工程力学全套课件 第12章 弯曲变形

工程力学全套课件单辉祖:工程力学(材料力学)工程力学全套课件单辉祖:工程力学(材料力学)单辉祖:工程力学2第

12

章弯曲变形

弯曲变形基本方程

计算梁位移的方法

简单静不定梁分析

梁的刚度条件与设计本章主要研究：单辉祖:工程力学2第12章弯曲变形弯曲变形单辉祖:工程力学3§1

引言

§2

梁变形基本方程

§3

计算梁位移的积分法

§4

计算梁位移的叠加法

§5

简单静不定梁§6

梁的刚度条件与合理设计单辉祖:工程力学3§1引言

§2梁变形基本方程

§单辉祖:工程力学4§1引言

弯曲变形及其特点

挠度与转角单辉祖:工程力学4§1引言弯曲变形及其特点单辉祖:工程力学5弯曲变形及其特点

挠曲轴是一条连续、光滑曲线对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线

对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计,

因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交挠曲轴

变弯后的梁轴，称为挠曲轴

研究弯曲变形的目的，进行梁的刚度计算，分析静不定梁，为研究压杆稳定问题提供有关基础单辉祖:工程力学5弯曲变形及其特点挠单辉祖:工程力学6挠度与转角转角－挠度挠度与转角的关系（小变形）挠度－横截面形心在垂直于梁轴方向的位移－挠曲轴方程转角－横截面的角位移－转角方程（忽略剪力影响）（rad）单辉祖:工程力学6挠度与转角转角－挠度挠度与转角的关系单辉祖:工程力学7§2

梁变形基本方程

挠曲轴微分方程

挠曲轴近似微分方程单辉祖:工程力学7§2梁变形基本方程挠曲轴微分方程单辉祖:工程力学8挠曲轴微分方程（纯弯）（推广到非纯弯）

w－弯矩引起的挠度

smax<sp－挠曲轴微分方程单辉祖:工程力学8挠曲轴微分方程（纯弯）（推广到非纯弯单辉祖:工程力学9挠曲轴近似微分方程小变形时：－挠曲轴近似微分方程

小变形

坐标轴

w

向上应用条件：坐标轴

w

向下时：单辉祖:工程力学9挠曲轴近似微分方程小变形时：－挠曲轴单辉祖:工程力学10§3

计算梁位移的积分法挠曲轴微分方程与边界条件积分法求梁位移

挠曲轴的绘制例题单辉祖:工程力学10§3计算梁位移的积分法挠曲轴微分方单辉祖:工程力学11挠曲轴微分方程与边界条件约束处位移应满足的条件梁段交接处位移应满足的条件－位移边界条件－位移连续条件利用位移边界条件与连续条件确定积分常数单辉祖:工程力学11挠曲轴微分方程与边界条件约束处位移单辉祖:工程力学12积分法求梁位移qA

=?EI=

常数建立挠曲轴近似微分方程并积分利用边界条件确定积分常数由条件

(1),(2)

与式

(b)

，得计算转角（）单辉祖:工程力学12积分法求梁位移qA=?单辉祖:工程力学13挠曲轴的绘制绘制依据

满足基本方程

满足位移边界条件与连续条件绘制方法与步骤

画

M图

由位移边界条件确定挠曲轴的空间位置

由M图的正、负、零点或零值区，确定挠曲轴的

凹、凸、拐点或直线区，即确定挠曲轴的形状单辉祖:工程力学13挠曲轴的绘制绘制依据满足基本单辉祖:工程力学14例题例

3-1用积分法求梁的最大挠度，EI为常数解：1.建立挠曲轴近似微分方程并积分AC段CB段单辉祖:工程力学14例题例3-1用积分法求梁单辉祖:工程力学153.最大挠度分析（）当a>b

时位移边界条件：位移连续条件：2.确定积分常数发生在AC段单辉祖:工程力学153.最大挠度分析（）当a>b单辉祖:工程力学16例

3-2

建立挠曲轴微分方程，写出边界条件，EI

为常数解：1.建立挠曲轴近似微分方程AB段:CB段:2.边界条件与连续条件位移边界条件：位移连续条件：单辉祖:工程力学16例3-2建立挠曲轴微分方程，单辉祖:工程力学17F=qa例

3-3绘制挠曲轴的大致形状F=qa单辉祖:工程力学17F=qa例3-3绘制挠曲轴的大致单辉祖:工程力学18§4

计算梁位移的叠加法

叠加法

逐段分析求和法例题单辉祖:工程力学18§4计算梁位移的叠加法叠加法单辉祖:工程力学19叠加法方法分解载荷分别计算位移求位移之和当梁上作用几个载荷时，任一横截面的总位移，等于各载荷单独作用时在该截面引起的位移的代数和或矢量和单辉祖:工程力学19叠加法方法分解载荷分别计算位移求单辉祖:工程力学20理论依据上述微分方程的解，为下列微分方程解的组合（小变形,比例极限内）（小变形）叠加法适用条件：小变形，比例极限内单辉祖:工程力学20理论依据上述微分方程的解，为下列微分方程单辉祖:工程力学21逐段分析求和法分解梁分别计算各梁段的变形在需求位移处引起的位移求总位移在分析某梁段的变形在需求位移处引起的位移时，其余梁段视为刚体单辉祖:工程力学21逐段分析求和法分解梁分别单辉祖:工程力学22例题例

4-2图示阶梯形梁，WC=?解：()()()单辉祖:工程力学22例题例4-2图示阶梯形梁，单辉祖:工程力学23例

4-2图示组合梁，EI=常数，求

wB与qA()()解：单辉祖:工程力学23例4-2图示组合梁，EI=常数，求单辉祖:工程力学24例

4-3求自由端位移d挠曲轴与外力作用面不重合一般情况下解：单辉祖:工程力学24例4-3求自由端位移d挠曲轴与外单辉祖:工程力学25§5

简单静不定梁

静不定度与多余约束简单静不定梁分析方法例题单辉祖:工程力学25§5简单静不定梁静不定度与多余约束单辉祖:工程力学26静不定度与多余约束多余约束

凡是多于维持平衡所必须的约束多余反力

与多余约束相应的支反力或支反力偶矩静不定度

＝未知支反力（力偶）数－有效平衡方程数静不定度＝多余约束数4-3

=

1度静不定5-3

=

2度静不定静不定梁

支反力（含力偶）数超过平衡方程数的梁单辉祖:工程力学26静不定度与多余约束多余约束凡单辉祖:工程力学27简单静不定梁分析方法选

FBy

为多余力－变形协调条件－物理方程－补充方程－平衡方程1度静不定算例综合考虑三方面求梁的支反力,EI=常数单辉祖:工程力学27简单静不定梁分析方法选FBy单辉祖:工程力学28判断梁的静不定度用多余力

代替多余约束的作用，得受力与原静不定梁相同的静定梁－相当系统计算相当系统在多余约束处的位移，并根据变形协调条件建立补充方程由补充方程确定多余力，由平衡方程求其余支反力通过相当系统计算内力、位移与应力等依据－综合考虑三方面关键－确定多余支反力分析方法与步骤相当系统相当系统注意:相当系统有多种选择单辉祖:工程力学28判断梁的静不定度用多余力代单辉祖:工程力学29例题例5-1求支反力解：1.

问题分析2.

解静不定水平反力忽略不计,2多余未知力单辉祖:工程力学29例题例5-1求支反力解：1单辉祖:工程力学30例

5-2悬臂梁

AB，用短梁

DG

加固，试分析加固效果解：1.静不定分析单辉祖:工程力学30例5-2悬臂梁AB，用短梁D单辉祖:工程力学312.加固效果分析（刚度）减少

50%减少39.9%3.加固效果分析（强度）单辉祖:工程力学312.加固效果分析（刚度）减少50%单辉祖:工程力学32例5-3图示杆梁结构，试求杆

BC

的轴力解：一度静不定单辉祖:工程力学32例5-3图示杆梁结构，试求杆BC单辉祖:工程力学33§6

梁的刚度条件与合理设计

梁的刚度条件

梁的合理刚度设计

例题单辉祖:工程力学33§6梁的刚度条件与合理设计梁的刚度单辉祖:工程力学34梁的刚度条件最大位移控制指定截面的位移控制例如滑动轴承处:单辉祖:工程力学34梁的刚度条件最大位移控制指定截面的单辉祖:工程力学35梁的合理刚度设计横截面形状的合理选择材料的合理选择使用较小的截面面积

A，获得较大惯性矩

I

的截面形状，例如工字形与盒形等薄壁截面影响梁刚度的力学性能是

E

，为提高刚度，宜选用E

较高的材料注意：各种钢材（或各种铝合金）的

E

基本相同单辉祖:工程力学35梁的合理刚度设计横截面形状的合单辉祖:工程力学36

梁跨度的合理选取跨度微小改变，将导致挠度显著改变例如

l

缩短

20％，dmax

将减少

48.8%单辉祖:工程力学36梁跨度的合理选取跨度微小改变，将导致单辉祖:工程力学37合理安排约束与加载方式q=F/l增加约束，制作成静不定梁单辉祖:工程力学37合理安排约束与加载方式q=F/l增加单辉祖:工程力学38例题例

6-1已知

F

=

35

kN，l

=

4

m，[s

]=

160

MPa，[d

]=l/500，E

=

200

GPa，试选择工字钢型号。解：选№22a单辉祖:工程力学38例题例6-1已知F=单辉祖:工程力学39本章结束！单辉祖:工程力学39本章结束！ENDEND工程力学全套课件单辉祖:工程力学(材料力学)工程力学全套课件单辉祖:工程力学(材料力学)单辉祖:工程力学42第

12

章弯曲变形

弯曲变形基本方程

计算梁位移的方法

简单静不定梁分析

梁的刚度条件与设计本章主要研究：单辉祖:工程力学2第12章弯曲变形弯曲变形单辉祖:工程力学43§1

引言

§2

梁变形基本方程

§3

计算梁位移的积分法

§4

计算梁位移的叠加法

§5

简单静不定梁§6

梁的刚度条件与合理设计单辉祖:工程力学3§1引言

§2梁变形基本方程

§单辉祖:工程力学44§1引言

弯曲变形及其特点

挠度与转角单辉祖:工程力学4§1引言弯曲变形及其特点单辉祖:工程力学45弯曲变形及其特点

挠曲轴是一条连续、光滑曲线对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线

对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计,

因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交挠曲轴

变弯后的梁轴，称为挠曲轴

研究弯曲变形的目的，进行梁的刚度计算，分析静不定梁，为研究压杆稳定问题提供有关基础单辉祖:工程力学5弯曲变形及其特点挠单辉祖:工程力学46挠度与转角转角－挠度挠度与转角的关系（小变形）挠度－横截面形心在垂直于梁轴方向的位移－挠曲轴方程转角－横截面的角位移－转角方程（忽略剪力影响）（rad）单辉祖:工程力学6挠度与转角转角－挠度挠度与转角的关系单辉祖:工程力学47§2

梁变形基本方程

挠曲轴微分方程

挠曲轴近似微分方程单辉祖:工程力学7§2梁变形基本方程挠曲轴微分方程单辉祖:工程力学48挠曲轴微分方程（纯弯）（推广到非纯弯）

w－弯矩引起的挠度

smax<sp－挠曲轴微分方程单辉祖:工程力学8挠曲轴微分方程（纯弯）（推广到非纯弯单辉祖:工程力学49挠曲轴近似微分方程小变形时：－挠曲轴近似微分方程

小变形

坐标轴

w

向上应用条件：坐标轴

w

向下时：单辉祖:工程力学9挠曲轴近似微分方程小变形时：－挠曲轴单辉祖:工程力学50§3

计算梁位移的积分法挠曲轴微分方程与边界条件积分法求梁位移

挠曲轴的绘制例题单辉祖:工程力学10§3计算梁位移的积分法挠曲轴微分方单辉祖:工程力学51挠曲轴微分方程与边界条件约束处位移应满足的条件梁段交接处位移应满足的条件－位移边界条件－位移连续条件利用位移边界条件与连续条件确定积分常数单辉祖:工程力学11挠曲轴微分方程与边界条件约束处位移单辉祖:工程力学52积分法求梁位移qA

=?EI=

常数建立挠曲轴近似微分方程并积分利用边界条件确定积分常数由条件

(1),(2)

与式

(b)

，得计算转角（）单辉祖:工程力学12积分法求梁位移qA=?单辉祖:工程力学53挠曲轴的绘制绘制依据

满足基本方程

满足位移边界条件与连续条件绘制方法与步骤

画

M图

由位移边界条件确定挠曲轴的空间位置

由M图的正、负、零点或零值区，确定挠曲轴的

凹、凸、拐点或直线区，即确定挠曲轴的形状单辉祖:工程力学13挠曲轴的绘制绘制依据满足基本单辉祖:工程力学54例题例

3-1用积分法求梁的最大挠度，EI为常数解：1.建立挠曲轴近似微分方程并积分AC段CB段单辉祖:工程力学14例题例3-1用积分法求梁单辉祖:工程力学553.最大挠度分析（）当a>b

时位移边界条件：位移连续条件：2.确定积分常数发生在AC段单辉祖:工程力学153.最大挠度分析（）当a>b单辉祖:工程力学56例

3-2

建立挠曲轴微分方程，写出边界条件，EI

为常数解：1.建立挠曲轴近似微分方程AB段:CB段:2.边界条件与连续条件位移边界条件：位移连续条件：单辉祖:工程力学16例3-2建立挠曲轴微分方程，单辉祖:工程力学57F=qa例

3-3绘制挠曲轴的大致形状F=qa单辉祖:工程力学17F=qa例3-3绘制挠曲轴的大致单辉祖:工程力学58§4

计算梁位移的叠加法

叠加法

逐段分析求和法例题单辉祖:工程力学18§4计算梁位移的叠加法叠加法单辉祖:工程力学59叠加法方法分解载荷分别计算位移求位移之和当梁上作用几个载荷时，任一横截面的总位移，等于各载荷单独作用时在该截面引起的位移的代数和或矢量和单辉祖:工程力学19叠加法方法分解载荷分别计算位移求单辉祖:工程力学60理论依据上述微分方程的解，为下列微分方程解的组合（小变形,比例极限内）（小变形）叠加法适用条件：小变形，比例极限内单辉祖:工程力学20理论依据上述微分方程的解，为下列微分方程单辉祖:工程力学61逐段分析求和法分解梁分别计算各梁段的变形在需求位移处引起的位移求总位移在分析某梁段的变形在需求位移处引起的位移时，其余梁段视为刚体单辉祖:工程力学21逐段分析求和法分解梁分别单辉祖:工程力学62例题例

4-2图示阶梯形梁，WC=?解：()()()单辉祖:工程力学22例题例4-2图示阶梯形梁，单辉祖:工程力学63例

4-2图示组合梁，EI=常数，求

wB与qA()()解：单辉祖:工程力学23例4-2图示组合梁，EI=常数，求单辉祖:工程力学64例

4-3求自由端位移d挠曲轴与外力作用面不重合一般情况下解：单辉祖:工程力学24例4-3求自由端位移d挠曲轴与外单辉祖:工程力学65§5

简单静不定梁

静不定度与多余约束简单静不定梁分析方法例题单辉祖:工程力学25§5简单静不定梁静不定度与多余约束单辉祖:工程力学66静不定度与多余约束多余约束

凡是多于维持平衡所必须的约束多余反力

与多余约束相应的支反力或支反力偶矩静不定度

＝未知支反力（力偶）数－有效平衡方程数静不定度＝多余约束数4-3

=

1度静不定5-3

=

2度静不定静不定梁

支反力（含力偶）数超过平衡方程数的梁单辉祖:工程力学26静不定度与多余约束多余约束凡单辉祖:工程力学67简单静不定梁分析方法选

FBy

为多余力－变形协调条件－物理方程－补充方程－平衡方程1度静不定算例综合考虑三方面求梁的支反力,EI=常数单辉祖:工程力学27简单静不定梁分析方法选FBy单辉祖:工程力学68判断梁的静不定度用多余力

代替多余约束的作用，得受力与原静不定梁相同的静定梁－相当系统计算相当系统在多余约束处的位移，并根据变形协调条件建立补充方程由补充方程确定多余力，由平衡方程求其余支反力通过相当系统计算内力、位移与应力等依据－综合考虑三方面关键－确定多余支反力分析方法与步骤相当系统相当系统注意:相当系统有多种选择单辉祖:工程力学28判断梁的静不定度用多余力代单辉祖:工程力学69例题例5-1求支反力解：1.

问题分析2.

解静不定水平反力忽略不计,2多余未知力单辉祖:工程力学29例题例5-1求支反力解：1单辉祖:工程力学70例

5-2悬臂梁

AB，用短梁

DG

加固，试分析加固效果解：1.静不定分析单辉祖:工程力学30例5-2悬臂梁AB，用短梁D单辉祖:工程力学712.加固效果分析