2019年版更新高等数学网上作业题0410

10J1dyjyf(x,y)dx13.改变二次积分0yJJ1dyjyf(x,y)dx13.改变二次积分0yJ1dyJyf(x,y)dx_J】dxJ*f(x,y)dy的次序0y0x2y'sinx二ylny,y14.求微分方程dy=e———Ax=2的解。解：分离变量得ylnysinx，两边积分得ylnydxJdx

sinxJdy_Jdx两边积分得ylnysinx，从而原方程的特解为y二extan21-x>0x+2>015.求函数y_ln(l-x)+「x+2的定义域解：n-2Jx<116.limxT8解：limx2+xx16.limxT8解：limx2+xx4-3x2+11+1/x_limx*x2—3+1/x2_0y_17.求函数1-cosx1+sinx的微分。解：,(1-cosx),dy_dxV1+sinx丿sinx-cosxsinx-cosx+1dx(1+sinx)218.求y_ln(x4+1)在匚剧上的最大值与最小值。解:4x3y,x4+1，令y,_0，求得驻点为x_0y(0)_0,y(-1)_ln2,y(2)_ln17所以最大值是y(2)_ln17，最小值是y(0)_019.J+8Xdx19.J+8Xdx判断广义积分0v；x的敛散性，若收敛，计算其值。解:Jdx_J+82e-；d(.7)_-2e-0*x0|+8_20JJ1dyJ改变二次积分0y的次序0y竺_3x2y-y3,竺_x3-3xy2求函数Z_x3y一y3x+1的一阶偏导数•氐㊈J1dyJyf(x,y)dx_J1dxJxf(x,y)dy0x2

22.求微分方程C0S兀皿ydX+SinXSinydy=°的解解：分离变量得tanydy=-COtXdxJtanydy二-Jcotxdx两边积分得从而y=arccos(Csinx)23.lim(1-—)3x~1xtO2二limfl-兰'一

xtOk2丿2x(x、--I二lim1--

xtOk2丿2(一丄+—x(6224.求函数y二ln（x3一2）的微分。dy=3x2dxx3-225.求函数y二2x2一lnx的单调性定义域为（°'+切x4x2-11-1=0,x=亍x=T舍去）(0,》,y'<0,f(x)为单调减函数(2，+^),y'>0,f(x)为单调增函数-二4x-3y=-3x+2y26.求函数-二2x2一3+y2+1的全微分抵內d-=(4x一3y)dx+(-3x+2y)dyJ1dyJJ1dyJ丫f(x,y)dx=Ji/xj*f(x,y)dy27.改变二次积分0y的次序0y0x228.求微分方程y''-3y'+3y二0的解。解:“3土聖i该方程的特征方程为入2一3入+3=0，解得22故原方3<3y=e2x(Ccosx+Csin程的通解为129.tan3x3x\o"CurrentDocument"lim=lim—02x—02x_如dy=2xln2+2x求函数y=2X+x2的二阶导数d2x。解：dx求函数y=3x2_x3的单调性定义域为(_®+8)y'二6x-3x2=3x(2一x)=0,x=2,x=0YO),y'<O,f(x)为单调减函数(0,2),y'>0,f(x)为单调增函数(2,+s),y'<0,f(x)为单调减函数器=2x(ln2)2+232.J+8字dxJ判断广义积分0v；x的敛散性，若收敛，计算其值。解:0+8=J+82exd(、；'x)=-2e-x|+»=2033.求函数z=x3-y2-3xy的一阶偏导数S=3x2-3y,呈=-2y一3x34.求微分方程y''-4y'+4y=0的解。解：该方程的特征方程为入2一4入+4=0，解得九1=2九2=-2。故原方程的通解为y=e2x(C1+C2x)四、求解题f四、求解题fx=lnC+12)dy=d(t-arctant)=t1•求由参数方程Iy=t-arCtann所确定的函数的二阶解：dxd(ln(1+12))22.求由曲线y=2x2，y=x2与y=2所围成的平面图形面积。解：求得交点(1,2),(-1,2)3.S=2A3.S=2Ay一"2)dy=竽试求yx过点(0,1)，且在此点与直线相切的积分曲线y'=Jy"dx=Jxdx=解：y」y力」(2x2+Ci)dx=6x3+Cix+C2由题意y(°)=1,y'(0)=2，代入解得Ci=2,C2=1，即f(x)_1limf(x+Ax)-f(x)4.x，求心toAx解：limf6+Ax)-f6)_lim三口_-limAxt0AxAxt0AxAxt0x_lnC+12)Ax1_-1x(x+Ax)x2dy_d(t-arctant)_t5•求由参数方程Iy_t-arCtann所确定的函数的二阶解：dXd(ln(1+12))26.求函数y二3x2-x3的单调区间解：函数y二3x2-x3的定义域是(Y'+Jy—6x—3x2—_3x(x—2)令y=0求得驻点为x=°，x=2xe(-®0),y‘<0,函数单调递减xe(0,2),y'>0,函数单调递增xe(2,+"y‘<0,函数单调递减37.求由曲线y_2x2，y_x2与y_2所围成的平面图形面积。解：求得交点(1，2)，(-1，2)3S_2J2Qy-2)dy_o■2一曲线通过点(2,3)，它在两坐标轴间的任意切线线段均被切点所平分，求这条曲线。解：设("o'y0)为曲线上的一点，函数过该点处的切线方程为y-y0_八x0)(x-x0)该切线与x轴的交点为f(x0)20由题意2-亠)_xf'(x)0简化得x0()f'(x)=-—y=C—(Xo'yo)的选取是任意的，•-所求曲线满足x，解得x6又y(2)=3，…yx，所以y中_1求由抛物线y二x2及其在点24处的法线所围成的平面图形的面积。解：因为y，所以y中_1(1,1)抛物线y二x2在点2'4处的法线方程为y-4=(-1)(x-2)(-3,9),(丄,丄)TOC\o"1-5"\h\z求得抛物线与其法线的交点为2424,f丄34S=J2(-x+-x2)dx=—图形面积-2_x-图形面积-2_x-yy(0)_1求一曲线，这曲线过点(0,1),且它在点(x,y)处的切线斜率等于x一y。解：由题意y一一空=-y空=-dx_方程y_x一y对应的齐次方程为dx，分离变量得y，解得y_Ce一x_h()—(h(x)e-x)+y_x设原方程的解为y_h(x)e一x，代入原方程得dx，解得y-(xex一ex+C)e-x=x一1+Ce-x又y(°)=1得C二2，从而原方程的解为y二x-1+2e-xxx2+C)dx=x3+Cx+C2x、、y"=xy=试求yx过点(0，1)，且在此点与直线y=fy"dx=f(2y'=fy"dx=Jxdx=x2+C相切的积分曲线11.解：21(0)=1y'(o)=-cC2，即由题意y(0)=1,2，代入解得C2，即五、应用题要做一个容积为250立方米的无盖圆柱体蓄水池，已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍，设池底单位造价为a元，试将总造价表示为底半径的函数。解：设池底半径为x米，总造价为y元a250y=a兀r2+-2兀r)2兀r2=a=a(兀r2+250)r在边长为2a的正方形铁皮上，四角各减去边长为x的小正方形，试问边长x取何值时，它的容积最大？解：根据题意可知，容积V=x(2a-2x)2，x£(0,a)ax=V"(x)=(2a—6x)(2a—2x)，令V"(x)=0，求得驻点为3，x=a(舍去)aax=x=3是开区间内唯一驻点，由实际问题可知容积有最大值，所以在边长3时容积最大。h=\‘R2一r2把一个圆形铁片，自中心处剪去中心角为a的一扇形后，围成一个无底圆锥，试将此圆锥体积表达成ah=\‘R2一r2Ra

r=—圆锥底面半径2兀1V=—兀r21V=—兀r2h=所以圆锥体积3R3a224兀24兀2—a2ae(0,2兀)/r/