确定性决策法及其应用

确定性决策法及其应用2§2.1确定型决策概述概念:确定型决策是指待决策问题的未来发展只有一种确定的结果。决策者的任务就是分析各种可行方案所得的结果，从中选择最佳方案。确定性决策的主要特征有四方面：一是事物未来的状态只有一个状态；二是有决策者希望达到的目标；三是有两个以上的多个备选方案；四是不同方案在该状态下的收益是清楚的3§2.2线性盈亏分析决策法线性盈亏分析（LinearBreakevenAnalysis）来自于管理会计中企业的生产决策问题：（在短期内）企业经理们要经常面临决策生产多少产量合适？即产量水平定多高合适？这就离不开总收益与总成本的对比分析。从长期来看，经理们要设法确定企业生产的临界产量，从而充分发挥企业的资源优势，提高生产要素的使用效率，最终确定最优的生产规模。4简言之，线性盈亏分析是对企业生产中的总成本与总收益的变化作线性分析的一种方法。其目的是掌握企业经营的盈亏界限，确定企业的最优生产规模，使企业获得最大的经济效益。其中“线性”二字是指企业的总收益和总成本均是产量的线性函数。5线性盈亏分析1.假定条件：企业的总收益TR(totalrevenue)和总成本TC(totalcost)均为产量Q的线性函数。2.决策变量：确定既不亏损又不盈利时的临界产量水平Q*=?3.求解方法：(1)解析法（代数方法求解）(2)图形法（借助几何图形求解）6例如，企业研发一新产品，成本分为固定成本FC(Fixcost)和变动成本VC(varycost)，且销售价格P是已知的。要决策问题是，是否要决定生产该产品？以及如果要生产的话，生产多少产量合适？7盈亏分析原理如下：1.解析法：总收益TR=价格×销量=P×Q总成本TC=固定成本FC+变动成本VC=固定成本FC+单位变动成本Cv×销量Q

8求当利润=0时（即盈亏平衡时）的Q*,即要求盈亏平衡产量则应满足如下等式：显然，当Q>Q*时，利润为正，此时盈利；当Q<Q*时，利润为负，此时亏损；当Q=Q*时，利润为零，此时盈亏达到平衡9注意：盈亏分析的结论表述方式盈亏分析的结论，属于带有附加条件的分析结论。结论表述（达）模式为：如果……,那么……..；当…….时,则…….。请注意以下表述：10在Q*确定之后，要根据企业自己的具体生产能力进行如下决策：（1）若生产能力跟得上，则就生产Q>Q*这么多产量；（2）若没有生产Q*这么大的生产能力，则就不生产该产品；112.图解法总收益TR=P·Q总成本TC=F+Cv·Q当TR>TC时，盈利；当TR<TC时，亏损；122.图解法根据盈亏平衡图来确定Q*TRTCFCTRTCQAQ*0盈利区域和数额亏损区域及数额当Q>Q*时，盈利；当Q<Q*时，亏损；当Q=Q*时，利润为零，此时盈亏达到平衡13举例说明某企业准备投资一条生产线来生产某A产品，其生产的单位变动成本为12元，投资的固定成本总额为30000元，市场上销售该产品每件的销售价格为18元，那么在生产该产品的盈亏平衡点（保本点）的产量是多大？14具体应用之一——设备是否更新问题的决策例2.1：假设某公司生产某种产品，生产设备更新之前与之后的总成本分别为且已知产品售价为P，若更新设备则需要增加固定成本（一次性投资），但可减少单位变动成本，导致利润增加。是否更新，各有利弊问：是否应该更新设备？分析：设更新设备之前与之后的盈亏平衡产量分别为Q*1和Q2*，假设更新之前与之后，使得总成本相等时的产量为盈亏平衡产量Q3*1516盈亏分析平衡图TRTC1F1＄QAQ2*0Q3*Q1*TC2BCF2结论为：1.当Q>Q2*时，则更新设备合适2.当Q3*<Q<Q2*,虽仍亏损，但更新后亏损较少，则应更新。3.当Q<Q3*，由于更新后成本变大，且亏损更多，故不更新。所以，是否更新设备取决于能够达到的产量水平Q的大小。17再次提醒注意：这里的决策结论的表述。18例2.2：某企业生产上现需要某个配件。现有两种方案选择：一是向外订购；二是自己生产制造。若外购的价格为P,自制的固定成本为F,单位变动成本为Cv。盈亏分析：根据图形(下面)可知，盈亏平衡产量为Q*=F/(P-Cv)当Q<Q*时，自制成本大于外购费用，则最优决策是“外购”当Q>Q*时，自制成本小于外购费用，则最优决策是“自制”具体应用之二——自制或外购问题的决策19自制还是外购决策问题的举例20另一种方法——方法2不用作盈亏分析，可直接根据成本的高低比较来作出最优决策。若选择外购新部件，则成本为1800×2=3600元若选择自制新部件，则成本为2000+1×1800=3800元，比较成本后发现，应选择外购。21盈亏分析法（给出该决策问题的一般解法）因为盈亏平衡产量为Q*=F/(P-C)=2000/(2-1)=2000因此，应根据企业的实际产量或实际需求量来决定采用何方案。若实际产量Q>2000，则自己生产较合适；若实际产量Q<2000,则外购较合适。在此例中，因为实际需求量只有Q=1800<2000,故应该采用外购方案。22具体应用之三——生产规模的最优决策问题例2.3P311:为建设某类工厂有三种建设方案：甲方案：从国外引进，固定成本800万元，产品每件可变成本为10元。乙方案：采用一般国产自动化装置，固定成本500万元，每件可变成本12元。丙方案：采用自动化程度较低的国产设备，固定成本300万元，每件可变成本15元。试确定不同生产规模下的最优方案。23各方案的总成本线（1）A点：令TC乙=TC丙，得出QA=（500-300）/（15-12）=67万件（1）B点：令TC甲=TC乙，得出QB=（800-500）/（12-10）=150万件。从图中看出，A、B点将产量分为三段，第一段为小于QA；第二段在（QA，QB）之间；第三段大于QB。当生产规模Q<QA时，选择最优的丙方案。当生产规模QA<Q<QB时，选择最优的乙方案。当生产规模Q>QB时，选择最优的甲方案。假如，现在决定的生产规模为80万件，则最优的建厂方案是乙方案。24例2.4：借助于EXCEL电子表格，通过引入可变参数S来自动完成计算工作。已知，某企业拟生产一种新电子产品，其单位可变成本Cv=200元，固定成本F=40000元，销售价格P=700元。则公司是否应该生产该新产品而不亏损？若生产的话，生产多少合适？解答：假设市场需求的预测量为S，该问题实际上归结为，根据市场需求S的变化，来确定决策变量——产量Q的数值,使得公司不亏损，即进行盈亏平衡分析。用符号描述如下：目标函数——利润Π=700·Q－40000同时满足两个约束条件：Q≥0,且Q≤S25这里的例子是欲作公司生产的盈亏决策分析，而不是想作利润最大化的决策分析。具体而言：这里的准确意思应表述为：在给定市场需求量

S

数值的条件下，要选择满足上述约束的产量水平Q，使得公司不亏损。属于盈亏决策分析。而不是说，在S既定的条件下，要选择满足约束的产量Q，使得利润达到最大的决策。26首先，求出盈亏平衡产量Q*Q*=F/（P-C）=40000/（700-200）=80，则最优决策方案取决于市场需求量S的数值：(1)若S≤80,则企业亏损，应选择不生产，即Q=0，此时利润Π=0，即当需求量S不超过80时，应选择不生产该新产品。(2)若S>80，则企业盈利，应选择进行生产，生产数量Q=S，此时利润Π>0。即只有在需求量S超过盈亏平衡点时才值得引入该新产品进行生产，可生产产量达到S。实际上，通过EXCEL软件可自动完成计算，请看演示！27§2.3非线性盈亏决策法当假定企业生产的总收益TR和总成本TC不是产量Q的线性函数时，就需要用非线性盈亏决策方法。这种情况更常见，因为车国内本结构比较复杂，不一定随产量变动而成比例变动，所以总成本TC经常是Q的非线性函数一般的说，企业的生产决策问题中往往涉及如下四个变量：自变量（决策变量）——产量Q，因变量——总销售收入TR(Q)，不是Q的线性函数。因变量——总成本TC(Ｑ)，不是Q的线性函数.目标变量——利润Π(Q)＝TR(Q)-TC(Q)28此时，总收益TR函数和总成本TC函数的图形都是曲线总收益TR=R(Q);总成本TC=C(Q);利润Π＝TR-TC=R(Q)-C(Q)291.盈亏平衡时产量的决定——Π(Q)=0当利润Π(Q)＝TR(Q)-TC(Q)＝０，从中解出Ｑ即可。但是，由于TR曲线和TC曲线相交有两个Ｑ，分别为Ｑ1和Ｑ2（假定Ｑ1＜Ｑ2）,参见上图结论：(1)当实际产量Ｑ<Q1或Ｑ>Q2时，亏损；(2)当实际产量Ｑ满足：Q1<Ｑ<Q2时，盈利；302.利润Π最大化时产量的决定——

MR(Q)=MC(Q)由于利润依赖于产量Ｑ，即利润Π(Q)＝TR(Q)-TC(Q)，问：当Ｑ＝？时，利润Π（Ｑ）最大？求极值原理：求导数，并令其为０，得到即满足条件：边际收益MR(Q*)＝边际成本MC(Q*)满足该等式的产量Ｑ＊就是使利润Π达到最大的产量。需要提醒注意的是：企业进行生产决策的产量往往是利润最大化的产量，但此时并不意味着是盈利的，可能仍是亏损的，只不过该产量水平下的亏损是最少的。31再一次强调：１.盈亏平衡分析的目标是以盈利为目标，即若按照超过平衡产量的产量水平进行生产，则一定能够盈利。２.利润最大化分析的目标是以利润最多为目标，即在满足边际收益等于边际产量条件之下所决定的产量水平下进行生产，则一定能够使利润最大。３.换言之，从二者的关系考察，若在利润最大之下的产量处生产，不一定保证是盈利的，但一定是亏损最少的。反之，若仅在保证盈利条件下的产量处生产，也不一定保证是最大的盈利。32例2.5——非线性盈亏决策分析法例２.５已知某产品的生产成本函数TC和销售收入函数TR分别为试求，盈亏平衡点产量和最大盈利产量。解：当TR=TC时，可以求出盈亏平衡点。此时，解得Ｑ1=1000,

Q2=9000;又根据利润函数和最大化一阶条件，得出解得Ｑ＝5000.所以,当Q=5000时，可实现最大盈利33可见，由于两个问题不同，因而其答案也不同：第一问：为保证盈利（不亏损），生产产量仅需要满足第二问：为保证盈利最大，生产产量一定只能是Ｑ＝5000。当然，此题还是属于比较正常的情形。34§2.4线性规划决策法（重点节）一、线性规划（LinearProgramming）概念1.含义：是指这样一类优化问题：求决策变量Xi为多少时，能够在满足一定的线性约束（等式或不等式）条件下，使得决策变量Xi的线性目标函数值达到最优（最大或最小）的经济优化问题。2.特征（三要素）：一组决策变量、一个目标函数、一组约束条件35例2.6（很重要，后面多次使用）:关于两种型号计算机的最优生产决策某工厂生产A、B两种型号的计算机，为了生产一台A型和B型计算机，需要分别消耗原料2吨和3吨，需要工时分别为4小时和2小时。在生产的计划期内可以使用的原料有100吨，工时为120小时。已知生产每台A、B型号计算机可以分别获利为600元和400元，试确定获利最大的生产方案。36上述已知条件可以概括在下表中产品品种

生产单位产品所需的投入原料(吨)工时(小时)A型计算机B型计算机2３４２可供使用或消耗的资源总量原料100吨工时120小时37此经济问题的决策步骤决策目标：经济效益，即利润；决策准则：经济效益最大，即利润最多；最优策略：使利润最大的一种生产计划，即利润最多的生产产品数量的组合策略决策方法：第一步，设立决策变量，建立规划模型。第二步，求解规划模型。第三步，还原问题，给出实际问题的答案38第一步，假设x1，x2分别表示计划期内的生产产品Ａ,Ｂ的产量因为，原料和工时都是有限的，所以在确定ＡＢ产量时要满足下列的约束条件：原料约束：工时约束：非负约束：目标函数：39所以，该最优化问题可表示为如下线性规划模型：40所以这类优化问题的特征是第一，用一组未知变量x1,x2表示所求方案，这组变量的数值就代表一个具体方案，这些未知数成为决策变量。一般这些决策变量取值都是非负的。第二，存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或不等式来表示。第三，有一个要求达到的目标，并且这些目标可以表示为这组决策变量的线性函数，称为目标函数。目标函数可以求最大，也可以求最小。所以，一个线性规划模型中有三个要素：第一，决策变量第二，约束条件第三，目标函数413.线性规划模型的一般表示数学模型为这是有n个决策变量x,m个线性约束条件，一个线性目标函数的线性规划模型在利润最大化问题中，目标函数系数ci表示为第i种产品带来的单位利润，aij为生产1单位i产品所消耗的j资源的数量，bj为第j种资源的拥有量42二、线性规划（LP）问题的求解（一）图解法（仅适合两个决策变量问题）步骤：1.用符号将实际问题描述成数学规划问题2.在平面坐标系中，正确画出约束条件表示的平面区域，以及目标函数表示的直线。3.确定最优解和最优目标值。43仍是例2.６：A、B两种型号计算机的生产问题解答假设x1,x2分别表示计划期内的计算机产量，该问题的数学模型为44答案：该企业应该在计划期内生产Ａ、Ｂ型计算机各20台,能使利润最大，此时最大利润为20000元，即200百元分别在以x1,x2为坐标轴的平面坐标系中画出约束等式的两条直线，以确定点（x1,x2）的可行区域；再画出目标函数的直线x1x24·x1+2·x2=1202·x1+3·x2=100B6·x1+4·x2=kx1x2最优点在B点处达到，此时坐标对应为（20，20），最优值为20000元，即200百元45（二）单纯形法（Thesimplexmethod

）（适合于多变量问题）它有固定的算法，可以编程，很多软件都可以依靠计算机完成求解。因为本课程的学时关系，在此省略46（三）利用Excel电子表格求解（可适合多变量情形）在打开的Excel工作簿中，依次点击，“工具”/”规划求解”/对话框（若没有需要安装一下）请看例2.6的求解过程演示（见Exccel数据）。此问题的最优解是生产A型号计算机X1=20台，B型号计算机X2=20台，此时的最大利润为20000元。注意：在基于准确理解题意，并能够正确的写出数学模型的基础上，要求正确的输入：目标单元格、可变单元格、约束条件这三者。请同学们回去练习。47四、线性规划的敏感性分析含义：分析当某些外生参数（已知参数）发生变化时，会引起最优解或者最优目标值发生怎样的变化？具体分两种情况分别考察：（1）当目标函数系数ci变化（只有一个系数变化和同时变化）时，最优解是否变化？或者，当目标函数系数在何范围变化时，最优解保持不变？（2）影子价格分析——当约束条件右端系数bj变化(只有一个系数变化和同时变化）时，对目标函数值的影响？或者说，当增加1单位可供投入的资源会引起目标函数值发生多大变化？481a.当目标函数系数cj只有一个变化时，对最优解是否有影响的分析例２.7(后面要多次使用此例)：生产A、B、C、D四种产品的最优决策问题。其生产率和资源情况如下表所示。

产品原料ABCD资源拥有量甲乙321040020.5183利润985019

？49试求下列决策问题：（1）利润最大化的最优产量？（2）只有A种产品的单位利润发生变动，最优解变不变？其波动范围多大时最优解不变？（3）A、C两种产品的单位利润同时变动，最优解是否改变？50第一问已经会求解：最优解为：x1*=0,x2*=0,x3*=1,x4*=2.即不生产A和B两种产品，C产品生产1个单位，D产品生产2个单位，这种生产安排是最优的，能够带来最大利润。这就是生产的最优决策下面重点回答第二问和第三问。前面的例2.7：做目标函数系数ci变动的敏感性分析报告

由敏感性报告知道，当只有A产品的单位利润C1的最优域为不超过9+4=13，即（－∞，13），即只要A产品的单位利润在最优域内变化，且其他条件不变，则最优解保持不变，仍然为x1*=0,x2*=0,x3*=1,x4*=2.

同理，B、C、D产品的单位利润（目标式系数仅有一个系数变动）也有对应的变动范围，对其最优解没有影响。521b.当目标函数多个系数cj同时变化时，对最优解是否有影响的百分百判定法则当目标函数的多个系数同时变动时，首先计算出每一系数变动量占该系数最优域允许变动量的%，然后再将这些%相加，得到%的总和。若该%总和没有超过100%，则最优解不变；若该%总和已大于100%，则不能确定最优解是否变化，此时，该判定法则失效。53仍以前面的例2.7：生产A、B、C、D四种产品的最优决策问题若A产品单位利润由＄9增加到＄10，占允许增加量的比例为(10-9)/4=25%同时，产品C单位利润由＄50减少到＄49，则占允许减少量的比例(50-49)/2.5=40%二者总和为25%+40%=65%<100%,故最优解不变。注意：以上的分析是关注最优解是否变化，但可能对应的最优值已经变化了。542a.当约束的右端系数bj只有一个变化时，影子价格是否有效？所谓资源（原料）的影子价格（shadowprice）是指，当增加一单位某种资源（原料）的投入（供给）时，对目标函数值的增加量或影响程度（也称为资源的边际贡献）。所谓影子价格有效，是指当某种资源的投入增加，的确能引起目标值的增加（带来贡献）。随着资源供给的不断增加，若到一定程度就不能引起目标值的增加，此时称影子价格无效。那么，资源增加的最大临界值的确定问题就成为一个重要问题（因为此时要考虑将资源用于别处更有效益，因为生产能力可能不足）。55以前面的例2.6（A、B两种型号计算机的生产）来说明当原料供给由100吨增加到101吨时，对应的利润值为200.50百元，那么的确引起利润增加了50元，此数值即为该原料的影子价格（可认为若将此原料出售的话，理论上计算出来的价格）。56影子价格的经济意义资源（原料）的影子价格（shadowprice）是从理论角度上，假想若是该资源用于出售时计算出来的“计算价格”。影子价格可为企业管理者用于科学决策有重要参考价值：若某种原料的市场价格低于其影子价格时，这时生产管理者应该购入该原料，否则，则应出售该原料（不应用于生产某产品，至少改作他用）。当某原料的影子价格为0（表示原料未用完有剩余，当前对目标值的边际贡献为0），意味着该原料不应再购入用于该产品生产。57那么，该原料的影子价格有效的范围（有效区域）是多大？如何找到？仍借助于敏感性分析报告得出，该原料的可行域为（60，180）（见EXCEL数据.xcl）。当然，最优解一般也会变化。58例2.6：约束系数bj变动下的敏感性分析报告输出结果为它说明，原料的影子价格为0.5百元=50元；工时的影子价格为1.25百元=125元。同时还说明，只有原料变动时的可行范围是（100-40=60，100+80=180）；只有工时变动时的可行范围是（120-53.3=46.7，100+80=180）。即当只有一个系数在上述范围内变动时，影子价格均有效,即资源总量供给在该范围内将对目标值产生影响。否则，资源总量超出这一范围就不再对目标值有任何影响。592b.当约束右端的多个系数bj同时变化时，影子价格是否有效的百分百判定法则当约束右端系数bj同时变动时，首先计算出每一系数变动量占该系数最优域允许变动量的%，然后再将这些%相加，得到%总和若该%总和小于或等于100%，则影子价格有效；若该%总和已大于100%，则不能判定影子价格是否有效，此时，该法则失效。60仍以前面的例2.6（两种计算机的生产）进行说明和演示若现在二种资源同时变动：原料由100吨减少到99吨，则变动比例为(100-99)/80=2.5%;工时由120小时增到121小时，则增加比例为（121-120）/80=1.25%，二者比例之和为2.5%+1.25%=3.75%<100%，则影子价格仍有效。通过计算可验证，并发现总利润的确增加了0.75百元=75元，恰好等于两种资源的影子价格的差125-50=75元。61再考虑一种情况由于原料的可行域为(60，180)；影子价格为50元而工时的可行域为（66.667，200），影子价格为125元若原料由100吨减少到70吨，则变动比例为(100-70)/40=75%;而工时由120小时增加到160小时，则变动比例为（160-120）/80=50%，二者比例之和为50%+75%=125%>100%。但通过计算发现，总利润只增加了10百元=1000元。但若影子价格有效，则利润应增加(160-120)×125-(100-70)×50=3500美元。故认为此时影子价格失效。62§2.5多目标决策法(重点节)现代管理决策方法中的多目标决策法。由美国经济学家查尔斯（A.Charnes）和库玻(W.W.cooper)于20世纪60年代初期提出的。1.基本思想：求一组非负变量，在满足一定线性约束与多个线性目标约束的条件下，以实现计划目标与实际可能完成目标之间偏差总和达到最小。632.目标函数的确立与表示为了保证与给定目标的偏差之和最小，需引入非负的偏差变量：d+——超出完成目标（或可供资源）的偏差大小（非负数）d-——低于完成目标（或可供资源）的偏差大小（非负数）在同一目标或资源限制下的上述两个偏差至少有一个为0。64目标函数的具体表示(1)若要求目标正好完成，则应二者之和最小：min(d++d-)(2)若仅允许目标超额完成，不允许不完成。则应使不足部分达到最小：min(d-)(3)若仅允许目标有节余，不能突破，则应使超额部分达到最小：min(d+)653.实例分析和计算机实现例2.8：某汽车制造厂生产Ａ、Ｂ两种类型的汽车，且假设很畅销，生产多少卖掉多少。但该厂的生产受到两种关键性资源限制，即从外部购进的原料甲