题中南杨立丁燕洪天然

口增长模摘本文根据中国—2005年总人口数（中计年鉴）及附件中数据，建立了五个未来总人口及人口结构进行的模型并对结果进行了分析，首先根据中国—2005年总人口数的大致趋势图建立了二次指数平滑模型（式1.1—1.7。然后利用SAS（V8）对其进行求解，得到—2055年总人1.4，13144876万，可见，该模型对于中短期的总人口具有准确性，且对长期的总人口有一定参考价值。d,q)模型（式2.1—2.6）。再利用SAS（V8）求解得到—2055年总人口的预测（表2.1和2.2），且值通过了白噪声检验因此值是合理的其中2006年的值为131516.3万。基于人口系统的灰色性，根据—2005年总人口数建立了灰色模（式3.1—3.5，为了提高精确度，建立了灰色动态模型（式3.6，为了更好地反映序列的增长规律，改用年净增值进行灰色动态。通过比较值，可知采用改进模型的结果是最佳的（表3.1—3.6，其中2006年总人口值为13.14763，之后一直呈平缓的上升趋势，2055142885.6万。为了对未来人口结构进行，基于莱斯利人口增长模型，考虑到率随时间变化而变化以及男女性人口结构的变化，建立了改进莱斯利模型（式4.9—4.16（4.6，2006年—2050年各妇女的率；并利用ARIMA(p,d,q)模型对男女出生比例进行），通过7.0得到结果（附录十）。对结果进行分析，13.2亿，之后持续减少，水平降。出现该结论的原因在于政策使得率很低，为了解决该问题，建议改变政策，提高率，所以对率进行修正，再用以上模型进行（附录十一），减缓了人口化进程，控制了204615.4亿，之后稍下降。考虑到人口的迁移将影响未来的城、镇、乡人口比，对模型加入迁移率，等效于率，对以上模型进行扩展（式4.17），得到新的值（附录十二），表明我国人口城镇化将加再次考虑到人口的结构及控制，建立了偏微分方程模型（5.1—5.6）。通过7.0拟合得到初始密度、率和婴儿出生率等函数，从而得到稳定状态下的各人口在t时刻的人口密度函数，通过数值解法求得了值。其中，200613.13亿。最后对以上五个模型进行优缺评价前三模型适用于中短期的总人口，改进莱斯利模型对于人口结构的中短期和长期均适用，偏微分方程模型适用于人口结构的和控制。关键字：ARIMA模型净增长灰色动态改进莱斯利模型偏微分方程模问题重一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因一。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附件2就是从《口近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，化进程加速、出生人口比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着口的增长。2007年初发布的《国家人口发展》(附件1)还做出了进一步的分析2中的相关数据或是搜索到的相关文献所补充新的数据，建立口增长的数学模型，并由此口增长的中短期和长期趋势做出问题分问题背景分众所周知，人口问题是我国目前以及将来都要着的极为重要的问题，同时也是人们长期以来一直关注着的问题。无论是对我国目前国民经济发展状况的认识还是对我国未来经济发展趋势的口问题的研究都具有十分重要的意义。近年来口发展呈现新的特点，例如，化进程加快、人口城镇化加剧。人们对人口的研究也越来越多，的人口模型也越来越多，结果问题要求分中短期及长期总人口中短期及长期的人口结构根据分析未来我国人口增长的特点基本假1、不考虑、自然等重大事故对人口的影响2总和率——一定时期（如某一年）各组妇育率的合计数，说明每名妇女按照某一年的各组率度过育龄期，平均可能的数，是衡量生2模式——某的女性的因子人口抚养比——指人口总体中非劳动人口数与劳动人口数之比通常百分比表示。说明每100名劳动人口大致要负担多少名非劳动人口。用于从人口角度反映人口与经济发展的基本关系劳动人口的两种不同定（15-岁人口或15-64岁人口），15——64模型的建立及求二次指数平滑法模数据补题中要求人口做出分析和其中包括人口增长趋势和人口结构特点的。人口总数是最主要的指标之一，所以先仅就以前年份的人口总数未来几十年的人口总数进行初步，将其作为人口结构的参考。在已有的附件表 中国——2005年的总人口数据数（万数（万通过查资料[2]20061.2表 2006年部分人口资料二次指数平滑法建模型提1.1所示数据，用EXCLE171989人数图 中国1989人数由表1.1所给数据及图1.1所示，可以看出——2005年的总人口数是大致呈现平稳上升趋势的序列数据。而二次指数平滑法正适用于此类序列数据的，所以利用——2005年的总人口数，采用二次指数平滑法对未来几十年的总人口数进行。将2006年的总人口数作为对效果的检验参考。符号说yt——第tyt——第t期的人口M——平均绝对百分误二次指数平滑法二次指数平滑法也称布朗指数平滑法运用该方法进行可以分为以下四个步骤一：S1ytM1

y11M

N t 1S1M1, N

S1y1S

ttt记二次指数平滑值为S2，是对S1tt tS2S11 t

二次指数平滑法把线性趋势方程的参数看作参数变量，随新增样本信息而变化。变参数线性趋势方程的形式为：TT式中，tT——期

ytTat

at——T为0时的截距，即的起始数步骤三：参数的求解（1.4中的参数at和bt）1.2易得到下式： 1 t

a2S1S

bt

1

St该模型有无限 能力，作一 时

yt1

1

2S1

S1 1 ytT二次指数平滑法模型求1.1yt17口数的值，如表1.3和1.4所示表1.3二次平滑法 ——2005年总人口数值及实际实际值（万） 值（万）124863.1 表1.4二次平滑法的2006——2055年总人口数值准确度分依据以上模型求解的结果，知道——2006年的总人口的实际值。值可以看到2006年值与实际值之间的绝对误差仅为76万，差距比较小，为了更好地验证值的准确性，对值的准确度进行检验。。准确度是指结果与实际状况相符合的程度，与误差大小呈反向性，因而可均误差，平均绝对百分误差。在此，采用平均绝对百分误差，即n个相对误差绝对

以 表示

yt通过计算，得到——2006年的实际值与值的相对误差表，如下：表1.5 yt5根据表1.5的数据及式 得到平均绝对百分误差M为0.由此，可以认为该模型 效果达到一定的准确度二次指数平滑模型优缺评该模型的优点：依据——2005年的总人口数的图象趋势，建立与之相应的模型进行，直观明了，由值与～2006年的实际值进行比较，误差很小，可见，对于短期的人口比较适用。ARIMA（pdq）模模型简ARMA(p,q)序列St1St12St2 pStpt1t12t2 qt

（其中φ1φ2,…,φpθ1,θ2θq为实数，p，q为非负实数，t}为白噪声序列。{st}为平稳时间序列）推移算子B定义如下：Bstst-1Bkstst-kBtst-1Bktst-算子多项 φ(B)=1-φ1B-φ2B2-…-φpBp θ(B)=1-θ1B-θ2B2-…-θqBq φ(B)st=θ(B)t ARIMA(pdq)序列d,q)序列，Xt满足。φ(B)dXt=θ(B)t 模型提ARIMA模型即自回归累积移动平均模型，是能够平稳及非平稳的时间序列的一类线性模型，人口数是一种典型的时间序列数据，考虑到数据的自相关性，提出了ARIMA(p,d,q)模型对人口数进行。ARIMA(pdq)建模Daniel检验()和数据的自相关系数和偏相关系数(见文献[4来判断原始数据确定的时间序列是否平稳.以达到平稳.dARMA（p,q）模型，然后利AIC定阶准则(见文献[5])p,q的值。ARMA（p，q）ARMA（p，q）pStpt1t1pStpt1t12t2qtφ1,φ2,…,φp;θ1,θ2,…,θq步骤三：检(见附录二)来检验这一特征步骤四：利用所拟合的模型进行模型求原数据有明显的上升趋势，因而对其先做一差分，用SS（8）得出数2.12.2，其横轴表示二阶偏相关系数，纵轴表示步长。图2.1二阶自相关系数 图2.2二阶偏相关系数可见以上两图既无拖尾性又无截尾性[3]，则认为人口数是非平稳序图2.3二阶自相关系数 图2.4二阶偏相关系数由以上两图，可看到序列再二阶差分后，序列基本上达到平稳，所以选取d=2ARMAAICp=1，q=1的模型，得到——2005年及未来五十年的值。如表2.1和表2.2表 ARIMA法得1989——2005年的实际值与112704 表 ARIMA法得2006——2055年的值 值检利用白噪声检验法对该数据进行检验，其特点是结果具体操作如下：2.52.5由图2.5知白噪声检验p均大于临界值0.05，即通过白噪声检验，认为结 ARIMA模型优缺评1、ARIMA2、跟二次指数平滑法模型类似，ARIMA模型不考虑任何自变量对人口数的影的有较好的结果，但长期有较大偏差。灰色模模型提灰色系统理论是一门横断面大、渗透性强、应用面极广的边缘学科，它是由我1982成、开发，提取有价值的信息，实现对系统的正确认识和有效控制。灰色模型属于全因素的非线性拟合外推类方法，在形式上是单数列，只运用研究对象自身的时间序列建立模型，与其相关联的因素没有参与建模，这正是灰色系统“灰”的体现。因为任何一个系统究竟包含多少因素，难以说清。比如人口系统的再生产是由、、疾病、、环境、社会、经济等诸多因素影响、制约的共同结果，如此众多的因素不可能通过几个指标就能表达清楚，它们对人口增长的潜在而复杂的影响更是无法精确计算。这反映人口系统具有明显的灰色3． GM(1,1)灰色模型原此问题中 ——2005年的人口数呈现出时间序列，可以采用

02,X03,...X0n, X(0)(k

(k)

X(0)(k

((0)(2),(0)(3),……，(0)然后检验级比(k)是否落于可容覆盖中，比如n4,(k)n5,(k)n6,(k)当(k)均落于可容覆盖，则该序列可做GM(1,1)建模和进行数列灰GM（1，1）建模X11,X12,...,X1

aaa(BTB)1

u u1/2[x(1)(2)x(1) 1B

1/2[x(1)(3)x(1) 1 1/2[x(1)(n)x(1)(n 1 及Y

x(1)(k)(x(0)(1)u)ea(k1)uq'(1) 然后进行累减，便可以得到值kx(0kˆ(0)(k之残差e(k、相对误差和平均相对误差ke(k)x(0)(k)ˆ(0)(k)， x(0)

100%

1nknkk

x，残差平均值e1n

ne(0)(knx nk

e

k

n12求出原始数据方差s2s2的均方差比值Cn12s 1s =

[x(0)(k)x]2ks21 n1

[e(0)(k)e

C=s2/

k p=P{e(0)(k)

<0.6745s1通常e(k、k、Cp值越大，则模型精度越好。若0.01且kC<0.35p>0.95,则模型精度为一级。根据灰色系统理论，当发展系数a(-且a0.3时，则所建GM(1,1)模型则可用于中长期3． 灰色动态模型原理（灰色模型的改进为了提高的精确度，对灰色模型进行改进。引入残差模型，修正值，并将新得到一年的值加入数据序列，同时淘汰序列中的最老数据，

(0)(k){

(0)iGM（1，1， k+1年i

x(0k1值，然i去掉x(0)(1)，加入k+1年的值x(0)(k1)，重新构成等维动态序i k){x(1)(2),x(1)(3),...x(1)(k),x(1)(k

根据新的动态序列再建立灰色模型GM(1,1),出k+2年的ix(0)(k2)，如此递推，逐个直至目标实现i3．4灰 模型求根据3.2中所述原理，——2005年总人口数据代入模型，得——2005年及未来五十年的总人口数的值。其中——2005年数据及相对误差如下表3.1所示，后五十年数据如表3.2所示 ——2005年的总人口值及相对误差值0表 2006——2055年的人口灰 值3． 灰色动 模型求由表2.2中得到2006年的值为13.3亿多,与实际值13.1亿多相差很大,且值在第2055年增至20多亿，可知一般灰色效果不好，其快速增长，作——2005年总人口数据代入模型，得到新的未来五十年的总人口数的值，如下表所示：表 2006——2055年的人口灰色动态值由上述表中的数据看到数据仍然呈快速增长趋势，运用动态模型对模型进行改进，见3.636模型改年份(年年份(年年份(年从表中发现——2005年的年净增长数大致是逐年递减的，若直接用17年的总人数作为基数进行灰色则未能很好地考虑到人口净增长的递减规律，所以，改用每年的人口净增长数进行灰色，再将上一年的人口数加上这一年的人口净增长值，即为该年的人口值。人口净增长值分别依据灰色模型和灰色动态模型得到两组值再得到两组人口值分别为表3.5和3.6表 改进后2006——2055年的人口灰色值表3.6改进后2006——2055年的人口灰色动态值由上表3.5和表3.6可得到2006年的值为13.14763,与实际值13.1448相差不大，证明了以上模型对于中短期的准确性。且未来五十年的人口值控制在了14.5亿内，根据文献资料[6]中长期人口结果分析中所示，当率保1.8时，2005年至2050年的人口将控14.5亿内，证明了该模型对于中长期37模型优缺评这些因素对人口的影响也是难以精确计算的，对——2005年的总人口，利（）改进莱斯利（Leslie）人口增长莱斯利（Leslie）人口增长模型原1945年,莱斯利创造的一个矩阵模型法,建立了离散等级的t后种群的大小,且能从初始分布,找出经过一段时间以后的种群分布。人口结构按分布正符合此规律，所以考虑利用此模型思想建立数学模型对未来我国人口进行。0x(k)100anx(k1)0 (k2

X(k)LX(k

00an 000i式中，xk——第k年第i组的女性人口iai——每一个女性在第i组期间儿女的平均bi——第i组的女性可望活到第（i+1）组的分4 改进莱斯利（Leslie）人口增长各率的确1）模式原理记为r的女性在时刻t的总和率为art，时刻t 数为t， 为r的女性在时刻t的 因子为hr,t，即生ar,t=thr,t

在稳定的环境下可以近似地认为它与t无关，即hrt=hr。借用概率论中分布来表示hrrr

re取2,n2

hr

11

,r

hhr,t=hr

图 模式hr示意通过附件中2001年——2005年的15岁——49岁妇女的率资料，：0图 2001～2005年城市各段女0由图4.2可见2003年数据出现异常而资料[8]显示2003年率并没有出现异常现象，所以认为2003年数据的异常为录入错误，视为无效。由另外4年的率曲线图可见其形状趋势均与图4.1近似，且由文献[8]，了解到在稳定的环境下可以近似地认为它与t无关，即hrthr。所以，认为生利用hrthr，将式4.3转化为hr=ar,t/t1

先利用2001——2005年的各率数据，利用式（4.6）得到这 模式（hr将其平均，得到各 附录三再利用1995年——2005年的所有妇女的总和率出未来几十 率t。再通过式（4.6）得到未来几十年的各妇女的率总 率t·由于缺2000年的率，所以利用1995年——1999年和2001年——2005年的率对其进行三次样条插值，补充2000年的率。得到结果如下：表 2000年的城镇乡率1995年——2005年的所有率表见附录·ARIM（111对镇人口率采用ARIMA(1，1，0)、乡人口率采用ARIMA（0，1，1）进行，结果见附录五，·总和率的（t将附录五中的 的数据乘以育 率t各各年的率的确由1）——3）中确定的 男女婴出生2ARIMA（2，0，0ARIMA（1，0，0率计 了解到1978年——2005 率基本维持在6.5‰左右可知 城（镇、乡）男女人数的计算（2005年2005年女性人口数为（以城市为例dix0di2005年人口数为（以城市为例diy0dii式中，x0——2005年的第i组的女性人口iiy0——2005年第i组的人口iS——2005

d——2005Ai——第iBi——第i组占城市总人口数的比改进莱斯利（Leslie）人口增长模由于要未来年份的各的人口结构，所以不对进行个别处理，仅将0岁——90+92个组，区间为1年。所以根据前面的数据处理，有各城（镇、乡）男女每个组的率、男女婴出生率。分别对城（镇乡）的人口和女性人口进 x·城（镇、乡）女性人口xi假设已知在时刻t=0时每一个组中的女性人数，令在第i组中有i

00x(0)0X(0)

(0)x1x x(0)n称该向量为初始分布向量（在此问题中i记时刻tk年时第i组中的女性人数为xk，则有第k年的分布向量如下ix(k)0x(kX(k)1 x(k)ni记ak(i0,1, ,n)为第k年，第i组的婴儿出生率，k为第k年所i婴中女婴所占比例，则女婴出生率为kak，记b(i1, ,n)为第i组女性 kk0k1ak

k1ak

k1ak

ak

k1ak1x(k)

x(k1) 1

(k1) x(k 000x(k1 1−01−0 i注其中由于育龄妇女是15——49岁,ak0(i i

X(k)L(k1)X(k

k1ak k1ak k1ak

k1ak

k1ak1

n11

1

1 1 由式（4.10）

X(1)L(0)X(0)X(3)L2X(2)

因此，如果已知初始分布向量X0及第k年的Lk，就可以求得任·城（镇、乡 人口yi假设已知在时刻t=0时每一个组中的人数，令在第i组中有yi

00y(0)0Y(0)

(0)y1y y(0)称该向量为初 分布向量

ni记时刻tk年时第i组中的人数为yk，则有第k年的分布向量如下iy(k)0y(kY(k)1 y(k)ni记ak(i1, ,n)为第k年，第i组的婴儿出生率，k为第k年所生i儿中女婴所占比例，则男婴出生率为(1k)ak，记c(i1, ,n)为第i组 性的率Y(k)

YkL'Yk1L"k1Xk

由式（4.14）

Y(1)L'Y0L''(0)X(0)Y(2)L'Y1L"1X(1)

L

2L

X(2)

y(y(k) y(k)10001 ny(k0001 000000y(k1)y10001cy(knnn k k k k k k000000(1 0 k k1 00 k k012n1x(k1)(k x1 00000x(kY(k)L'Yk1L"k1X(k1)因此如果已知初始分布向量Y0和X0及第k年的L"k和L'就可以求得·城（镇、乡）男女两性结构综合矩阵模型xk

xk10

k