哥德巴赫猜想的Python验证

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王德贵丁大为

哥德巴赫猜想，是世界近代三大数学难题之一。华罗庚是中国最早从事哥德巴赫猜想的数学家。1936—1938年，他赴英留学，师从哈代研究数论，并开始研究哥德巴赫猜想，验证了几乎所有的偶数猜想。1966年，华罗庚的学生陈景润在对筛法做了新的重要改进后，证明白“1+2〞，他证明白任何一个充分大的偶数，都可以表示为两个数之和，其中一个是质数，另一个或为质数或为两个质数的乘积，被称为“陈氏定理〞，这在当时影响很大，但之后就再也没有什么研究进展了。一、哥德巴赫猜想内容

哥德巴赫猜想，是数学史上和质数有关的数学猜想，影响了一代又一代数学家。

1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给有名数学家欧拉的一封信中，提出了一个大胆的猜想：任何不小于3的奇数，都可以是三个质数之和（如：7=2+2+3。当时1仍属于质数）。

同年，6月30日，欧拉在回信中提出了另一个版本的哥德巴赫猜想：任何偶数，都可以是两个质数之和（如：4=2+2。当时1仍属于质数）。

这就是数学史上有名的“哥德巴赫猜想〞。由于1已经不归为质数，所以这两个猜想分别变为：

任何不小于7的奇数，都可以写成三个质数之和的形式;

任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和的形式。

20世纪，随着计算机技术的发展，数学家们发现哥德巴赫猜想对于更大的数依旧成立。但自然数是无限的，无法判断是否存在某一个足够大的偶数，成为哥德巴赫猜想的反例，但数学家们仍在不断的摸索中，寻求着各种不同的解决方法。

假如想了解更深入的知识，大家可以参考相关资料。今天我们只利用Python做基本验证。二、创意来源

在Python学习过程中，尝试解决一些问题，特别是世界数学难题，不仅是一种乐趣，同时也能学到数学知识，了解一些数学发展历史，也可以提高学生的学习兴趣和学习积极性，更能加深理解程序的优化与调试。三、设计思路

“关于偶数的哥德巴赫猜想〞，我们可以将要分析的任一正整数减去一个质数，然后看看结果是不是也为质数，这是一种方法;还有一种方法就是遍历质数，看看有没有符合条件的两个质数。

“关于奇数的哥德巴赫猜想〞，我们可以将要分析的任一正整数减去一个质数，然后看看结果是不是也为质数，这是一种方法;还有一种方法就是遍历质数，看看有没有符合条件的三个质数。

这几种方法的基础都需要把正整数范围内的质数先求出来。我们用列表形式将质数存储，计算和访问很便利。四、Python验证

1.关于偶数的哥德巴赫猜想

任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和的形式。

这个猜想的理解是，4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=3+

7，12=5+7……有无数个，我们无法一一列举，通过编程也只能验证有限范围，否则运行时间将无限延长。

（1）方法一：遍历质数列表，取出两个质数验证

程序有两部分，一是建立质数列表，二是在列表中确定有没有满足条件的质数。有一组则程序终止，并显示出来（图1）。

也可以利用自定义函数，程序如图2。

要求出不小于这个偶数范围内的质数，于是把质数获取做了自定义函数，利用列表把质数列举出来，然后便于下一步计算和验证。

输入不小于4的偶数后，调用自定义函数，把这个范围内的质数放在列表里，然后利用枚举算法，在列表中取两个数，验证是否等于输入的偶数，假如等于偶数，即输出。

这两个程序运行结果是完全一样的，它们都是在质数列表里任意取两个数，验证其和是不是等于输入的偶数。

（2）方法二：判断偶数与质数的差是否为质数

这种方法减小了时间繁杂度，运行速度更快，程序如图3。

測试结果如图4。

2.关于奇数的哥德巴赫猜想

任何不小于7的奇数，都可以写成三个质数之和的形式。

根据前面的验证，修改程序，便可以验证“关于奇数数的哥德巴赫猜想〞。即多加一重for循环，同时判断输入数与两个质数之差是否也为质数，假如是，则输出算式，程序终止（图5）。

验证结果如图6。

五、测试与改进

1.测试解的个数

我们前面的程序，只显示了一组解。其实，输入任意一个不小于4的偶数，都至少能表示为一对质数之和，输入任意一个不小于7的奇数，都至少有一组能表示为三个质数之和，假如想全部算式都显示出来，只要删除程序中“break〞相关的语句即可。

譬如，“关于偶数的哥德巴赫猜想〞，修改程序如图7。

运行结果如下，这里进行了去重（图8）。

“关于奇数的哥德巴赫猜想〞，修改程序如下，运行后发现满足条件的解好多，但却是有重复的（图9）。

输入23，得到21组解，那如何去重呢？大家利用列表或集合都可以实现，这里不再赘述（圖10）。

2.验证是否包括所有整数

所有偶数和奇数，我们不能一一验证，那么在一定范围内，是否包括所有值呢？我们来验证一下。

（1）验证一定范围内所有偶数

将一定范围内的质数存入列表，然后遍历列表求和，假如和的所有值，包含了所有偶数，则说明任意偶数都可以表示为两个质数的和。

程序中，运用集合去重和做差，检验是否包含所有偶数。

50范围内的验证，同样只显示了一组解（图11）。

（2）验证一定范围内所有奇数

将一定范围内的质数存入列表，然后遍历列表求和，假如和的所有值，包含了所有奇数，则说明任意奇数都可以表示为三个质数的和。

程序中，同样运用集合去重和做差，检验是否包含所有奇数。

50范围内的验证，同样只显示了一组解（图12）。

通过测试，在一定范围内，均得到了验证，但数值过大时，用时较长。当然我们要证明一