相似原理和量纲分析课件

流动的力学相似相似的概念首先出现在几何学里，如两个三角形相似时，对应边的比例相等。流体力学相似是几何相似概念在流体力学中的推广和发展，它指的是两个流场的力学相似，即在流动空间的各对应点上和各对应时刻，表征流动过程的所有物理量各自互成一定的比例。表征流动过程的物理量按其性质主要有三类，即表征流场几何形状的，表征流体微团运动状态的和表征流体微团动力性质的，因此，流体的力学相似主要包括流场的几何相似、运动相似和动力相似。

动力相似准则

任何系统的机械运动都必须服从牛顿第二定律.对模型与原型流场中的流体微团应用牛顿第二定律，再按照动力相似，各种力大小的比例相等，可得

令（4-18）

Ne称为牛顿（I.Newton）数,它是作用力与惯性力的比值，是无量纲数。

模型与原型的流场动力相似，它们的牛顿数必定相等即;反之亦然。这便是由牛顿第二定律引出的牛顿相似准则。

不论是何种性质的力，要保证两种流场的动力相似，它们都要服从牛顿相似准则，于是，可得：

一、重力相似准则

二、粘滞力相似准则

三、压力相似准则

四、非定常性相似准则

五、弹性力相似准则

六、表面张力相似准则

二流动的重力作用相似，它们的弗劳德数必定相等，即；反之亦然。这便是重力相似准则。又称弗劳德准则。由此可知，重力作用相似的流场，有关物理量的比例尺要受式（4-19）的制约，不能全部任意选择。由于在重力场中，故有（a）

粘滞力相似准则

Re称为雷诺（O.Reynolds）数,它是惯性力与粘滞力的比值。

二流动的粘滞力作用相似，它们的雷诺数必定相等，即；反之亦然。这便是粘滞力相似准则，又称雷诺准则。

由此可知，粘滞力作用相似的流场，有关物理量的比例尺要受雷诺准则的制约，不能全部任意选择。例如，当模型与原型用同一种流体时，，故有

压力相似准则

Eu称为欧拉（L.Euler）数,它是总压力与惯性力的比值。二流动的压力作用相似，它们的欧拉数必定相等，即；反之亦然。这便是压力相似准则，又称欧拉准则。非定常性相似准则对于非定常流动的模型试验，必须保证模型与原型的流动随时间的变化相似。由当地加速度引起的惯性力之比可以表示为代入式（4-16），得（4-30）也可以写成（4-31）

令（4-32）

Sr称为斯特劳哈尔（V.Strouhar）数，也称谐时数。弹性力相似准则式中K为体积模量，为体积模量比例尺。

Ca称为柯西（B.A.L.Cauchy）数,它是惯性力与弹性力的比值。二流动的弹性力作用相似，它们的柯西数必相等。反之亦然。这便是弹性力相似准则，又称柯西准则。表面张力相似准则在表面张力作用下相似的流动，其表面张力分布必须相似。作用在二流场流体微团上的张力之比可以表示为

式中为表面张力，为表面张力比例尺。将上式代入式（4-16），得（4-39）也可写成（4-40）令（4-41）

We

称为韦伯（M.Weber)数，它是惯性力与张力的比值。二流动的表面张力作用相似，它们的韦伯数必定相等，即；反之亦然。这便是表面张力相似准则，又称韦伯准则。

上述的牛顿数、弗劳德数、雷诺数、欧拉数、斯特劳哈尔数、柯西数、马赫数、韦伯数统称为相似准则数。我们知道，牛顿第二定律所表述的是形式最简单的最基本的运动微分方程。根据该方程可导出在各种性质单项力作用下的相似准则。在实际流动中，作用在流体微团上的力往往不是单项力，而是多项力，这时牛顿第二定律中的力代表的便是多项力的合力。流动的相似条件

相似条件系指保证流动相似的必要和充分条件：.

1)相似的流动都属于同一类的流动,它们都应为相同的微分方程组所描述.2)单值条件相似.几何条件边界条件物性条件初始条件3)由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等.量纲分析法

量纲分析方法是与相似原理密切相关的另一通过试验去探索流动规律的重要方法，特别是对那些很难从理论上进行分析的复杂流动，更能显示出该方法的优越性。物理方程量纲一致性原则瑞利法定理瑞利法（Rayleigh）

瑞利法是用定性物理量的某种幂次之积的函数来表示被决定的物理量y，即式中，k为无量纲系数，由试验确定；为待定指数，根据量纲一致性原则求出。

应用举例

解：按照瑞利法可以写出：基本量纲表示方程中的各物理量，则对LTM例4-5不可压缩粘性流体在粗糙管内定常流动时，沿管道的压强降与管道长度l、内径d、绝对粗糙、平均流速v、流体的密度和动力粘度有关。试用瑞利法导出压强降的表达式。令称沿程损失系数，由实验确定，则联立求解，可得为待定指数只有三个指数是独立的、待定的。取分析达西-魏斯巴赫(Darcy-Weisbach)公式令则

无量纲量可以导出如下：倘若基本量纲是L，T，M三个，则可以从n个物理量中选取三个既包含上述基本量纲、又互为独立的变量，作为基本变量。如果这三个基本变量是则其它物理量均可用某种幂次的三个基本变量和无量纲量的乘积来表示，即根据物理方程量纲一致性原则便可确定待定指数从而也就确定了。

定理中的无量纲量就是相似准则数（包括几何相似等）。的倒数、幂次方，它与任何常数的和、差、乘积，它与另外的无量纲量的和、差、乘积都仍然是无量纲量，是新的相似准则数。在准则方程式中，那些由单值条件的物理量组成的定性准则数用表示，而包含被决定量的非定性准则数用表示。定性准则数是决定物理过程的准则数，当它们确定之后，过程即被确定，非定性准则数也随之被确定。因此，也可将准则方程式写成对LTM得量纲方程相同与瑞利法结果一样，但推导时不出现待定指数的选取问题。得代入物理方程，并提出可得

在一般流体力学问题中，通常选取与流动特性密切相关的特征长度l、流速v和流体密度作为基本变量，它们既包含基本量纲L，T，M，又互相独立。它们还分别又代表性的几何学量、运动学量和动力学量。正如在本章第一节中已经讨论的，有了这三种基本变量的比例尺，便可导出所有运动学量和动力学量的比例尺。当然，也可以选取其它物理量作为基本变量，只要它们符合即包含基本量纲又互为独立的条件。

请参阅《应用》例4-7、例4-8

思考题什么是流动相似？什么是几何相似？运动相似？动力相似？流动的相似条件有哪些？流动的相似准则数有哪些？什么是量纲一致性原则？例4-6不可压缩粘性流体在粗糙管内定常流动时，沿管道的压强降与管道长度l、内径d、绝对粗糙度、平均流速v、流体的密度和动力粘度有关。试用瑞利法导出压强降的表达式。SEND例4-7仍以不可压缩粘性流体在粗糙管内的定常流动为例，用定理导出压强降的表达式。S例4-8翼型的阻力与翼型的翼弦b、翼展l、冲角、翼型与空气的相对速度v、空气的密度、动力粘度和体积模量K有关。试用定理导出翼型阻力的表达式。S（例4－8）解：根据与阻力有关的物理量可以写出物理方程：选取作基本变量，可组成的无量纲量为用基本量纲表示（已经是无量纲量）中的各物理量，得根据量纲一致性原则得故有由于