2)TAB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb,.BC_CG_b~DC~~C^~~a，又:ZBCG=ZDCE,.△BCG-△DCE,.ZCBG=ZCDE,又:ZCBG+ZBHC=90°,.ZCDE+ZDHG=90°,.BG丄DE.(3)连接BE、DG.根据题意,得AB=3,BC=2,CE=1.5,CG=1TBG丄DE,ZBCD=ZECG=90°DAA尸G3ESCc.BEDAA尸G3ESCc.BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25.点睛：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理.2.已知，在矩形ABCD中，AB=a,BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动.予Mr>*弐忌n如图1,当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明ZBMC=90°；如图2,当b>2a时，点M在运动的过程中，是否存在ZBMC=90°,若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；如图3,当bV2a时，(2)中的结论是否仍然成立？请说明理由.【答案】(1)见解析；(2)存在，理由见解析;

(3)不成立．理由如下见解析.【解析】试题分析：(1)由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD是矩形，即可求得/AMB=ZDMC=45°,则可求得/BMC=90°；由/BMC=90°，易证得△ABM-△DMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：X2-bx+a2=0,由b>2a,a>0,b>0,即可判定厶>0,即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；由(2)，当bV2a,a>0,b>0,判定方程X2-bx+a2=0的根的情况，即可求得答案．试题解析：(1)Tb=2a，点M是AD的中点，AB=AM=MD=DC=a,又•••在矩形ABCD中，ZA=ZD=90°,ZAMB=ZDMC=45°,.ZBMC=90°．(2)存在，理由：若ZBMC=90°,则ZAMB+ZDMC=90°,又:ZAMB+ZABM=90°,.ZABM=ZDMC，又:ZA=ZD=90°,△ABM-△DMC,.AM_ABCD~DM，xa设AM=x，则一_,ab一x整理得：x2-bx+a2=0，Tb>2a，a>0，b>0，.△=b2-4a2>0，.方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，•••当b>2a时，存在ZBMC=90°,(3)不成立．理由：若ZBMC=90°,由(2)可知x2-bx+a2=0，tbV2a,a>0,b>0,•△=b2-4a2<0,.方程没有实数根，•••当b<2a时，不存在ZBMC=90°,即(2)中的结论不成立.考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质3.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到到B'的位置，AB'与CD交于点E.(1)求证：△AED^△CEB'【解析】【分析】由折叠的性质知，代一心—，•：：，冷一一-V：一「*」，则由AAE得到A4ED兰也CEB'；由八可得;；,又由！,’'，即可求得"的长，然后在叽的中，利用勾股定理即可求得的长，再过点'作-■于“，由角平分线的性质，可得/，；',易证得四边形是矩形，继而可求得答案.【详解】(1厂‘四边形为矩形，■■■CBr-BC-ADLB-山一£0—90°（2）-上：V"人:.EB'-DE-3vAB'=4B=B■■■AE-AB'・EE—&-2一5在Rt色且DE中AD=J/1F-DE?=4过点'作挙丄于，v£BrAC=£BAC^^^.AE,••PK^PG:PHICDAB//CD■■PH1AB''IP、尺共线，-zKHD-lHKA-90°■•四边形曲欣是矩形,■■HK-AD-外

■■■PG+PH^PK+PH-UK:-4【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.4.在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点0（0,0）,点A（5,0）,点B（0,3）.以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点0,B,C的对应点分别为D,E,F.（1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；（2）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H.求证△ADB^△AOB；求点H的坐标.（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）.仆E【答案】（1）D（1,3）；（2）①详见解析；@H（y，3）；（3）30-3辰心30+3屈4__4■【解析】【分析】（1）如图①，在RtAACD中求出CD即可解决问题；（2）①根据HL证明即可；②，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在RtAAHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题；（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，△DZEZK的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；【详解】（1）如图①中，55图①•••A(5,0),B(0,3),0A=5,OB=3,T四边形AOBC是矩形，AC=OB=3,OA=BC=5,ZOBC=AC=90°,T矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，.AD=AO=5,在Rt5ADC中，CD=QAD2AC2=4,.BD=BC-CD=1,.D(1,3)．2)①如图②中,由四边形ADEF是矩形，得到ZADE=90°,T点D在线段BE上,.ZADB=90°,由(1)可知，AD=AO,又AB=AB,ZAOB=90°,RtHADB^RtHAOB(HL).②如图②中，由△ADB^△AOB，得至l」ZBAD=ZBAO,又在矩形AOBC中，OAIIBC,.ZCBA=ZOAB,.ZBAD=ZCBA,BH=AH,设AH=BH=m，贝HC=BC-BH=5-m,在Rt^AHC中,TAH2=HC2+AC2,.m2=32+(5-m)2,17.m=—,BH=1717二H(—,3).11(3)如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，最小值=㊁・DE・DK=-x3xJ3?、30-3^4)=—TOC\o"1-5"\h\z24EB0A图③尸’EB0A图③尸’、当点D在BA的延长线上时，△DEK的面积最大，最大面积=-xD'E'xKD^-x3x/^34、30+3打4(5+)=一24综上所述:①30+迈.44【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．5.如图，在△ABC中，ZACB=90°,ZCAB=30°,以线段AB为边向外作等边厶ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.DBFEACDBFEAC(1)求证：四边形BCFD为平行四边形；(2)若AB=6，求平行四边形ADBC的面积.【答案】(1)见解析；(2)S平行四边形C一2—•解析】

分析】11(1)在RtAABC中，E为AB的中点，则CE=下AB,BE=3AB,得到上BCE=ZEBC=60°.由△AEF竺△BEC,得上AFE=ZBCE=60°.又上D=60°，得上AFE=ZD=60度.所以FCIIBD,又因为上BAD=ZABC=60°，所以ADIIBC,即FD//BC，则四边形BCFD是平行四边形.(2)在RtAABC中，求出BC,AC即可解决问题；【详解】解：(1)证明：在厶ABC中，ZACB=90°,ZCAB=30°,AZABC=60°，在等边厶ABD中，ZBAD=60°,AZBAD=ZABC=60°,VE为AB的中点，AAE=BE,又：ZAEF=ZBEC,11A△AEF^△BEC,在厶ABC中，ZACB=90°,E为AB的中点，ACE=AB,BE=AB,22ACE=AE,AZEAC=ZECA=30°,AZBCE=ZEBC=60°,又:△AEF竺△BEC,AZAFE=ZBCE=60°,又：ZD=60°,AZAFE=ZD=60°,AFCIIBD,又VZBAD=ZABC=60°,AADIIBC,即FDIIBC,A四边形BCFD是平行四边形；(2)解：在RfABC中,VZBAC=30°，AB=6,ABC=AF=3,AC=3翦,AS平行四边形平行四边形ADBCbcfd=3x33=3,SAacf=2x3x33=一平行四边形ADBC【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.6.已知AD是厶ABC的中线P是线段AD上的一点(不与点A、D重合)，连接PB、PC,E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，AD与EF交于点M；劉S2如图1,当AB=AC时，求证：四边形EGHF是矩形；如图2,当点P与点M重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与△BPE面积相等的三角形(不包括厶BPE本身).【答案】(1)见解析；(2)△APE、△APF、△CPF、△PGH.【解析】【分析】

11(1)由三角形中位线定理得出EGIIAP,EFIIBC,EF=帀BC,GHIBC,GH=-BC,推出EFIIGH,EF=GH,证得四边形EGHF是平行四边形，证得EF丄AP,推出EF丄EG，即可得出结论；(2)由厶APE与厶BPE的底AE=BE，又等高，得出S^APE=S^BpE，由厶APE与厶APF的底EP=FP，又等高，得出SaaPe=S“Pf，由△APF与厶CPF的底AF=CF，又等高，得出S"pf=SaCPF，证得△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半，推出1详解】1)证明.EGIIAP,沐PGH=2'△AEF=S详解】1)证明.EGIIAP,TE、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点11EFIIBC,EF=BC,GHIIBC,GH=—BC,

22综上所述，与△BPE面积相等的三角形为：△APE、△APF、△CPF、△PGH.EFIGH,•四边形EGHF是平行四边形,EF=GH,-AB=ACEFIGH,•四边形EGHF是平行四边形,EF=GH,-AB=AC,.AD丄BC,.EF丄AP,EGIAP,•EF丄EG,•平行四边形EGHF是矩形;(2)TPE>△APB的中线，.△APE与厶BPE的底AE=BE,又等高,S=S,△APE△BPEAP是厶AEF的中线，△APE与厶APF的底•EP=FP,又等高,S=S，APE△APFS=S，APF△BPEPF是厶APC的中线，△APF与厶CPF的底AF=CF,又等高,S=S，APF△CPFS=S，CPF△BPEEFIGHIBC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，△AEF底边EF上的高等于△ABC底边BC上高的一半，△PGH底边GH上的高等于△PBC底边BC上高的一半,•••△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半,TGH=EF,•'△pgh=2S"ef=Saapf，【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行线的性质三角形面积的计算等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键.7.（问题情境）在厶ABC中，AB=AC，点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PD丄AB，PE丄AC，垂足分别为D、E,过点C作CF丄AB，垂足为F.当P在BC边上时（如图1）,求证：PD+PE=CF.证明思路是：如图2,连接AP，由△ABP与厶ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF.（不要证明）（变式探究）（1）当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3）,试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：（结论运用）（2）如图4,将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C'处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG丄BE、PH丄BC,垂足分别为G、H,若AD=16,CF=6,求PG+PH的值.4（迁移拓展）（3）在直角坐标系中，直线J：y=-3x+8与直线l2：y=-2x+8相父于点A,直线I】、l2与x轴分别交于点B、点C.点P是直线l2上一个动点，若点P到直线-的距离为2.求点P的坐标.A图①图②A图①图②【答案】【变式探究】证明见解析【结论运用】8【迁移拓展】（-1，6），（1，10）【解析】【变式探究】连接AP,同理利用厶ABP与厶ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得；【结论运用】过点E作EQ丄BC，垂足为Q,根据勾股定理和矩形的性质解答即可；【迁移拓展】分两种情况，利用结论，求得点P到x轴的距离，再利用待定系数法可求出P的坐标.【详解】变式探究:连接AP,如图3：TPD丄AB，PE丄AC，CF丄AB,且S=S-S，△ABC△ACP△ABP111AB・CF=AC・PE-AB・PD.222TAB=AC,CF=PD-PE；结论运用:过点E作EQ丄BC，垂足为Q,如图④,T四边形ABCD是长方形，AD=BC,ZC=ZADC=90°.TAD=16,CF=6,BF=BC-CF=AD-CF=5,由折叠可得：DF=BF,ZBEF=ZDEF..DF=5.TZC=90°,.DC=\DF2—CF2=<102-62=8.TEQ丄BC,ZC=ZADC=90°,.ZEQC=90°=ZC=ZADC..四边形EQCD是长方形..EQ=DC=4.TADIIBC,.ZDEF=ZEFB.TZBEF=ZDEF,

ZBEF=ZEFB.BE=BF,由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQ.PG+PH=8..PG+PH的值为8；迁移拓展:如图,由题意得：A(0,8),B(6,0),C(-4,0).AB=\：6282=10，BC=10.AB=BC,由结论得：P1D1+P1E1=OA=8TP］D］=1=2,.P］E］=6即点P］的纵坐标为6又点P］在直线l2上,.y=2x+8=6,.x=-1,即点P］的坐标为(-1,6)；由结论得：P2E2-P2D2=OA=8TPD=2,22.p2E2=10即点P］的纵坐标为10又点P］在直线12上,.y=2x+8=10,.x=1,即点P］的坐标为(1,10)利用面积【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理等知识点法列出等式是解决问题的关键.利用面积8．阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形就是和谐四边形．结合阅读材料，完成下列问题：下列哪个四边形一定是和谐四边形.平行四边形B.矩形C.菱形D.等腰梯形命题：“和谐四边形一定是轴对称图形"是命题(填"真"或"假”).如图，等腰RtAABD中，ZBAD=90°.若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC,请求出ZABC的度数.【答案】(1)C;(2)ZABC的度数为60°或90°或150°.【解析】试题分析：(1)根据菱形的性质和和谐四边形定义，直接得出结论.(2)根据和谐四边形定义，分AD=CD,AD=AC，AC=DC讨论即可.根据和谐四边形定义，平行四边形，矩形，等腰梯形的对角线不能把四边形分成两个等腰三角形，菱形的一条对角线能把四边形分成两个等腰三角形够.故选C.T等腰RtAABD中，ZBAD=90°，二AB=AD.TAC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC，•••分三种情况讨论：若AD=CD，如图1,则凸四边形ABCD是正方形，ZABC=90°；若AD=AC，如图2,则AB=AC=BC，