重点高中对数函数公式

重点高中对数函数公式8作者:日期:指数函数和对数函数重点、难点：重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数xya,ylogax在la1kI。a1两种不同情况。1、指数函数：定义：函数yaxa0且a1叫指数函数。定义域为R,底数是常数，指数是自变量。为什么要求函数yax中的a必须a0且a1一，4 .x[ 1，一、,,，因为右a0时，y4,当x—时，函数 4值不存在。a0],|y0x],当[x0],函数值不存在。a1|时，y1x对一切x虽有意义，函数值恒为1,但[y1x的反函数不存在， 因为要求函数yax中的a0且a1。1x1、对三个指数函数y2x,y- ,y10x的图象的认识。图象特征与函数性质:图象特征函数性质(1)图象都位于x轴上方；(1)x取任何实数值时，都有1ax0(2)图象都经过点(0,1);(2)无论a取任何正数，|x0时,一(3)y2x,y10x1第一象限内的纵坐标都大于1,在第二象限内的纵坐标都小于 1,7^1y-的图象正好相反；(3)当|a1时,x0,则ax 1x0,则ax 1当|0a1|时,x 0,则ax 1x 0,则ax 1(4)y2x,y10x的图象自左到右逐渐上升，1y一2x的图象逐渐下降。(4)当a1时，yax是增函数，当|0a1|时,yax是减函数。对图象的进一步认识，(通过三个函数相互关系的比较)①所有指数函数的图象交叉相交于点（0,1）,如也2x和|y10x相交于|（0,1）,当［Xft|y10x|的图象在|y2x|的图象的上方,当|x0|,刚好相反，故有|l02方及102②y2x与y的图象关于y轴对称。③通过y2x②y2x与y的图象关于y轴对称。③通过y2xy2y10x（a0且a1）的示意图，如三个函数图象，可以画出任意一个函数y3X|的图象，一定位于y2X和y10yax两个图象的中间，且过点（0,1）,从而y的示意图，即间，且过点（0,1）,从而y的示意图，即也由关于y轴的对称性，可得y-3通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。2、对数：定义：如果『N（a0且a1“，那么数b就叫做以a为底的对数，记彳乍|blogaN（a是底数，N是真数，|logaN|是对数式。）由于N ab0故logaN中N必须大于0。当N为零的负数时对数不存在。（1）对数式与指数式的互化。由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如:10g0.3210g0.325、24分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成再改写为指数式就比较好办。“5/2分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成再改写为指数式就比较好办。“5/2log0.32 .x4解：设log解：设log5.20.32则0,32x即-8即-82582512即10g0.3252即10g0.32评述：由对数式化为指数式可以解决问题， 反之由指数式化为对数式也能解决问题， 因此必须因题而异。如求|3此必须因题而异。如求|3x5|中白^区］化为对数式xlog35即成。（2）对数恒等式:由abN⑴b脸N(2)将(2)代入(1)得la10gaNN|运用对数恒等式时要注意此式的特点， 不能乱用，特别是注意转化时必须备的底数和对数的底数相同。计算：V3计算：V3log123函数性质(1)图象都位于y轴右侧;(1)定义域：R值或：R;(2)图象都过点(1,0)；(2)|x1函数性质(1)图象都位于y轴右侧;(1)定义域：R值或：R;(2)图象都过点(1,0)；(2)|x1时,y0。即1oga10；(3)当la1|时,若lx1|,则py―0卜力，y1og1x2与上述情况刚好相反；(4)y 10g2x,:y1gx从左1可右图象是上升，而y1og1x2从左向右图象是下降。(3)y10g2xy1gx当|x1|时,图象在x轴上方，当|0x0时,图象在x轴11,则|y0|；U时，若|x0|,则|y01时，则［V―0；(4)|a1时,y1ogax是增函数；1时，y10gax是减函数。对图象的进一步的认识(通过三个函数图象的相互关系的比较)：(1)所有对数函数的图象都过点(1,0),但是K―1og2x|My―gx在点(1,0)曲1logi2 1og1-：12-J2解：原式32 3 1 3解：原式3(3)对数的性质:①负数和零没有对数;②1的对数是零；③底数的对数等于1。(4)对数的运算法则:1ogaMN1ogaM1ogaNM,NRM1oga—1ogaM1ogaNM，NRN 1ogaNn n1ogaNN R1oganr^N 11ogaNN Rn3、对数函数：定义：指数函数yax(a0且a1)的反函数y1ogaXx(0,)叫做对数函数。1、对三个对数函数y1og2x,y1og1x,2y1gx的图象的认识。图象特征与函数性质:图象特征

线是交叉的，即当他二Wt|ylog2x|的图象在|ylgx|的图象上方;而］0_x_1时,ylog2x的图象在|ylgx|的图象的下方,故有：|皿15lg同;|log201lg01o(2):log2乂的图象与y―log1x的图象关于x轴对称。2(3)通过Iylogl"x~|,|ylgxI，|ylogix三个函数图象，可以作出任意一个对数2函数的示意图，如作ylog3x的图象，它一定位于ylog2xylgx两个图象的中间，且过点(1,0),|x0|时，在|ylgx于的上方，而位于ylog2x的下方，|0x1时，刚好相反，则对称性，可知|ylogix的示意图。因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。4、对数换底公式:logblogbNlogaN

logabLnN logeN(其中e2.71828…)称为N的自然对数LgN log10N称为常数对数由换底公式可得:LnNlgNlgeLnNlgNlgelgN

0.43432.303lgN由换底公式推出一些常用的结论:(1)logab(1)logablogba或logab•logba1(2)mm. 「(2)loganb logabn(3)loganbn logab(3)a(4)log(4)loganam5